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2.7. Et ensuite ?Dans le cas général, nous serions bien en peine de trouver le réseau optimal.C’est même un problème algorithmique compliqué. L’application citée ci-dessus,tout comme le savon 14 , ne donne que des solutions minimales locales ; trouver lasolution optimale est autrement plus difficile. Mais une chose que nous pouvonsdémontrer 15 est que le réseau sera constitué de segments de droites, les intersectionsse faisant 3 par 3 avec des angles égaux.3. Les surfaces minimalesNous pouvons ensuite avec les élèves revenir à la question initiale posée le plussouvent dans le cadre des surfaces dans l’espace, les formes étant tout de mêmebeaucoup plus jolies et surprenantes. L’intérêt du texte écrit devient limité, il fautalors absolument manipuler. Disons juste qu’avec le tétraèdre, nous retrouvons dansl’espace ce qui se passait pour le triangle et que le cube fait penser au carré. Disonsaussi que les formes obtenues avec l’octaèdre sont tout simplement magnifiques.Pour ceux ou celles qui auront la chance de voir ces manipulations (ou d’entrouver des photos), faisons remarquer que les plans semblent remplacer les droites,que ceux-ci s’intersectent trois par trois le long de droite avec des angles égaux, …Signalons tout de même que, dans l’espace, ce qui remplace les droites (quiminimisent localement la longueur) s’appelle « surfaces minimales » (quiminimisent, ou plus précisément qui sont points critiques, localement l’aire) et quece monde est vaste : il n’y a pas que les plans qui soient des surfaces minimales.Mentionnons enfin que l’étude des surfaces minimales est un domaine de rechercheextraordinairement actif de nos jours encore.Références[1] Isenberg, C., (1978). The science of soap films and soap bubbles, Tieto Ltd.[2] Laurain, P., (2011). Mathématiques savonneuses, Images desMathématiques, http://images.math.cnrs.fr/Mathematiques-savonneuses.html14 En fait, cette application "imite" le savon.15 Et nous ne sommes pas loin de pouvoir le faire rigoureusement avec ce que nous avons vusur les triangles.Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ33