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ici. Le dispositif fonctionne donc et bientôt, Albert écrit (difficilement) les deuxformules qui modélisent la situation.On le voit alors engager le travail sur ces formules et la stratégie est étonnante : ilisole deux fois « x+y » dans 2x+5y=232 afin de le remplacer par 86. Oublions sonerreur (c’est 2(x+y) qu’il cherchait à isoler, et cela fait 172). Remarquons que satechnique produit en effet unetransformation radicale du problème : il n’yaplus qu’une seule inconnue et Albert saitrésoudre ce type d’équations. Même, il endéduira la valeur de l’autre inconnue. Nouspensons alors que ce calcul démontre que letravail algébrique de Albert est fondé sur lamanière dont il a raisonné quand il a résoluce type de problèmes sans outil algébrique.Ce travail algébrique est l’inscriptiond’un raisonnement : son écriture est sous lecontrôle de ce raisonnement, qui fonctionne comme une théorie des manipulationspossibles dans le monde dont les équations rendent compte. C’est en ce sens quenous pouvons donc affirmer que, pour Albert, la situation que nous lui avonsproposée a fonctionné comme « une situation fondamentale pour le travail dessystèmes d’équations », au sens de Brousseau (1997). Nous allons maintenantmontrer que nos affirmations sont fondées sur des observables.2.6. Du travail algébrique sur les formules à la résolution des équationsLe professeur va maintenant consister à orienterles élèves vers la production de raisonnementsalgébriques capables d’accompagner leurtravail sur les systèmes d’équations. On voit icila reprise du deuxième problème du premiertableau, par Albert, dont nous suivonsl’évolution.L’élève tente une transformation formelle dusystème, mais la manière dont les accoladessont utilisées ne porte pas l’informationostensive que portait le modèle des élèves,observé chez Bernadette..Albert tente une autre transformation qui sefonde sur l’interprétation de ces écriturescomme des formules : il transforme la formule 2x+4y=30 afin d’isoler x+y, ce qui luipermet de remplacer x+y par sa valeur, 12, et comme cela n’élimine pas x, ilrecommence ! Son calcul est exact. Que demander de mieux puisqu’il aboutit à larésolution de l’équation ?Actes des journées mathématiques 2011ENS de Lyon • IFÉ47