FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

FLUIDES EN ÉCOULEMENTMéthodes et modèlesJacques PADETProfesseur Émérite à l’Université de ReimsSeconde édition revue et augmentée

PRÉFACEde la première édition

Octobre 1990

TABLE DES MATIÈRESPRÉSENTATIONPréface de la 1 ère éditionPrologue de la 1 ère éditionPrologue de la 2ème éditionNomenclatureCHAPITRE 1. – Bases physiques et théoriques. Bilans et lois de comportementPréambule1.1. – Principales caractéristiques des milieux fluides1.1.1. – Continuité des milieux fluides1.1.2. – Déformabilité des fluides1.1.3. – Viscosité des fluides : approche expérimentale1.2. – Eléments de rhéologie1.2.1. – Déformations1.2.2. – Dilatation volumique1.2.3. – Contraintes1.2.4. – Fluides newtoniens1.2.5. – Application : calcul de la contrainte locale T dans un cas simple1.3. – Equations de bilans1.3.1. – Relations générales entre flux et sources1.3.2. – Bilan de masse1.3.3. – Bilan de quantité de mouvement1.3.4. – Bilan d’énergie mécanique1.3.5. – Bilans d’énergie et d’enthalpie1.3.6. – Prise en compte de la diffusion dans les équations de bilans1.3.7. – Bilans d’entropie et d’exergie1.4. – Vorticité et fonction de courant1.4.1. – Ecoulement plan1.4.2. – Fonction de courant1.4.3. – Ecoulement axisymétrique1.5. – Formulation générale d’un problème d’écoulement anisothermeAnnexes au chapitre 11.A.1. – Les bilans sur un domaine mobile et le concept de dérivée particulaire1.A.2. – Calculs relatifs au bilan de quantité de mouvement1.A.3. – Calculs relatifs au bilan d’énergie cinétique1.A.4. – Bilan d’entropie : formulation classique1.A.5. – Expression des équations de bilans en coordonnées cylindriquesCHAPITRE 2. – Similitude et adimensionnement2.1. - Problématique2.2. – Premiers apports de l’expérience2.2.1. – Expérience de Reynolds

2.2.2. – Expérience de la plaque plane2.2.3. – Exploitation des expériences2.3. – Les fondements de la similitude2.3.1. – Forme adimensionnelle d’une équation de bilan2.3.2. – Les critères de similitude2.3.3. – Conditions de validité de la similitude2.4. – Panorama des critères de similitude2.4.1. – Les principes et l’usage2.4.2. – Le critère de similitude temporelle2.4.3. – Les critères de similitude relatifs aux sources de quantité demouvement2.4.4. – Les critères de similitude relatifs aux sources de masse2.4.5. – Les critères de similitude relatifs aux sources d’énergie2.4.6. – Le critère de similitude relatif à l’équation d’état du fluide2.5. – Paramètres de couplage et autres nombres sans dimension2.5.1. – Couplage entre des sources ne relevant pas des mêmes bilans2.5.2. – Comparaison entre sources dans un même bilan2.5.3. – Autres nombres sans dimension usuels2.6. – Similitude et adimensionnement : le bon usage2.6.1. – Les diverses significations des nombres sans dimension2.6.2. – Intérêt de la similitude2.6.3. – Similitude partielle et ordres de grandeur2.6.4. – Mises en gardeAnnexes au chapitre 22.A.1. – Tableaux récapitulatifs des termes de sources et des nombres sansdimension2.A.2. – Sur l’analyse dimensionnelle et l’analyse d’échelle2.A.3. – Critères de similitude relatifs aux bilans d’entropie et d’exergie2.A.4. – Grandeurs géométriques de référence dans un bilan intégralCHAPITRE 3. – Que faire de la turbulence ?3.1. – Données expérimentales3.2. – Théorie statistique locale de la turbulence3.2.1. – Équations de bilans aux valeurs moyennes3.2.2. – Équation de bilan pour les fluctuations3.2.3. – Le principe des fermetures en un point3.3. – Une application de la théorie statistique locale : le modèle pseudo-laminaire3.3.1. – Caractérisation d’un transfert laminaire3.3.2. – L’idée directrice du modèle pseudo-laminaire3.3.3. – Diffusion turbulente de masse3.3.4. – Diffusion turbulente de quantité de mouvement3.3.5. – Diffusion turbulente de chaleur3.3.6. – Résolution du problème thermoconvectif3.4. – Modèles locaux basés sur des équations d’appoint3.4.1. – Modèle à une équation dynamique d’appoint ou modèle k – l3.4.2. – Modèle k - ε standard3.4.3. – Variantes du modèle k - ε standard3.4.4. – Modèle k - ω3.4.5. – Les taux de turbulence3.5. – Description non locale de la turbulence

3.5.1. – Limites de la théorie statistique locale3.5.2. –Coefficients de corrélation entre grandeurs fluctuantes3.6. – Échelles de turbulence3.6.1. – Approche physique3.6.2. – Macro – échelles3.6.3. – Micro – échelles3.6.4. – A propos du nombre de Reynolds turbulent3.6.5. – Simulation des grandes structures3.6.6. – Simulation numérique directe3.7. – Production d’entropie turbulenteAnnexes au chapitre 33.A.1. – Turbulence et non-linéarité3.A.2. – Calcul des grandeurs moyennes dans un écoulement turbulent3.A.3. – Écoulements turbulents à masse volumique variable3.A.4. – Équations de bilans pour les corrélations c v j , v j vket θ v j3.A.5. – Équation de bilan pour l’énergie cinétique de turbulence k3.A.6. – Équation de bilan de c 23.A.7. – Équation de bilan pour la dissipation εEléments de bibliographieIndex alphabétique des matières

PROLOGUE de la première édition

Reims, décembre 1990PROLOGUE de la deuxième éditionLa nouvelle édition de Fluides en écoulement, méthodes et modèles (enabrégé : FEMM) est d’abord une réponse à l’appel lancé par Alain Degiovannilorsqu’il était président de la Société Française de Thermique, pour mettre sur lesite web de la Société des cours et recueils d’exercices. Elle sera livrée chapitrepar chapitre, au rythme de la rédaction.Par rapport à la première édition, elle comporte d’indispensables mises àjour et de nombreux compléments. L’enseignement dispensé année après annéea permis aussi d’améliorer le contenu pédagogique de l’ouvrage : beaucoup deraisonnements ont ainsi été rendus plus logiques ou plus physiques. De plus, leserreurs ont été corrigées (il n’y en avait pas beaucoup, mais c’est toujours trop).Enfin, si l’avenir le permet, cette édition rénovée servira de support (avecl’autre volet publié sous le titre Principes des transferts convectifs) à un recueild’exercices avec solutions rédigées.Reims, septembre 2008

NOMENCLATUREJe suis exténué. Ce matin j’ai retiréune virgule à l’un de mes poèmes,et ce soir je l’ai remise.OSCAR WILDEa : diffusivité thermique (m 2 .s -1 )b : demi - hauteur d’une canalisationrectangulairec : fluctuation d’une grandeur Cex : exergie massique (J.kg – 1 )g : accélération de la pesanteur (m.s -2 )h : coefficient de convection thermi -que (W.m -2 K -1 ): enthalpie massique (J.kg – 1 )k : coefficient de convection massique(m.s -1 ): énergie cinétique de turbulence(m 2 .s – 2 )k j : facteur de perte de charge singulièresur une branche jl : longueur de mélange (m): épaisseur d’un canal rectangulaire (m)p : pression statique (Pa)p* : pression motrice (Pa)q v , q : débit – volume (m 3 .s -1 )q m : débit – masse (kg.s -1 )q I : source volumiqueq S: source surfaciquer : distance à un axe (m)s : entropie massique (J.kg – 1 .K – 1 )t : temps (s)u, v, w :composantes du vecteur fluctuation devitesse vx c : abscisse de transition laminaire -turbulent: ordonnée adimensionnée = y/δy +BoCC fC pC xDD: nombre de Boussinesq: densité volumique d’une grandeurextensive: coefficient de frottement: chaleur massique à pression constante(J.kg -1 .K -1 ): coefficient de traînée: diamètre d’un tube (m): tenseur des taux de déformation, decomposantes ε ij (s -1 )D hD A: diamètre hydraulique (m): diffusivité du constituant A dans unmélange (m 2 . s -1 )D C : diffusivité de la grandeur C (m 2 .s – 1 )Ec : nombre d’EckertEu : nombre d’EulerFr : nombre de FroudeGr : nombre de GrashofJ 0 : poussée d’un jet (N)K i : facteur de perte de charge en ligne surune branche iL : longueur d’une canalisation, d’uneplaque plane (m)Le : nombre de LewisL 0 : largeur d’une buse de soufflage (m)Nu : nombre de NusseltPe : nombre de PécletPr : nombre de PrandtlP µ : puissance dissipée par viscosité (W)P u : puissance utile d’une pompe (W)R : rayon d’un cylindre (m)Re : nombre de ReynoldsRe c : nombre de Reynolds critiqueRi : nombre de RichardsonS : surface d’un domaine , sectiond’une canalisation (m 2 ): nombre de StrouhalSc : nombre de SchmidtSt : nombre de StantonT : température (K)∆T : écart de température (K ou °C)U, V, W : composantes du vecteur vitesseV (m.s -1 )U m : vitesse maximale dans un écoulementU ∞ : vitesse d’un écoulement extérieurU τ : vitesse de frottement (m.s – 1 )V d , V : vitesse de mélange (débitante)X : charge d’un écoulement (Pa ou J.m -3 )∆X : perte de charge (Id.): charge motrice d’une pompe (Id.)X m

Symboles divers: domaine d’étude: longueur caractéristique d’une canalisationP : tenseur des quantités de mouvement : volumeβ : dilatabilité du fluide (K -1 )β(x) : longueur caractéristique dans un jetou une couche limiteΓ : critère de similitudeδ : épaisseur de couche limitedynamique (m)δ 1 : épaisseur de déplacement (m)δ 2 : épaisseur de quantité de mouvementε : dissipation turbulente (J.kg – 1 .s – 1 ): rugosité d’une paroi (m)ζ : coefficient de perte de chargesingulièreη : ordonnée adimensionnée = y/β(x) our/β(x)θ : fluctuation de températureλ : conductivité thermique (W.m -1 .K -1 )Λ : coefficient de perte de charge enligne = 4 C fµ : viscosité dynamique (kg.m -1 .s -1 ouPa..s)µ A : potentiel chimique du constituant Adans un mélange réactif (J.kg – 1 )ν : viscosité cinématique (m 2 .s -1 )ξ : ordonnée adimensionnée = yU τ /νρ : masse volumique (kg.m -3 )ρ A : masse volumique d’un constituant Adans un mélangeΣ : surface latérale d’une canalisationτ: tenseur des contraintes de viscositéτ : vecteur contrainte visqueuseτ p : contrainte pariétale (N.m – 2 ),τjk(ou τ t ) : contrainte turbulente (tension deReynolds) (Id.)dτ : élément de volume (dans une intégrale)Φ : fonction de dissipation (W.m – 3 )Ω : vorticité (s -1 )ω : fluctuation de vorticité turbulenteET : Echangeurs thermiques (cf. Bibliographie.)FEMM : Fluides en écoulement, méthodes etmodèles (id)PTC : Principes des transferts convectifs (id)♣,♦,♥,♠ : désignent des sous-paragraphes.La paternité de ce symbolisme revient à J.-M.SOURIAU⊗ Une remarque en passant :l’éditeur d’équations de WORD est unevraie catastrophe en mécanique des fluides :ses concepteurs n’ont pas été capables defaire une différence nette entre la lettregrecque nu (ν ) et le v minuscule ( v ), cequi embrouille beaucoup la lecture denombreuses formules.° : grandeur de référence+: grandeur adimensionnée

Chapitre 1BASES PHYSIQUES ET THÉORIQUESBILANS ET LOIS DE COMPORTEMENTFelix qui potuit rerum cognoscere causasVIRGILEPRÉAMBULESur ce chapitre repose une bonne partie des développements ultérieurs, et il y sera faitconstamment référence par la suite.Après avoir examiné les aspects physiques du phénomène de viscosité, on présented’abord les éléments essentiels de la mécanique des milieux continus, en insistant sur lasignification des termes introduits et sur le calcul pratique des contraintes dans un fluidenewtonien.Pour établir les équations fondamentales de transferts, qui expriment des bilans, nousélaborons une équation générale de bilan intégral sur un domaine fixe et fini, d’où découleune équation générale de bilan local. L’une et l’autre s’appliquent ensuite à toutes lesgrandeurs physiques extensives. Cette démarche permet de bien identifier les termes detransport par la matière, les sources de surface et les sources de volume. Elle évite égalementle recours à la notion de dérivée particulaire, qui est présentée seulement en annexe avec lesbilans sur un domaine mobile.L’équation générale est adaptée successivement aux bilans de masse, de quantité demouvement et d’énergie interne (bilans primaires), à partir desquels on établit des bilansdérivés : bilans d’énergie cinétique, d’énergie mécanique, d’enthalpie et de vorticité. Onsouligne la distinction entre sources de volume (ou volumiques) et sources de surface (ousurfaciques), qui éclaire la signification et le rôle de certains termes dans les bilans dérivés.Nous avons accordé une place particulière aux phénomènes de diffusion, qui setraduisent dans les équations de bilans par des sources de surface. Plutôt que de les disséminerdans le chapitre, nous avons préféré grouper dans un même paragraphe : diffusion massique,diffusion thermique, diffusion en milieux poreux et diffusion de quantité de mouvement.Enfin, nous avons tenu à faire figurer ici les bilans d’entropie (bilan primaire) etd’exergie (bilan dérivé) qui sont en principe indispensables à toute étude d’optimisation, maisque l’on trouve trop rarement en dehors des ouvrages de thermodynamique.1.1. – PRINCIPALES CARACTÉRISTIQUES DES MILIEUX FLUIDESOn reconnaît aux fluides trois propriétés essentielles : ils sont continus, trèsdéformables et visqueux. Examinons-en attentivement les implications.

1.1.1. – Continuité des milieux fluidesUn milieu matériel est dit continu lorsque toutes ses propriétés sont des fonctionscontinues de l’espace et du temps (champ de contraintes, température, vitesse, loi decomportement etc.). Toutefois, un milieu peut être continu par morceaux, ceux-ci étantséparés par des surfaces de discontinuité (cas d’un contact entre milieux différents).On adopte habituellement deux hypothèses simplificatrices :- hypothèse d’homogénéité. – Certaines propriétés du milieu sont indépendantes descoordonnées spatiales (chaleur massique, conductivité thermique…);- hypothèse d’isotropie. – Certaines propriétés sont identiques dans toutes les directions.La définition des milieux continus implique de considérer des éléments de volumed très grands à l’échelle moléculaire et très petits à l’échelle macroscopique usuelle.Ceci est conforme à la plupart des conditions expérimentales, la précision des mesuresde longueur variant de 10 -2 mm à 1 mm. Parmi les exceptions, on notera les écoulementsmacromoléculaires, les écoulements aux très petites échelles, certains écoulementspolyphasiques, les écoulements de gaz raréfiés et les écoulements dans les microcanaux.A ce propos, on rappellera que, au début des années 1900, le mathématicien allemandDavid Hilbert avait proposé une liste de 23 problèmes qui constituaient à son avis les plusimportants à résoudre au cours du 20 ème siècle. Le sixième problème concernait le passage dela description moléculaire à la description statistique, et de la description statistique à ladescription macroscopique. A ce jour il n’a pas encore trouvé de solution complète.En mécanique des fluides, un élément de volume d répondant aux spécificationsprécédentes est appelé particule fluide. La température, la masse volumique, et la vitesse sontuniformes sur d à chaque instant.1.1.2. – Déformabilité des fluidesLa mobilité des fluides est une donnée perceptible par nos sens. Elle suppose unematière déformable, susceptible de prendre la forme de l’enceinte qui la contient.Alors que, dans les solides, des forces importantes provoquent des déformations trèspetites, dans les fluides des forces faibles entraînent des déformations importantes.En outre, le volume massique v, et par conséquent la masse volumique ρ = 1/v desfluides dépendent en général de p et de T.Les cas où cette dépendance est faible sont particulièrement intéressants : il peut s’agirsoit d’un fluide isochore, pour lequel la masse volumique dépend très peu de la pression et dela température, soit d’un écoulement isochore, où les variations de pression et de températuresont assez petites pour avoir peu d’incidence sur ρ, soit des deux à la fois (cf. Annexe 1.A.1).Pratiquement, dans leur majorité, les écoulements thermoconvectifs peuvent êtreconsidérés comme isochores, et par la suite nous utiliserons de préférence l’expression fluideisochore pour désigner toute situation où la masse volumique du fluide est assimilable à uneconstante.

1.1.3. – Viscosité des fluides : approche expérimentaleOn sait que dans un fluide immobile, les forces intérieures qui se manifestent sont desforces de pression, normales aux surfaces. Qu’en est-il dans un fluide en mouvement ?L’expérience de Couette (fin du 19 e s.) apporte une réponse claire à cette question.1.1.3.1. – EXPÉRIENCE FONDAMENTALE DE COUETTEDeux cylindres coaxiaux sont séparés par un mince espace annulaire rempli d’air. Ilsn’ont pas de liaison mécanique entre eux, et le cylindre intérieur est libre autour de son axe(fig. 1.1). L’expérience consiste à mettre le cylindre extérieur en rotation, à une vitesseconstante ω. Alors, on observe que le cylindre intérieur, initialement fixe, se met à tournerdans le même sens.FIG. 1.1. – Schéma de l’expérience de CouetteL’interprétation du phénomène est immédiate : la mise en mouvement du cylindreintérieur ne peut se faire que par l’intermédiaire du fluide situé dans l’espace annulaire. Ceciprouve que des forces tangentielles s’exercent au sein du fluide et sur les parois. En effet, lesforces de pression, perpendiculaires aux surfaces, ne pourraient pas faire tourner le cylindre.Ces forces tangentielles sont appelées forces de viscosité, ou encore forces de cisaillement enraison de leur analogie avec les forces tangentielles rencontrées en mécanique des solides, etelles se traduisent par une résistance au mouvement.En fait, ce concept remonte à Newton, qui en a proposé la première formulationmathématique, à partir d’observations faites en hydrodynamique. Mais l’expérience deCouette apporte la preuve formelle de l’existence des forces de viscosité.Ajoutons que le cisaillement dans un fluide peut être raccroché à la notion defrottement, mais un frottement différent de celui qui s’exerce entre deux surfaces solides. Ils’agit plutôt ici d’un frottement interne réparti dans toute l’épaisseur du fluide, et associé(comme des expériences fines peuvent le montrer) à un gradient de vitesse entre les deuxparois.

1.1.3.2. – VISCOSITÉ DYNAMIQUE ET CONTRAINTES DE VISCOSITÉPour simplifier, nous raisonnerons maintenant comme si l’espace situé entre les deuxcylindres était plan. L’une des parois se déplace donc parallèlement à l’autre avec une vitesserelative U e .Imaginons alors que le fluide est constitué (à l’image d’une pâte feuilletée) par unesuperposition de lames minces d’épaisseur dy, parallèles aux parois et animées de vitessesdifférentes ; considérons ensuite à l’ordonnée y deux lames en contact, dont les vitesses sontU et U + dU. On peut admettre que cet écart de vitesse engendre un « frottement » entre lesdeux lames, et qu’un élément dS de la surface de contact est donc soumis à une forcetangentielle dF (fig. 1.2). Ce modèle n’est pas en contradiction avec la fin du paragrapheprécédent, puisque les lames fluides sont supposées infiniment minces.FIG. 1.2. – Écoulement de CouetteCeci étant admis, il est raisonnable de supposer, au moins en première approximation,que dF est proportionnelle à la différence de vitesse entre les couches fluides ou, pour êtreplus précis, au gradient transversal de vitesse, ce qui conduit à la relation de Newton :∂UdF = µ dS(1.1)∂yoù le paramètre µ est la viscosité dynamique du fluide.En particulier, à la paroi y = 0 figurant le cylindre intérieur :dFp⎛ ∂U⎞= µ dS ⎜ ⎟(1.2)⎝ ∂y⎠y = 0Arrêtons-nous un moment sur ce qu’il se passe au voisinage immédiat de la paroi.Même si l’observation directe est difficile, toutes les expériences conduisent à admettre que,pour la majorité des fluides, les molécules les plus proches de la paroi sont « accrochées » àcelle-ci. C’est la propriété d’adhérence à la paroi, qu’une mauvaise traduction de l’anglais« no-slipping » fait parfois appeler « condition de non-glissement » (le français met l’accentsur l’affirmation, l’anglais sur la négation !). Autrement dit, à l’interface fluide – paroi, lavitesse du fluide est égale à celle de la paroi, donc à zéro sur une paroi immobile. Ceci va un

peu à l’encontre du sens commun, et la condition d’adhérence a fait l’objet de vifs désaccordsentre physiciens au 19 ème siècle, avant de s’imposer finalement.Une conséquence de cette propriété est qu’il n’y a pas de frottement stricto sensu entrele fluide et la paroi mais, comme il a été dit plus haut, une résistance qui se répartit au sein dufluide, tout comme le glissement qui a lieu dans le fluide lui-même. Ceci explique parexemple pourquoi vous ne pouvez pas souffler toute la poussière déposée sur une surface lisse,et pourquoi il faut l’essuyer avec un chiffon. Pour la même raison, les bombes aérosols antipoussièreque l’on trouve dans le commerce sont une pure fumisterie !Revenons à présent sur la viscosité dynamique µ du fluide, qui a pour dimension :−2F L M Lt L −1−1[ µ ] = = = M L tS U 2 −1L LtL’unité correspondante est donc le kg.m -1 .s -1 ou encore Pa.s.La viscosité dynamique est une caractéristique de chaque fluide, qui dépendessentiellement de la température. A ce propos, on doit insister spécialement sur la différencede comportement d’un liquide et d’un gaz, puisque la viscosité du liquide diminue quand Taugmente (pensons aux huiles alimentaires ou de lubrification) alors que la viscosité du gazaugmente avec la température (donc le gaz naturel circule mieux dans un gazoduc sibérienque dans un gazoduc saharien !).Dans l’expérience de Couette, la force totale F p exercée sur la paroi peut être évaluéeen mesurant le couple nécessaire pour immobiliser le cylindre intérieur, d’où l’on déduit lavaleur de µ. C’est le principe du viscosimètre de Couette.On peut retenir comme valeurs de référence :- pour l’air à 20°C : : µ = 1,8 10 -5 kg.m -1 .s -1- pour l’eau à 20°C : µ = 1,03 10 -3 kg.m -1 .s -1- pour les huiles, une valeur très supérieure : 0,1 à 0,4 kg.m -1 .s -1Plus généralement, les ordres de grandeur sont faciles à retenir, en kg.m -1 .s -1 : 10 -5pour les gaz, 10 -3 pour les liquides usuels, 10 -1 pour les huiles.L’approximation du fluide parfait consiste à admettre µ ≈ 0 ; elle est parfoisacceptable loin des parois. A noter qu’il ne faut pas confondre « fluide parfait » et « gazparfait » : la viscosité du gaz parfait n’est pas nulle !A partir de (1.1) nous introduisons enfin la contrainte tangentielle τ à l’ordonnée y,qui est la force rapportée à l’unité de surface :∂Uτ = µ (N.m -2 ou Pa) (1.3)∂yLa viscosité ne se manifeste évidemment que s’il y a mouvement. En statique desfluides, il n’y a pas de différence entre fluide parfait et fluide visqueux : τ = 0.

1.1.3.3. – VISCOSITÉ CINÉMATIQUEOn définit la viscosité cinématique d’un fluide par :µν = (1.4)ρCette grandeur, qui apparaît dans les équations de la mécanique des fluides, possèdeune signification physique simple : elle traduit l’aptitude d’un fluide agité à revenir au repos.Par exemple, si v est grand : µ est grand (donc les forces de frottement sontimportantes) et-/-ou ρ est petit (donc l’inertie mécanique est faible), ce qui favorise le retourdu fluide à un état de repos.On pouvait facilement mettre cette propriété en évidence au restaurant lorsque l’huileet le vinaigre étaient présentés dans des carafes jumelées. Il suffisait d’agiter un peul’ustensile et de le reposer sur la table : la surface libre du vinaigre (v petit) oscille pluslongtemps que celle de l’huile (v grand).M L tLa viscosité cinématique a pour dimension : [ ν ] =, l’unité−3M Lcorrespondante étant le m 2 .s -1 . Ses variations en fonction de la température montrent lesmêmes différences de comportement que pour µ entre les liquides usuels et les gaz. Quant auxordres de grandeur de v , ils sont de 10 -6 m 2 /s avec les liquides et de 10 -5 m 2 /s avec les gaz.Ainsi :- pour l’eau à 20 °C : v = 1,01 10 -6 m 2 /s- pour l’air à 20 °C et 1 bar : v = 1,5 10 -5 m 2 /s- pour les huiles, v va de 1 10 -4 à 4 10 -4 m 2 /s.−1−11.2.- ÉLÉMENTS DE RHÉOLOGIE1.2.1.- Déformations♣Un fluide étant un milieu continu déformable, il est d’abord nécessaire d’exprimer lesdéformations subies au cours du mouvement, en tenant compte de la propriété de continuité.Soit, au même instant, une particule fluide située en M(x,y,z) et une autre située en unpoint très voisin M’(x + dx, y + dy, z + dz). On écrit, en désignant par O un point deréférence :OM ' = OM +d( OM )Le vecteur vitesse en M’ a pour expression :V ( M' , t ) = V( M , t ) + dV(1.5)et ses composantes sont :

∂Vi∂Vi∂ViVi′ = Vi+ dx + dy + dz (i = x, y, z)∂x∂y∂zce qui s’écrit, sous forme matricielle :⎛ ∂U∂U∂U⎞⎜⎟⎛U'⎞ ⎛U⎞ ⎜ ∂x∂y∂z⎟ ⎛ dx⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂V∂V∂V⎟ ⎜ ⎟⎜ V' ⎟ = ⎜ V ⎟ + ⎜⎟ ⎜dy⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂x∂y∂z⎟ ⎜ ⎟⎝W'⎠ ⎝W⎠⎜ ∂W∂W∂W⎟⎝ dz ⎠⎝ ∂x∂y∂z⎠En introduisant le tenseur gradient du champ des vitessess’écrit :♦(1.6)grad V , la relation (1.6)V ( M' , t ) = V( M , t ) + grad V .dOM(1.7)Pour bien séparer les différentes causes du mouvement relatif des deux particules, ilest commode de décomposer le tenseurd’un tenseur antisymétrique ω , en remarquant que :grad V en une somme d’un tenseur symétrique D et∂V∂xij=1 ⎛⎜∂V2⎝∂xij+∂V∂xij⎞⎟ +⎠1 ⎛⎜∂V2⎝∂xij−∂V∂xij⎞⎟⎠(1.8)On pose :εωijij1 ⎛⎜∂Vi=2⎝∂xj1 ⎛⎜∂Vi=2⎝∂xj∂V+∂xij∂V−∂xi⎞⎟⎠j⎞⎟⎠(1.9)toujours avec i,j = x, y, z.Les termes ε ij et ω ij sont les composantes des tenseurs D et ω , et la relation (1.7)devient :V(M′,t ) = V( M , t ) + D .dOM + ω .dOM(1.10)La vitesse de la particule située en M’ est donc la somme de trois termes représentantrespectivement un mouvement de translation d’ensemble des particules fluides, unmouvement dû à la déformation du fluide et un mouvement de rotation.

Le tenseur symétrique D (où ε ij = ε ji ) est appelé tenseur des taux de déformation, lesε ij étant les taux de déformation, exprimés en s - 1 . On appelle souvent les gradients de vitesses∂ V / ∂ « vitesses de déformation », mais ce terme est un peu impropre pour désigner desi x jgrandeurs homogènes à l’inverse d’un temps.Quant au tenseur antisymétrique ω , c’est le tenseur des taux de rotation. Sescomposantes ω ij sont les taux de rotation ( ω = − ω ω 0 ). On vérifie aisément à partirji ij , ii =de (1.9) que les composantes du vecteur ω .dOMsont aussi celles du vecteur1rotV ∧ dOM , qui représente bien un mouvement de rotation.21Le vecteur Ω = rot V est généralement appelé vecteur tourbillon (ou encore2vecteur taux de rotation). C’est le vecteur dual du tenseur ω . Un mouvement irrotationnel defluide est caractérisé par Ω = 0 (c’était sans doute l’objectif poursuivi par Alphonse ALLAISlorsqu’il avait préconisé l’utilisation de casseroles carrées pour empêcher le lait de tourner).♠Revenons au tenseur D pour interpréter plus précisément ses composantes. Sil’écoulement est irrotationnel, la vitesse relative du point M’ par rapport au point M est, selon(1.10) :d V = V( M' , t ) − V( M , t ) = D .dOM(1.11a)Plaçons-nous dans le cas particulier où M et M’ sont tous les deux sur l’axe x. Lescomposantes ded OM sont alors respectivement : dx, 0, 0. D’où :dV⎛ε⎜= ⎜ε⎜⎝εxxyxzxεεεxyyyzyεεεxzyzzz⎞⎛dx⎞⎛ε⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜0 ⎟ = ⎜ε⎟⎜0 ⎟ ⎜⎠⎝⎠ ⎝εxxyxzx⎞⎟⎟ dx⎟⎠(1.11b)Le déplacementMM ' ) s’écrit d’après (1.11a) :d MM'de M’ par rapport à M (c'est-à-dire la déformation M ' M' ' deM ' M'' = d MM' = dV dt = D .dOM dt(1.11c)Il est naturellement proportionnel à d V , et on voit que le déplacement selon x est représentépar ε xx, tandis que les déplacements selon y et z sont représentés par ε yx et ε zx.Imaginons enfin, au sein du milieu matériel considéré, deux surfaces élémentaires dSet dS’ centrées en M et M’, et perpendiculaires à l’axe x. Alors la déformation selon x(déplacement de dS’ par rapport à dS) correspond à une variation de l’écartement des deuxsurfaces, tandis que les déformations selon y et z correspondent à un glissement de dS’ parrapport à dS.Le même raisonnement peut être suivi en plaçant M et M’ sur l’axe y ou sur l’axe z,avec des surfaces dS et dS’ orthogonales à ces mêmes axes. Dans les trois cas, les termes

diagonaux de D caractérisent l’écartement de dS et dS’, tandis que les termes non diagonauxcaractérisent leur glissement. En d’autres termes, les ε ii expriment des déformations linéiques(correspondant aux notions courantes d’allongement ou de raccourcissement) tandis que les εij (i ≠ j) expriment des déformations tangentielles.FIG. 1.3. – Déplacement d’un élément de surface dS’ perpendiculaire à la direction xLa figure 1.3. tente de matérialiser cette propriété, dans le cas où dS et dS’ sontperpendiculaires à x. Elle le tente seulement car, paradoxalement, les déplacements sont plusdifficiles à représenter que les forces (voir § 1.2.3., fig. 1.5.) alors même que ce sont les seulsparamètres directement mesurables. Pour ne pas embrouiller la figure, on a dessinéuniquement dS’ et son déplacements relatif M ' M'' = d MM', de composantes δx, δy, δz dansles trois directions.Ajoutons que le glissement parallèlement au plan yz peut également être considérécomme une déformation angulaire, dont les angles θ yx et θ zx ont pour tangentes δ y / δ x etδ z / δ x (seul l’angle θ zx a été marqué sur la figure 1.3).1.2.2. – Dilatation volumiqueAprès les déformations linéiques et tangentielles, envisageons maintenant lesdéformations volumiques du fluide.Considérons un domaine matériel , déformable, de frontière S. En chaque point de S,la vitesse est V . Soit le volume du domaine (fig. 1.4).

FIG. 1.4. – Dilatation volumique d’un domaine fluidePendant un petit intervalle de temps dt, un élément de surface dS balaie un volumed 2 = ( .n) dt dSV , et le volume varie de d :∫( n normale extérieure à )d = ( V .n) dt dSSd’où, dτ désignant l’élément différentiel de volume :d / dt = divVdτ (1.12a)∫ DLa grandeur div V , appelée taux de dilatation volumique, caractérise donc la rapiditélocale de variation du volume.Dans un écoulement de fluide isochore (§ 1.1.2), on a :div V = 0(1.12b)1.2.3. – ContraintesLe problème est maintenant d’évaluer les efforts exercés sur la frontière S dudomaine .Soit dS un élément de surface entourant un point M de S. La force de contact exercéesur dS par le milieu extérieur est notéecontrainte) en M.T dS . Le vecteur T est la tension (ou le vecteurD’après le théorème fondamental de Cauchy, T étant une fonction vectoriellecontinue, il existe un tenseur T tel que :

T = T . n ( n normale extérieure à ) (1.13a)Ce tenseur T est appelé tenseur des contraintes en M.Les composantes σ ij de T sont les contraintes en M. En désignant parcomposantes de n , (1.13a) s’écrit donc aussi :n , n , n lesxyzT=⎛σ⎜⎜σ⎜⎝σxxyxzxσσσxyyyzyσ xz⎞ ⎛ n⎟ ⎜σ yz ⎟ ⎜n⎟σ ⎜zz ⎠ ⎝ nxyz⎞⎟⎟⎟⎠(1.13b)Examinons par exemple le cas où dS est perpendiculaire à l’axe Ox (fig. 1.5). Alors :⎛1⎞⎜ ⎟n = ⎜0⎟et T =⎜0⎟⎝ ⎠T xTx=⎛σ⎜⎜σ⎜⎝σxxyxzxσσσxyyyzyσσσxzyzzz⎞ ⎛1⎟⎞⎜ ⎟⎟ ⎜0⎟⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝0⎠=⎛σ⎜⎜σ⎜⎝σxxyyzz⎞⎟⎟⎟⎠(1.14)FIG. 1.5 – Contrainte Txsur un élément de surface perpendiculaire à la direction xLa grandeur σ xx est donc la composante de la contrainte Txperpendiculairement à dS,tandis que σ yx et σ zx sont les composantes de Txdans le plan de S. Le même raisonnementpourrait être repris avec dS perpendiculaire à Oy ou Oz, et s’applique également auxdéformations ε ij comme nous l’avons déjà vu (§ 1.2.1.♠). Ainsi donc :

- Les σ ii sont les contraintes normales en M. En mécanique des milieux continus, ellesreprésentent soit un effort de traction (σ ii > 0 par convention), soit un effort de compression(σ ii < 0).- Les σ ij (i ≠ j) sont les contraintes tangentielles, ou de cisaillement. Elles agissent dans leplan de dS, et tendent à faire glisser l’un par rapport à l’autre deux éléments de surfaceparallèles.1.2.4. – Fluides newtoniens♣Introduisons maintenant une loi de comportement du fluide, sous la forme d’unerelation entre les contraintes et les déformations. La loi de comportement la plus simple est dela forme :T = − pI + η divV .I + 2µD(1.15)où I est le tenseur unité, de composantes δ ij (δ ii = 1, δ ij = 0 pour i ≠ j), et où les coefficientsη et µ ne dépendent que de la température.Un fluide satisfaisant à cette loi est appelé fluide newtonien.Les justifications physiques de (1.15) sont très simples :a) les composantes - pδ ij du tenseur - p I sont des contraintes normales (termes de ladiagonales principale) indépendantes des déformations. Le paramètre p est la pressionstatique au point M. L’expérience montre qu’il est toujours positif. Cela signifie que la forcede pression est dirigée en sens contraire de n , donc vers l’intérieur du domaine étudié. End’autres termes, p traduit un effort de compression.b) les composantes du tenseur η divV . I sont également des contraintes normales, mais ellessont proportionnelles au taux de déformation volumique ( divV ) du fluide. Le paramètre η estappelé viscosité de dilatation du fluide.c) enfin, les composantes 2µε ij du tenseur 2µ D sont des contraintes proportionnelles auxtaux de déformation linéiques (ε ii ) ou angulaires (ε ij , i ≠ j). La grandeur µ est la viscositédynamique du fluide, déjà rencontrée à propos de l’expérience de Couette (§ 1.1.3.2). Quantau facteur 2, il est destiné à se simplifier plus loin avec le ½ de ε ij (relations 1.17 et 1.18).♫♪On notera que d’éventuelles contraintes liées à la rotation du fluide (parl’intermédiaire du tenseur ω ) ne sont pas prises en compte dans ce modèle élémentaire (cf. §1.4.1).Les tenseurs I et D étant symétriques, T est aussi un tenseur symétrique : σ ij = σ ji.

On pose habituellement :T = − p n + τ(1.16a)ou sous forme tensorielle :T = − p I + τ ⎫⎪⎬σ = − + ⎪ij pδij τ ij⎭(1.16b)Le tenseur τ défini par (1.16b) est le tenseur des contraintes de viscosité ; le vecteurτ est le vecteur contrainte visqueuse au point M.♦ Dans la plupart des cas usuels que l’on peut rencontrer, le terme η divV . I est soit nul(fluide isochore), soit très petit devant 2µ D . La loi de comportement se réduit alors à :T = − pI + 2µD soit : τ = 2µ D(1.17)d’où, d’après (1.9) :τij1 ⎛⎜∂V= 2 µ ε ij = 2µ2⎝∂xij+∂V∂xij⎞⎟⎠⎛ ⎞⎜∂V∂Vi jτ + ⎟ij = µen N / m 2 (ou Pa) (1.18)⎝∂xj ∂xi⎠On reconnaît dans (1.18) une généralisation de la relation (1.3) établie pour unécoulement unidimensionnel.♥ Lorsque η divV . I n’est pas négligeable, c’est-à-dire dans les écoulements à massevolumique fortement variable, on admet assez souvent la relation de Stokes : η = - (2/3)µ .Alors :τij⎛⎜∂Vi= µ⎝∂xj+∂V∂xij−23∂V∂xii⎞⎟⎠En toute rigueur, cette relation issue de la théorie cinétique des gaz n’est applicablequ’aux gaz monoatomiques. Elle reste acceptable pour les gaz diatomiques, mais η estbeaucoup plus grand que µ avec les gaz triatomiques (CO 2 , NO 2 ).

1.2.5. - Application : calcul de la contrainte locale T dans un cas simplePour illustrer ce qui précède, considérons un écoulement bidimensionnel de fluide surune surface plane imperméable, parallèle à la direction x (fig. 1.6), avec une direction yperpendiculaire à la paroi.FIG. 1.6. – Ecoulement bidimensionnel sur une plaque plane♣ D’après (1.16b) nous avons en géométrie bidimensionnelle :T⎛σ= ⎜⎝σxxyxσσxyyy⎞ ⎛−⎟ = ⎜⎠ ⎝p + ττyxxx−τxyp + τyy⎞⎟⎠(1.19a)où les τ ij sont donnés par (1.18).♦Déterminons le vecteur contrainte à la paroiTpvers l’extérieur du fluide selon la convention usuelle, soit :, en adoptant une normale n dirigée⎛ 0 ⎞n = ⎜ ⎟ dans le repère x, y.⎝−1⎠Alors, la force T p (ou T y ) exercée par la paroi sur le fluide a pour composantes :Tp⎛−p + τ= T .n = ⎜⎝ τ yxxxτxy− p + τyy⎞ ⎛ 0 ⎞⎟⎜ ⎟⎠ ⎝−1⎠Tp⎛ −τxy= ⎜⎝p − τyy⎛ ⎛ ∂U∂V⎞⎜−µ ⎜ + ⎟⎞ ⎜ ⎝ ∂y∂x⎠⎟= ⎜⎠ ⎜ ⎛ ∂V⎞p − 2µ⎜ ⎟⎜⎝ ⎝ ∂y⎠ yy = 0= 0⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠(1.19b)

Vy 0 =La paroi étant imperméable, 0( / ∂y) 0Vy 0== en tout point, d’où : ( / ∂x) 0∂=etVy 0=∂=(§ 4.3.3.2). Dans ces conditions, compte tenu du choix des directions Ox etOy, on a :Tp⎛ ⎛ ∂U⎞⎜−µ ⎜ ⎟= ⎜ ⎝ ∂y⎠⎜⎝ p⎞⎟ ⎛−τ⎟ = ⎜⎟ ⎝⎠py = 0 p⎞⎟⎠(1.19c)τ = µ ∂U / ∂yτ est la contrainte tangentielle exercée par le fluide sur laoù p ( )y 0( xy )y = 0==− µ ∂U / ∂y=représente l’effort exercé par la paroi sur le fluide). Laparoi (le terme ( )y 0contrainte ( yy )y = 0τ est nulle.Les ordres de grandeur courants pour τ p sont de 0,01 à 0,5 N/m 2 dans l’air, et de 1 à100 N/m 2 dans l’eau.♥Calculons maintenant la tension T sur un plan Π perpendiculaire à la paroi. La⎛1⎞normale est ici : n = ⎜ ⎟ (domaine fluide à gauche de Π ) ; en outre, T = Tx(§ 1.2.3).⎝ 0 ⎠Tx⎛−p + τ= ⎜⎝ τ yxxxτxy− p + τyy⎞ ⎛1⎞⎛ − p + τ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜⎠ ⎝0⎠⎝ τ yxxx⎞⎟⎠(1.19d)soit, d’après (1.18) :Tx⎛ ∂U⎞⎜ − p + 2µ⎟⎜ ∂x⎟⎛σ== ⎜⎜ ⎛ ∂U∂V⎞⎟⎜ µ ⎜ + ⎟⎟⎝σ⎝ ⎝ ∂y∂x⎠⎠xxyx⎞⎟⎠(1.19e)Nous aurons à nous servir de ces résultats au chapitre 4 (§ 4.4.3) en étudiant lastructure de l’écoulement au voisinage d’une paroi plane.1.3. – EQUATIONS DE BILANS1.3.1. – Relations générales entre flux et sourcesLes équations générales de la convection peuvent être déduites, soit sous formeintégrale, soit sous forme locale, d’une seule équation générale de bilan.Donnons-nous un domaine matériel , de dimensions finies, et de frontière fixe (fig.1.7). Supposons-le parcouru par une « entité physique » additive, c’est-à-dire telle que dansun système constitué de plusieurs parties, sa valeur totale soit la somme des valeurs de chaquepartie. Une telle entité porte le nom de grandeur extensive, et peut donc faire l’objet d’unbilan sur le domaine ; sa densité volumique locale est notée C = C(x,y,z,t).

FIG. 1.7. – Domaine soumis à un bilan. Sa frontière est fixe.La grandeur considérée peut être en particulier la masse de matière contenue dans ,sa quantité de mouvement, son énergie,… C peut donc être une fonction scalaire ouvectorielle.Toute étude concernant une grandeur extensive repose sur l’établissement de son bilandans le domaine pendant une durée dt.1.3.1.1. – CAS OÙ C EST UNE GRANDEUR SCALAIRESoit K la quantité totale de « l’entité physique » contenue dans à l’instant t (endésignant temporairement par dτ l’élément différentiel de volume) :K = C dτ = K( t )(1.20a)∫DLa variation de K pendant la durée dt peut résulter de trois causes :- Tout d’abord, il existe un flux de la grandeur extensive à travers , lié au mouvementr rdu support matériel, et représenté par un champ de vecteur ϕ S = CV. Le flux total sur apour valeur :r r r rΦ = ϕ .n dS = CV .n dS(1.20b)S∫SS ∫SBien entendu, ϕr S = 0 si est une paroi matérielle étanche, ou plus généralement si est unsystème fermé.Dans (1.20b), la normale n r à dS est orientée comme d’habitude vers l’extérieur dudomaine . On compte donc :Φ S < 0 à l’entrée, Φ S > 0 à la sortie(1.21a)D’autre part, il peut exister des sources de l’entité physique considérée, soit àl’intérieur de , soit sur (des exemples concrets en seront donnés dans les paragraphessuivants, et récapitulés à la fin du chapitre 2). Appelons q qI( x, y,z,t ) leur débitr rvolumique local dans , et q = q ( x, y,z,t ) le vecteur densité de flux surfacique local surSSla surface frontière .Le terme q I est compté > 0 pour une source stricto sensu et < 0 pour un puits.I =

qSEn ce qui concerne q r S , on introduit une densité de flux des sources sur en posant :r r= q .n . On a donc comme pour Φ S (1.21a) : q S > 0 à la sortie et < 0 à l’entrée.SNotons Q S le flux total des sources sur et Q I le débit total des sources de volume :r rQ ==∫ S ∫S q S .n dS ; Q I qD I dτ(1.21b)Compte tenu des conventions de signes précédentes, si q rS ou V r est dirigé versl’intérieur de , Q S ou Φ S est compté négatif, mais contribue à augmenter K, ce qui impliquedK > 0 (et inversement). Dans le bilan algébrique de la grandeur K sur pendant un tempsélémentaire dt, Q S et Φ S doivent donc être affectés du signe moins :∂KdK = dt = QIdt − QSdt − Φ S dt(1.21c)∂tIl est intéressant de grouper d’un côté la variation de K et le terme de transport, del’autre les sources. Compte tenu de (1.20b) et (1.21b), la formulation générale du bilan de Ksur s’établit donc ainsi :∂∂tr rr rτ q .n dS(1.22)C d + CV .n dS = q −∫ ∫ ∫ ∫I dτD S D S SNotons dès à présent que, puisque la frontière du domaine a été choisie fixe, on a :∂∂CC dτ= dτ∂t∫D∫D∂tet cette formulation sera retenue dans la suite.Le théorème connu sous le nom de « flux – divergence » permet de transformer lesintégrales sur en intégrales sur , et (1.22) devient :∂Crrdτ+ div( CV )dτ= q dτ− div q∫ ∂ ∫ ∫ ∫S dτ(1.23)tDDD ICette équation étant valable ", si C est continue, alors :D∂C∂t+rdiv( CV ) = qr− divI q S(1.24)Rappelons que :C = densité volumique de la grandeur considéréeq I = débit volumique des sources dans q rS = vecteur densité de flux des sources sur L’équation (1.22) représente un bilan intégral sur un domaine de dimensions finieset de frontière fixe, qui répond en général aux besoins de l’ingénieur. Quant à la relation(1.24), elle exprime un bilan local, ou différentiel.

1.3.1.2. – CAS OÙ C EST UNE FONCTION VECTORIELLELorsque l’entité physique faisant l’objet d’un bilan est de nature vectorielle, latransposition du cas précédent est aisée :- le débit volumique des sources devient une grandeur vectorielle q r I ;- le vecteur densité de flux des sources de surface à travers devient une grandeur tensorielleqS, tandis que la densité de flux scalaire devient un vecteur q r S ;- la densité de flux transportée à travers par le mouvement du support matériel est C ⊗ V . n .Les conventions de signes (1.21a) n’ayant de sens que pour une somme algébrique descalaires, elles n’ont plus à être prises en compte ici, où l’on effectue une somme vectorielle,et le bilan intégral s’écrit :∂Cd + C ⊗V .n dS = q +∫ ∫ ∫ ∫ I dτD∂tτ q dS(1.25)SDOn peut ensuite passer au bilan local comme dans le paragraphe précédent, en écrivantq r r r rS sous la forme d’un produit tensoriel contracté, et de même pour C ⊗ V . n (§ 1.3.3, bilande quantité de mouvement).En projetant sur les axes de coordonnées, on pourra évidemment remplacer (1.25) partrois équations scalaires.SS1.3.1.3. – REMARQUES♣La technique du bilan sur un domaine fixe présente entre autres avantages celui de nepas faire intervenir la notion de « dérivée particulaire », et donc d’alléger le raisonnement.Compte tenu toutefois de l’usage encore largement répandu de la dérivationparticulaire, et de son importance historique en mécanique des fluides, cette notion estbrièvement présentée et discutée dans l’Annexe 1.A.1, avec les bilans sur les domainesmobiles.♦D’autre part, on notera que les équations de bilan local ayant la forme (1.24) sont deséquations aux dérivées partielles. Celles – ci ont eu longtemps la faveur des utilisateurs, quirecherchaient des solutions analytiques. Le développement des moyens de calcul numériquepermet non seulement d’aller plus loin dans la résolution de telles équations, mais de redonneraussi tout leur intérêt aux équations intégrales, souvent mieux adaptées aux problèmesindustriels. C’est le cas des calculs par volumes finis sur des domaines macroscopiques (parexemple pour la simulation des grandes structures turbulentes, cf. § 3.6).

1.3.2. – Bilan de masse1.3.2.1. – BILAN DE MASSE TOTALENous choisirons comme premier exemple d’entité physique la masse de matièreprésente dans le domaine . Celle-ci étant une grandeur scalaire, la correspondance avec lestermes qui interviennent dans (1.22) et (1.24) est alors la suivante :• C = ρ, masse volumique du milieu matériel (en kg/m 3 )r• q I = 0 et q S = 0 , car il ne peut y avoir de sources de masse, en vertu du principe deconservation de la masse totale.Les équations de bilan intégral et local s’écrivent donc ici :∂ρdτ+ ρV .n dS =∫ ∫D ∂tS∂ρr+ div ρ V = 0∂trr0(1.26)(1.27)L’équation (1.27) de bilan local est traditionnellement baptisée équation de continuité.Pour un fluide isochore (ρ = cte), on retrouve l’équation (1.12b) :rdiv V =0L’expression « débit–masse de fluide à travers une surface » (ou encore débitmassique) désigne habituellement le terme de transport, c’est-à-dire le flux de masse, noté q m :r rq = ρ V . n dS (en kg/s)m∫Sd’où l’interprétation de (1.26) : la variation de masse de pendant le temps dt = 1 est égaleau débit – masse à travers .1.3.2.2. – BILAN DE MASSE SUR UN CONSTITUANTSi le milieu matériel contenu dans est un mélange de plusieurs constituants (souventappelés espèces dans le vocabulaire du génie des procédés), on peut aussi établir un bilan demasse sur un seul d’entre eux, noté A. On a dans ce cas :• C = ρ A , masse volumique du constituant A dans le mélange (en kg/m 3 )• q I = q IA , taux de production local de A (en kg/m 3 .s).Ici, on pourra avoir q IA ≠ 0 si le mélange est le siège d’une transformation dans sacomposition (réaction chimique, changement de phase). Par exemple, dans la combustiond’un hydrocarbure C n H m il apparaît un puits de masse si le bilan porte sur C n H m ou sur O 2 (q I< 0), et une source de masse s’il concerne CO 2 ou H 2 O (q I > 0). De même, dans un mélangeliquide – vapeur en évolution, le bilan de masse sur l’une des deux phases fera intervenir unterme de source q I ≠ 0.

= , vecteur densité de flux de masse relatif au constituant A pour les sources der rsurface, le débit-masse local de ces sources étant qSA= qSA. n (en kg/m 2 .s). Ce termeinterviendra si A diffuse dans le mélange (§ 1.3.6.2).• q S qSAConformément à (1.22) et (1.24), le bilan intégral et le bilan local de masse pour leconstituant A sont donc exprimés par les relations :∂ρr∂ t∂ρrA+ div ρ A V = qIA∂tArdτ+ ρ = −∫ ∫A V .n dS q∫ ∫IA dτD SD S SAr− div qSArqr.n dS(1.29a)(1.29b)1.3.3. – Bilan de quantité de mouvement1.3.3.1. – CAS GÉNÉRALAttachons-nous maintenant à exprimer le bilan de quantité de mouvement sur ledomaine . Il concerne une grandeur vectorielle, et constitue donc une application de larelation (1.25).La loi fondamentale de la mécanique stipule que la variation de quantité demouvement d’un système matériel est égale à la somme des forces appliquées. En d’autrestermes, les « sources » de quantité de mouvement sont les forces appliquées au système, quise divisent en deux catégories :- les forces de volume, représentées par un champ continu F r( x, y,z,t ) sur : forces depesanteur (incluant les forces de flottabilité en convection libre ou mixte), éventuellementforces électromagnétiques dans le cas de fluides chargés électriquement ;- les forces de surface sur : champ des contraintes de surface T r (1.13), forces de tensionsuperficielle si est la surface frontière entre deux phases dans un mélange polyphasique, ouentre deux constituants non miscibles dans un mélange hétérogène.On a donc, dans (1.25) :r r• C = ρV, quantité de mouvement volumique (en N.s/m 3 )r r• q I = ρ F pour les sources volumiques (soit ρ g r en ne considérant que les forces depesanteur) (en N/m 3 pour q I , en N/kg pour F)r r r• = T = T . n si le fluide est homogène (en Pa)q SLa quantité de mouvement transportée par le fluide à travers s’écrit :r r r rρ V ⊗V .n dS = P .n dS(1.30a)∫S∫S

où P = ρ V ⊗ V est le tenseur des quantités de mouvement, de composantes :P = ρV V (en Pa)ijijsoit encore :⎛ 2⎞⎜U UV UW⎟⎜2P = ρ VU V VW ⎟(1.30b)⎜⎟2WU WV W⎝⎠L’expression du bilan intégral (1.25) est alors :r( r rT dS∂t∂ ρV) rdτ+ P .n dS = ρ F dτ+∫ ∫ ∫ ∫DSDS(1.31)où les termes du second membre représentent la somme des forces extérieures à : résultantedes forces de volume et résultante des actions de contact sur .r rLorsque les seules forces de volume en jeu sont les forces de pesanteur ( F = g ), leurrésultante est le poids du fluide contenu dans :r rρ g dτ= m g∫ Dr rPassant maintenant au bilan local de quantité de mouvement, et sachant que T = T . n ,on obtient à partir de (1.31), si le champ de vitesse V r est continu :r∂(ρ V )r+ div P = ρ F + divT(1.32)∂tavec, d’après l’Annexe 1.A.2 :div Pr r r= grad V . ρ V + V div( ρ V )(1.33a)expression où l’on retrouve le tenseur gradient du champ des vitesses grad Vr (1.7). Lesrtermes div P et grad V . ρVsont des vecteurs, le second ayant pour composantes :⎛⎞⎜ρV .grad U⎟grad V . ρ V = ⎜ ρV .grad V ⎟(1.33b)⎜⎟ρV .grad W⎝⎠(dans le deuxième membre, l’usage est de mettre V en premier, ce qui est permis par lacommutativité du produit scalaire).Si la viscosité dynamique µ varie peu (µ ≈ cte), l’expression deelle (Annexe 1.A.2) :div T s’écrit quant àrdivT = − grad p + µ ( ∆V+ grad divV )(1.33c)

où ∆ V r⎛ ∆U⎞⎜ ⎟est le laplacien vectoriel du champ de vitesse : ∆Vr= ⎜ ∆V⎟⎜ ⎟⎝∆W⎠Reportant (1.33 a et c) dans (1.32), on aboutit à l’équation vectorielle :(1.33d)∂(ρV)∂t+grad V . ρV+ Vdiv ρV= ρ F−gradp+ µ ( ∆V+graddivV )(1.34)A condition que le bilan de quantité de mouvement porte sur la totalité de la matièrecontenue dans , le recours à l’équation de continuité :simplification de l’équation de bilan, et il vient :div ρ V = − ∂ρ/ ∂tpermet enfin une∂Vρ + grad V . ρV= ρ F − grad p + µ ( ∆V+ grad divV )(1.35)∂tOn retrouve bien entendu le cas particulier de l’hydrostatique (fluide immobile dans lechamp de pesanteur) en faisant V = 0 et F = g . Il reste :grad p = ρ g(1.36a)soit, avec un axe z dirigé vers le haut :dp = − ρ g dz(1.36b)Un autre cas particulier d’importance historique, le mouvement d’un fluide parfaitisochore sans champ de force extérieur, est décrit par l’équation d’Euler (1755) :∂V∂t+grad V .V= −1gradρp(1.36c)1.3.3.2. – CAS PARTICULIER : FLUIDE ISOCHORE DANS LE CHAMP DE PESANTEURLe plus souvent, on est amené à travailler sur des écoulements dans lesquels le fluidepeut être supposé isochore ( ρ = cte , divV = 0 ), et où ρ F = ρ g .C’est alors qu’il est habile de grouper les termes de pression et de pesanteur en posant :gradp*= grad p − ρ g(1.37a)La grandeur p* ainsi définie est la « pression motrice », et le bilan (1.35) devient :∂ Vρ + grad V . ρV= − grad p* + µ ∆V∂t(1.37b)ou encore, en projection sur les axes d’un repère orthonormé x, y, z quelconque, et aprèsdivision par ρ (cf. 1.33b) :

∂U∂t∂V∂t∂W∂t+ V .grad U+ V .grad V+ V .grad W1 ∂p*= −ρ ∂x1 ∂p*= −ρ ∂y1 ∂p*= −ρ ∂z+ ν ∆U+ ν ∆V+ ν ∆W(1.37c)L’introduction de la pression motrice p* offre l’appréciable avantage de rendre leséquations scalaires (1.37c) indépendantes de l’orientation des axes par rapport à l’horizontaleet à la verticale, et donc de décrire de manière identique tous les écoulements, quelle que soitleur direction vis –à- vis de la pesanteur.Cependant, pour des raisons bien compréhensibles, la plupart du temps on choisit x ety comme directions horizontales, et z pour la direction verticale ascendante. Dans cesconditions, on remarquera que :g= −grad gzAlors, d’après (1.37a) :gradp*= grad ( p + ρgz)(1.38a)ce qui donne l’expression de la pression motrice p* (à une constante près) :p*= p + ρgz(1.38b)Quant aux équations (1.37c), qui sont alors appelées « équations de Navier – Stokes »,elles prennent la forme :∂U∂U∂U∂U1 ∂p+ U + V + W = − + ν ∆U∂t∂x∂y∂zρ ∂x∂V∂V∂V∂V1 ∂p+ U + V + W = − + ν ∆V∂t∂x∂y∂zρ ∂y∂W∂W∂W∂W1 ∂p+ U + V + W = − g − + ν ∆W∂t∂x∂y∂zρ ∂z(1.38c)En coordonnées cylindriques, les équations de Navier – Stokes sont données à la findu présent chapitre, dans les annexes.Enfin, si nous revenons au cas d’un fluide immobile ( V = 0 , cf. 1.36b) on arrive à la« loi de l’hydrostatique » :grad p* = 0 soit p * = p + ρ gz = cte(1.38d)

1.3.4. – Bilan d’énergie mécanique1.3.4.1. – FORME GÉNÉRALELe bilan d’énergie mécanique n’est en fait qu’un sous-produit du bilan de quantité demouvement. Il est cependant très utilisé, l’un de ses avantages étant le caractère scalaire del’équation qui l’exprime. Il constitue en outre une étape indispensable pour établir le biland’énergie interne (§ 1.3.5).On part de l’équation (1.32) de bilan local :∂(ρV)∂t+div P= ρ F+divTMultiplions scalairement les deux membres par V :∂(ρV)V . + V .div P = ρ F .V + V .divT∂t(1.39a)Le calcul des produits scalaires, que l’on trouvera dans l’annexe 1.A.3, conduit àl’équation suivante :( V σ )22∂⎛V⎞ ⎛V⎞⎜ ⎟i ij Vidiv⎜V⎟ ∂∂= F .V + − ijt ⎜ρ2 ⎟+⎜ρ2 ⎟ρσ(1.39b)∂∂xj ∂xj⎝ ⎠ ⎝ ⎠avec sommation sur les indices répétés pour les deux derniers termes.Si l’on compare cette relation à l’équation générale de bilan local (1.24), on constatequ’elle exprime un bilan local d’énergie cinétique ( C = ρ V / 2 , en J/m 3 ). Les termes dusecond membre représentent les sources d’énergie cinétique, qui sont les puissances desforces appliquées (W/m 3 ), à savoir :- puissance des forces de volume : ρ F . V- puissance des forces de surface, c'est-à-dire des contraintes, exprimée par une divergence∂(Viσ ij )(relation 1.23) : div V .T =∂xj- puissance locale des forces intérieures, ou puissance de déformation, due à la déformation dechaque élément de volume sous l’effet des contraintes : σ ∂V / ∂x. Dans un champ devitesse uniforme (mouvement en bloc), ce terme est nul.Intégrons maintenant (1.39b) sur le domaine :⎛⎞⎛⎞22∂(Vσ )∂Viσ ijD 2D 2DD ∂xjD ∂xj∂∫ ⎜⎜ V⎟⎟ +=+−∫ ⎜⎜ V⎟⎟i ijρ dτdiv ρ .V dτρ F .V dτdτ∫ ∫ ∫∂t⎝⎠⎝⎠ij2ij

L’application du théorème flux-divergence permet d’aboutir au bilan intégrald’énergie cinétique, encore appelé en mécanique théorème de l’énergie cinétique :∫D∂⎛⎜ V∂ ⎜ρt 2⎝2⎞⎟⎟dτ+⎠=∫D∫S2Vρ2ρ F .V dτ+. V .n∫SV σ nidSijjdS−∫Dσij∂V∂xijdτ(1.40)(avecF = g si les seules forces de volume sont les forces de pesanteur).1.3.4.2 – APPLICATION AUX FLUIDES NEWTONIENSSi le fluide est newtonien, σ ij est de la forme :σ = + (1.16b). Nous leij − pδij τ ijreportons dans les deux derniers termes de (1.40), en rappelant que T = T . n et queτ = τ . n .♣ Puissance des forces de surface. D’après (1.16a) :T .V= −pn.V+ τ .VSur l’ensemble de la surface , cette puissance a pour valeur :∫SViσ ij n j dS = − pV .n dS + V∫ ∫i τ ij n j dS(1.41a)SSCas particulierEn présence de parois imperméables fixes, la puissance des forces de surface est nulle.On a en effet sur de telles parois :i) V ⊥ n ,d’où V .n = 0 en tout point (1.41b)⎧Vi= 0 si le fluide est visqueux⎫⎪⎪ii) ⎨ ( adhérence à la paroi ) ⎬ d' où Viτ ij = 0⎪ij 0 si le fluide est parfait ⎪⎩τ=⎭(1.41c)♦ Puissance des forces intérieures :∂Vi∂Vi∂Viσ ij = − pδij + τ ij = − p divV + Φ∂x∂x∂xjLa fonction Φ qui vient d’apparaître :jj

∂V⎛i V Vi j ⎞⎜∂ ∂ ∂ViΦ = τ ij = µ + ⎟(1.42)∂xj x j x⎝∂ ∂ i ⎠∂xjest appelée « fonction de dissipation ». Elle représente la puissance locale des forces deviscosité dans le fluide, en W/m 3 (cf. § 1.3.5.1).Rappelons au passage la convention de sommation sur les indices répétés : (1.42) doitse lire :⎛ ⎞⎜∂V∂Vi j⎟∂ViΦ = ∑ µ +(1.42a)⎝∂xj ∂xi⎠∂xji,jEn particulier, dans un écoulement unidimensionnel (écoulement de Couette, §1.3.3.2et chap. 6) on a : U = U(y), V=W=0, d’où :2⎛ ∂U⎞Φ = µ ⎜ ⎟(1.42b)⎝ ∂y⎠relation également valable dans les écoulements de couche limite (chap. 3 et 4).Le second principe de la thermodynamique postule que Φ est positive, ce que l’onconstate toutes les fois qu’elle est calculable.Le terme d’où émerge cette fonction de dissipation étant précédé du signe moins dansla relation de bilan (1.40), cela signifie qu’elle représente une énergie mécanique perdue(« dissipée ») du fait de la viscosité. Elle réapparaîtra dans le bilan d’énergie interne (§1.3.5.1)sous les apparences d’une source volumique de chaleur. Pour se référer à un exemple connu,c’est avec Φ que Mr Joule a chauffé son célèbre calorimètre. La propriété Φ > 0 exprimel’irréversibilité de cette transformation d’énergie mécanique en chaleur.Intégrons sur ; il vient :∂Vσ Φ dτ(1.43)∂xi∫ij dτ= − p divV dτ+∫ ∫D jD D♥ Puissance des forces de volume :Dans le champ de pesanteur, on sait que si z est la direction verticale ascendante(§1.3.3.1) :g= − grad gz(1.44a)Ecrivons :ρ g .V = − ρ grad gz .V = − div( ρgzV) +soit, d’après la relation de continuité (1.27) :∂ρρ g .V = − div( ρgzV ) − gz∂tgzdiv ρV

ce qui peut encore s’écrire, puisque z est indépendant de t dans un repère fixe :∂(ρgz)ρ g .V = − div( ρgzV ) −∂tet :∂(ρgz)ρ g .V dτ= − ρgzV .n dS −dτ(1.44b)∫ ∫ ∫ ∂t♠DSDEn reportant les expressions (1.41), (1.43) et (1.44b) dans le théorème de l’énergiecinétique (1.40), on obtient après regroupement des termes la formule de Cotton-Fortier, ouéquation de Bernoulli généralisée :∫=D∫⎛⎜ρgzt ⎜+⎝∂∂V τ nSiijjVρ2dS−2∫⎞⎟⎟dτ+⎠S∫SpV .n dS +⎛⎜⎜ρgz+⎝∫D2Vρ2p divV dτ−⎞⎟⎟V .n dS⎠∫Φ dτD(1 .45a)(on écrit aussi Bernouilli : l’orthographe des noms propres n’était pas encore stabilisée au18ème siècle !)Lorsqu’il existe des surfaces solides mobiles à l’intérieur de (c’est le cas pour lespompes, turbines, hélices…), elles fournissent au fluide (ou reçoivent de lui) une puissancetotale W (W > 0 ou < 0). Il s’agit d’une source d’énergie supplémentaire, et on ajoutera W ausecond membre de (1.45a).On observera que l’équation de Bernoulli généralisée (1.45a) se présente comme un2bilan de l’énergie mécanique ρ gz + ρV/ 2 (énergie potentielle + énergie cinétique), dontles sources sont les termes du second membre.Enfin, sous forme locale, cette équation (1.45a) ou (1.40) devient :∂⎛⎜⎜ρgz∂t⎝2V+ ρ2⎞ ⎛⎟ ⎜⎟+ div⎜ρgz⎠ ⎝2V+ ρ2⎞⎟⎟V⎠=∂(Vτ )i∂xjij− div pV+pdivV− Φ(1.45b)1.3.4.3. – ÉQUATION DE BERNOULLINous examinons ici un cas particulier considéré comme référence : celui d’unécoulement permanent de fluide parfait isochore (ρ = cte, ∂ / ∂t= 0 , µ = 0).On montre en cinématique des fluides que dans un écoulement permanent, lestrajectoires sont confondues avec les lignes de courant. En tout point M, le vecteur vitesseV ( M ) est donc tangent à la trajectoire qui passe par M.

FIG. 1.8. – Tube de courant élémentaireChoisissons comme domaine un tube de courant élémentaire, c'est-à-dire unensemble de lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé, de section dS très petite(fig.1.8). Alors, en tout point de la surface latérale, on a : V .n = 0 .Limitons ce tube par deux sections planes dS 1 et dS 2 (sur la figure 1.8 elles ont étéreprésentées perpendiculaires à la vitesse, mais leur orientation est a priori quelconque).Compte tenu des conditions imposées, (1.45a) devient :⎛⎜gz⎜ρ⎝= −1p2V⎞⎛1 ⎟⎜ V+ ρ V1.n1dS1+ gz22⎜+⎟ρ ρ2⎠⎝1V1.n1dS1−p2V2.n2dS222⎞⎟V⎟⎠2.n2dS2(1.46a)Appliqué au même tube de courant, le bilan de masse (1.26) s’écrit :ρ V1 .n1dS1+ ρV2.n2dS2= 0ce qui exprime tout simplement la conservation du débit dans le tube.En reportant dans (1.46a), on obtient l’équation de Bernoulli :⎛22V⎞ ⎛1V⎞⎜⎟ ⎜2 ⎟gz1 − gz2= p2− p12⎜+⎜ρ + ρ⎟ρ ρ2⎟(1.46b)⎝⎠ ⎝⎠

Le long d’un tube de courant élémentaire, la variation de l’énergie mécanique dufluide est égale et opposée à la variation de la pression.1.3.4.4. – UN AUTRE REGARD SUR LA PRESSIONLa forme (1.46b) retenue ici pour l’équation de Bernoulli n’est pas la plus répanduedans la littérature. On préfère souvent la présenter comme une équation de conservation, enl’écrivant :2V1V2p1 + ρ gz1+ ρ = p2+ ρgz2+ ρ(1.46c)22!!! Cette autre manière de voir illustre une chose importante : c’est l’ambivalence de la« pression statique » p (introduite, rappelons-le, au § 1.2.4 pour caractériser un fluidenewtonien) qui se manifeste sous deux aspects, tantôt comme contrainte (s’exprimant en⎛N/m 2 ), tantôt comme énergie volumique, en J/m 3⎟ ⎞⎜N N × m Jpuisque = = . Ceci2 23⎝ m m × m m ⎠justifie la terminologie usuelle qui désigne le groupement conservatif de (1.46c) parl’expression « pression totale » p t :2Vpt= p + ρ gz + ρ(1.47a)2Dans le même esprit, l’énergie cinétique par unité de volume est appelée « pressiondynamique » p d :♪♫pd22V= ρ(1.47b)2Plus généralement, en régime permanent (∂ / ∂t = 0) il est légitime de faire apparaîtrela formule de Cotton-Fortier comme un bilan de pression totale, en faisant passer le terme enp V dans le premier membre de (1.45 a ou b). Il vient ainsi pour la forme intégrale :⎛2 ⎞⎜V ⎟=+−∫ ⎜p + ρ gz + ρ⎟V .n dS V∫ij jSS ∫D∫i τ n dS p divV dτΦ dτ(1.48)2D⎝⎠Nous retrouverons cette expression au chapitre 6 pour le calcul des pertes de chargedans les canalisations.1.3.5. – Bilans d’énergie et d’enthalpie1.3.5.1. – BILAN D’ÉNERGIE INTERNELa grandeur considérée est maintenant l’énergie que possède en propre le fluide dudomaine (énergie interne + énergie cinétique), dont le bilan est exprimé par le premierprincipe de la thermodynamique. D’après ce principe, les sources correspondantes sontconstituées par :

- la puissance des forces extérieures à - le flux de chaleur fourni à par le milieu extérieur à travers - la puissance calorifique créée à l’intérieur de .Ceci permet d’établir la signification des termes représentés dans les équations debilans (1.22) et (1.24) :♣ La densité C concernée est ici l’énergie volumique :2VC = ρ e + ρ (J / m 3 ) (1.49a)2e désignant l’énergie interne par unité de masse.♦ Les sources volumiques représentées par la grandeur q I sont :- la puissance des forces de volume ρ F . V , réduite à ρ g . V lorsque les forces de pesanteursont seules en jeu ;- la puissance calorifique P par unité de volume, dégagée ou absorbée à l’intérieur de dufait d’une réaction chimique, d’un courant électrique, de micro-ondes, de l’émission d’unrayonnement par un gaz chaud, d’un changement de phase… :P = P(x, y ,z, t) (P < 0, ou > 0, ou = 0)d’où :q I = ρ g .V + P (W / m 3 ) (1.49b)♥Les sources surfaciques d’énergie regroupées dans le terme q S sont principalement :- la puissance des forces de surface - T . V, où T est la force exercée par le milieu extérieursur . Si le travail est moteur ( T .V > 0 ) il est fourni à , donc q S forcesest du sens contrairede n (normale extérieure). Si le travail est résistant ( T .V < 0 ) il est fourni par , doncq et n sont de même sens. Ainsi, dans les deux cas on a :SforcesqSforces.n = − T .V(1.49c)D’après (1.13), en conservant la convention de sommation sur les indices répétés :( T .n) .V = V i σ ij n jT .V = (W / m 2 ) (1.49d)- la densité de flux de chaleur ϕ qui traverse , donnée par la loi de Fourier :soit :qSchaleurqSchaleur= ϕ = − λ grad T.n = ϕ .n = ϕ = − λ grad T .n(1.49e)

où λ désigne la conductivité thermique du milieu (W / m . K ) et T la température, le signe –provenant toujours d’une normale n dirigée vers l’extérieur de .- le rayonnement ϕ r absorbé au niveau de , si le milieu est semi-transparent :λ =∞Lλ = ∫ π λ Ω dΩdλ0 4∫q = ϕ =(1.49f)S rayrL λ étant la luminance spectrale du milieu, et Ω un vecteur unité balayant l’espace sur 4πstéradiants.Au total :qS.n = − V σ n − λ grad T .n + ϕ .n(1.49g)iijjrLe bilan intégral d’énergie est obtenu en reportant les termes précédents dans (1.22) :∫D=⎛∂ ⎜ V⎜ρ e + ρ∂t2⎝∫ρ g .V dτ+D2∫⎞⎟⎟dτ+⎠D∫P dτ+S∫⎛⎜ V⎜ρ e + ρ2⎝SV σiijnj2⎞⎟⎟V .n dS⎠dS +∫λ grad T .n dSS−∫Sϕ .n dSrSi l’on tient compte maintenant de l’équation (1.40) qui exprime le bilan d’énergiecinétique, et en utilisant (1.43), on aboutit au bilan intégral d’énergie interne :∫D=∫( ρ e)∂∂tP dτ+Ddτ+∫∫Φ dτ−DSρ eV .n dS∫Dp divVdτ+∫λ grad T .n dSS−∫Sϕ .n dSr(1.50)Cette relation constitue en quelque sorte un « premier principe bis », et caractérise lessources d’énergie qui sont spécifiquement des sources d’énergie interne, à savoir :• Pour les sources de volume : la puissance thermique P, l’énergie mécanique Φdissipée par les frottements visqueux (qui réapparaît ici comme source de chaleur) et lapuissance liée à la dilatation volumique p divV,• Pour les sources de surface : le flux de chaleur et le flux de rayonnement.La forme locale du bilan d’énergie interne est obtenue de la manière usuelle, enappliquant le théorème flux - divergence à (1.50) :( ρ e) + div ( ρ eV ) = P + Φ − p divV + div ( λ grad T ) − divϕr∂∂t(1.51)

1.3.5.2. – BILAN D’ENTHALPIEPour intéressantes qu’elles soient, les relations (1.50) et (1.51) ne sont pas trèsopérationnelles car elles contiennent une grandeur non directement mesurable, à savoir :l’énergie interne e. Si l’on met à part le rayonnement, les paramètres directement accessibles àl’expérience sont la pression, la vitesse et la température. Pour substituer cette dernière àl’énergie interne, on devra passer par l’intermédiaire de l’enthalpie et des fonctionsthermodynamiques.Considérons donc l’enthalpie massique h :H = e + p / ρ , soit ρ e = ρ h – pReportons dans (1.50) ou (1.51) ; il vient, si nous passons directement à l’écriturelocale :∂∂tsoit encore :( ρ h) ∂p− + div ( ρ hV ) − div pV = P + Φ − p divV + div ( λ grad T ) − divϕr∂t( ρ h) ∂p+ div ( ρ hV ) = + P + Φ + V .grad p + div ( λ grad T ) − divϕr∂∂t∂t(1.52)La relation ci-dessus (ou sa forme intégrale, que nous n’avons pas écrite) s’interprètecomme un bilan d’enthalpie, et indique par là même quelles sont les sources d’enthalpie :• pour les sources volumiques : ∂ p / ∂t,P, Φ , et V .grad p• pour les sources surfaciques : les flux de chaleur conductif et radiatifSachant que :∂ρdiv ρ V = − (équation de continuité),∂t(1.52) devient :∂hρ∂t+ ρ V .grad h =∂p∂t+ V .gradp+P+ Φ +div( λ grad T ) − divϕr(1.53)L’enthalpie dépend du temps t et des coordonnées d’espace x i par l’intermédiaire de Tet de p. On écrira donc :⎧ ∂h∂h∂T∂h∂p⎪= +∂t∂T∂t∂p∂t⎨∂h∂h⎪grad h = grad T + grad⎪⎩∂T∂pp(1.54)On sait, d’autre part que, C p étant la chaleur massique à pression constante (J / kg . K)et β le coefficient de dilatation volumique à pression constante (1 / K), on a :

⎧ ∂h⎪= C∂T⎨∂h1⎪ =⎩∂pρp( 1 − β T )(1.55)L’insertion de (1.54) et (1.55) dans (1.53) permet de relier la distribution detempérature au mouvement du fluide ; il vient après simplification :⎛ ∂T⎞ρ C p ⎜ + V .grad T ⎟⎝ ∂t⎠⎛ ∂p⎞= β T ⎜ + V .grad p⎟+⎝ ∂t⎠P+ Φ +div( λ grad T ) − divϕr(1.56)Cas particuliers (en l’absence de rayonnement):1. Écoulements de gazOn admet qu’il s’agit de gaz parfaits, d’où : β = 1 / TPratiquement, les termes ∂ p / ∂t,V .grad p, Φ sont presque toujours négligeables, etil reste :⎛ ∂T⎞ρ C p ⎜ + V .grad T ⎟ = P + div ( λ grad T ) − divϕr(1.57a)⎝ ∂t⎠2. Écoulements de fluides isochores :On peut vérifier que β ∆T est petit par rapport à Φ.L’équation (1.56) se réduit à :⎛ ∂T⎞ρ C p ⎜ + V .grad T ⎟ = P + Φ + div⎝ ∂t⎠( λ grad T )3. Milieux immobilesLe transfert d’énergie est purement conductif. Il est décrit par l’équation :∂Tρ C p = P + div∂t( λ grad T )(1.57b)(1.58)Lorsque la conductivité thermique λ du milieu est constante, on retrouve l’équationlinéaire classique :∂Tρ C p = P + λ ∆T∂t(1.59)Enfin, s’il n’y a pas de sources volumiques de chaleur (P = 0), et en introduisant leparamètre :λa = (1.60)ρC p

dénommé « diffusivité thermique » du milieu, la loi d’évolution de la température est donnéepar l’équation :a ∆ T = ∂T/ ∂t(1.61)La diffusivité thermique possède la même dimension (m 2 /s) que la viscositécinématique ν, et s’interprète physiquement d’une manière analogue (§ 1.1.3.3) : elle traduitl’aptitude du matériau à effacer les hétérogénéités de température. Par exemple, si a est grand :λ est grand (la chaleur passe facilement d’un point à un autre) et / ou ρ C p est petit (il y a peude chaleur à transférer).Plus généralement, ces deux paramètres caractérisent des mécanisme de diffusion dontnous allons parler maintenant plus en détail.1.3.6. Prise en compte des phénomènes de diffusion dans les équations de bilans1.3.6.1. – LOI GÉNÉRALE DE LA DIFFUSIONPour établir la forme générale d’une équation de bilan dans un domaine limité parune frontière , nous avons raisonné au paragraphe 1.3.1 sur une grandeur – ou entitéphysique – K, de densité volumique C variable en fonction des coordonnées d’espace et dutemps, et nous avons distingué au niveau de la surface des flux et des sources.Cette distinction permet de prendre en compte le fait que le transfert de K peuts’effectuer suivant deux mécanismes très différents : par mouvement du support matériel(transport convectif, encore appelé advection) ou par diffusion.Dans le premier cas, le transport est lié à la vitesse du fluide, et le vecteur densité deflux de K s’écrit :ϕ S = C Vd’où l’expression du flux correspondant à travers (relation 1.20) :ΦS=∫CV .n dSSLe transfert par diffusion est caractérisé, quant à lui, par une loi phénoménologiqueparticulière : le vecteur densité de flux est proportionnel au gradient de densité volumique C(ou au gradient de concentration dans des systèmes à plusieurs constituants) et dirigé dans lesens des densités décroissantes :q S= − k grad C(1.62)Il s’agit d’un mécanisme irréversible qui manifeste une tendance à l’uniformisation dela composition, du champ des vitesses ou du champ de température, et qui n’est pas lié defaçon directe au mouvement du fluide. Il se rencontre d’ailleurs tout aussi bien dans lesmilieux immobiles.Dans une analyse de bilan en termes de flux et de sources, le transfert par diffusioncorrespond à une source surfacique.

.Examinons brièvement les principaux cas de diffusion1.3.6.2. – DIFFUSION DE MATIÉRE (OU DIFFUSION MASSIQUE)♣Diffusion pureConsidérons tout d’abord le cas où le fluide est composé de plusieurs constituants, etoù ceux-ci présentent un gradient de concentration.De nombreux exemples d’une telle situation peuvent être cités. Le plus illustratif estpeut-être celui qui figure dans beaucoup de traités de thermodynamique pour présenter lanotion d’irréversibilité. On imagine deux enceintes fermées, séparées par une paroi, etcontenant deux gaz différents (disons O 2 et N 2 ) à la même pression. A un moment donné, onouvre une trappe dans la paroi. Que se passe – t – il ? Les molécules d’oxygène qui auraientfrappé la paroi à cet endroit du fait du mouvement brownien vont entrer progressivement dansl’azote, et vice-versa pour les molécules d’azote. Par la trappe ouverte, les flux respectifs deO 2 et de N 2 sont proportionnels aux gradients correspondants de pression partielle (c’est-àdirede concentration) et ne s’accompagnent d’aucun mouvement d’ensemble des deux gaz.Au bout d’un certain temps, l’homogénéisation sera réalisée dans les deux enceintes, et nulleréversibilité du phénomène ne peut être envisagée (une re-séparation des deux gaz est possible,mais au prix d’une dépense d’énergie, § 1.3.6.4♦).Dans un registre tout à fait différent, quand un liquide s’évapore dans une atmosphèreimmobile, la vapeur produite à la surface libre s’en éloigne par diffusion dans le gaz, selonune concentration décroissante (PTC, Problème 7.1).Enfin, beaucoup de phénomènes liés à la dispersion des polluants et des contaminantsdivers dans l’air, l’eau ou les sols, sont gouvernés par des lois de type diffusion. Ceci estparticulièrement important au regard de l’intérêt actuellement porté à la maîtrise del’environnement.Donc, au sein d’un mélange inhomogène, un constituant A est l’objet d’un transfert demasse par diffusion, dont le vecteur densité de flux est exprimé par la loi de Fick :qSA( ρ ρ)= − ρ D grad /(1.63a)AApour le cas général, et lorsque le mélange est isochore, par la loi simplifiée :qSA= − D grad ρ(1.63b)AADans (1.63), ρ A désigne la masse volumique de A dans le mélange, ρ la massevolumique du mélange, et D A la diffusivité moléculaire de A dans le mélange. Ce coefficientD A s’exprime en m 2 /s, et il possède la même signification que la diffusivité thermique a et laviscosité cinématique ν (§ 1.3.6.3 et 1.3.6.5).Le bilan intégral de masse du constituant A s’écrit donc (relation 1.29a) :

∂ρ∂tAdτ+ ρ = +∫ ∫ ∫ ∫A V .n dS q IA dτD S DSet le bilan local (relation (1.29b) :ρ DAρ Agrad .n dSρ(1.64)∂ρ∂tA+div⎛ ρ A ⎞( ρ V ) = q + div⎜ρ D grad ⎟⎠AIA⎝Aρ(1.65a)Si le coefficient de diffusion D A est une constante, et si le mélange est isochore, alors :⎛ ρ A ⎞div ⎜ ρ DAgrad ⎟ =⎝ρ ⎠DA∆ρA(1.65b)♦Diffusion dans un champ de forcesLa diffusion de matière en présence d’un champ de forces (champ de pression ouchamp de forces extérieur) prend le nom de « convection massique » (PTC, chap. 7). Le plussouvent, l’origine du champ de forces extérieur est la pesanteur. Mais ce peut être aussi unchamp d’accélération dû par exemple à la mise en rotation du fluide : alors les espèces ayantla plus grande masse volumique tendent à migrer vers la périphérie, tandis que les autres seconcentrent vers l’axe de rotation. Cette propriété est mise en œuvre dans les appareilsindustriels appelés cyclones, ou encore dans les centrifugeuses. Ces dernières sont parfoissous les feux de l’actualité puisqu’elles peuvent servir en particulier à l’enrichissement del’uranium, par séparation des isotopes 235 et 238 (sous la forme gazeuse d’hexafluorure UF 6 ),le second ayant une masse volumique légèrement supérieure au premier. A une toute autreéchelle, la formation d’un système planétaire à partir d’un nuage de gaz en rotation aboutit àla séparation des éléments légers (H 2 , He) qui s’accumulent au centre pour donner naissance àune étoile, et des éléments plus lourds qui forment les planètes.1.3.6.3. – DIFFUSION THERMIQUELe transport de chaleur par diffusion se caractérise par une densité de flux (souventnotée ϕ ) proportionnelle au gradient de température ; la loi exprimant cette propriété estconnue sous le nom de loi de Fourier :ϕ = − λ grad T(1.66)λ désignant la conductivité thermique du milieu (W / m. K).Ce terme a déjà été pris en compte dans le bilan d’énergie (§ 1.3.5).!!! En toute rigueur, la loi de Fourier ne s’identifie strictement à une loi de diffusion del’énergie interne, ou de l’enthalpie, que lorsque ρ C p = cte. Alors :ϕ = − a grad ( ρ C T )pa = λ /ρ C p étant la diffusivité thermique du milieu, déjà introduite (relation 1.60).

1.3.6.4. – ÉCOULEMENTS EN MILIEUX POREUX♣Écoulements de liquidesUn milieu poreux n’est pas le siège d’un écoulement au sens classique du terme, car iln’y a pas à proprement parler de mouvement d’ensemble du fluide : les particules fluidessuivent dans les nombreux pores des trajets aléatoires qui rendent le mécanisme de transportde la matière analogue à un mécanisme de diffusion. Lorsque le milieu est saturé, c’est-à-direlorsque les pores sont entièrement remplis d’une phase liquide de masse volumique ρ, le fluxde masse moyen local est donné par la loi de Darcy :Kq S = − ρ grad p*(1.67)µoù p* désigne la pression motrice dans l’écoulement (§ 1.3.3.2), le paramètre K étant laperméabilité du milieu.Faisons ici une parenthèse. Par analogie avec un écoulement stricto sensu, on écritsouvent cette loi sous la forme :q S= ρV, en définissant V comme une vitesse apparente defiltration. Ce terme V ne doit pas être confondu avec une vitesse locale du fluide, qui n’estpas définie dans un tel écoulement.Appliquons maintenant l’équation de bilan intégral (1.22) à la masse totale du fluide ;le terme de transport par mouvement d’ensemble du fluide est remplacé ici par un terme desource qui a pour expression :∫qdS= −S S ∫ SKρgradµp* .n dSBien entendu, il n’y a pas de sources volumiques q I puisque le bilan porte sur la massetotale du fluide (§ 1.3.2.1).Quant à la densité volumique locale de matière, dans le cas d’un milieu saturé elle apour valeur : C = ρε, où ε est la « porosité » du milieu (volume des pores / volume total),d’où le bilan intégral de masse :∂(ρε ) Kρdτ= grad p* .n dS(1.68)∫ D ∂t∫ S µainsi que le bilan local :∂(ρε ) ⎛ Kρ⎞= div ⎜ grad p* ⎟(1.69)∂t⎝ µ ⎠♦Ecoulements de gazSi le milieu poreux est traversé par un gaz, la loi de Darcy s’applique encore, à ceciprès qu’il faudra souvent tenir compte de la variation de la masse volumique avec la pression.

1.3.6.5. – DIFFUSION DE QUANTITÉ DE MOUVEMENTPour terminer cette brève revue des principaux phénomènes de diffusion, nous allonsmontrer que dans un grand nombre de situations, le transfert de quantité de mouvementprovoqué par les forces de viscosité s’apparente à un mécanisme de diffusion. Ceci apparaîtclairement en partant de l’équation (1.32) :∂(ρV)+ div P = ρ F + divT∂tdans laquelle :( 2 D)div T = − grad p + divτ = − grad p + div µPlaçons-nous dans l’hypothèse où µ = cte et ρ = cte (soit div V = 0 ). Alors, d’aprèsl’Annexe 1.A.2.♥, on a :( grad V ) ν div { grad ( V )}2µ div D = µ div =ρet d’après (1.33a) :div P = grad V . ρVAlors, (1.32) devient :{ grad ( ρV)}∂(ρV)+ grad V . ρV= ρ F − grad p + ν div(1.70a)∂tIl est manifeste que le dernier terme traduit l’existence d’un flux de quantité demouvement qui est un flux de diffusion proportionnel au gradient de ρ V , avec un coefficientde diffusion égal à la viscosité cinématique ν.En projetant sur les axes de coordonnées, (1.70a) s’écrit enfin (Annexe 1.A.2.♣) :∂( ρVi) ∂p+ div ( ViρV) = ρFi− + ν div ( grad ρVi)(1.70b)∂t∂xi1.3.7. – Bilans d’entropie et d’exergie1.3.7.1. – LE RÔLE DES BILANS ENTROPIQUESA côté des bilans de masse, de quantité de mouvement et d’énergie, qui fournissent leséquations de base pour résoudre les problèmes de thermoconvection, il existe une autrefamille de bilans, qui jouent par rapport aux premiers un rôle un peu particulier. Ce sont lesbilans entropiques : bilan d’entropie proprement dit, et bilan d’exergie.D’une part, le traitement de certains problèmes (mélanges réactifs, écoulementspolyphasiques, structures dissipatives, transferts turbulents…) exige l’interventiond’équations supplémentaires. Celles-ci peuvent alors être obtenues par l’écriture des sourcesd’entropie, que la thermodynamique des processus irréversibles permet d’exprimer sousforme de relations phénoménologiques, ou en appliquant le principe du minimum deproduction locale d’entropie.Mais d’autre part, le bilan d’entropie ou d’exergie permet aussi d’optimiser unprocessus thermoconvectif, en déterminant parmi plusieurs évolutions possibles celles qui est

la plus avantageuse pour l’utilisateur. La démarche suivie concerne alors une recherched’extrêmum : par exemple, le minimum de la production d’entropie, pour caractériser leprocessus le plus proche de la réversibilité. On retient ensuite les conditions aux limites quidonnent le « meilleur » processus.1.3.7.2. – BILAN D’ENTROPIEL’entité physique considérée dans la relation générale (1.24) est ici l’entropie dumilieu matériel, et C représente l’entropie volumique :C = ρ s (J / K . m 3 )s étant l’entropie par unité de masse.Par le second principe et la relation de Gibbs, la thermodynamique nous désigne lessources locales d’entropie, qui se divisent en trois groupes :♣ Les sources visqueuses d’entropie, dues à l’énergie mécanique Φ dissipée sous forme dechaleur par la viscosité : Φ / T♦ Les sources thermiques d’entropie, en relation avec les autres sources d’énergie internereprésentées au second membre de (1.51), exception faite des sources élastiques (doncréversibles) liées à la pression :- Source liée à la puissance thermique P mise en jeu : P / T (P inclut l’énergie deréaction s’il s’agit d’un mélange réactif).11- Source liée au flux de chaleur : div ( λ grad T ) − divϕrTT♥ Les sources massiques (ou structurelles) d’entropie, liées à l’ensemble des sources demasse (§ 1.3.2.2), soit d’après (1.65) pour un mélange réactif à N constituants :−1TN∑A⎧ ⎛ ρ A ⎞µ A ⎨ qIA+ div⎜ρ DAgrad ⎟= ⎩ ⎝ρ ⎠⎭ ⎬⎫1Dans cette dernière expression, les coefficients µ A sont les potentiels chimiquesmassiques des différents constituants, exprimés en J / kg. Le signe – provient de la conventionde signe avec laquelle ils sont définis.Le bilan local d’entropie s’écrit donc :( ρ s) + div ( ρ sV )∂∂t⎧1 ⎪⎨ P + Φ + divT ⎪⎩=( λ grad T )− divϕr−N∑A=1µAqIA−N∑A=1µA⎛div⎜ρD⎝A⎫ρ A ⎞⎪grad ⎟⎬ρ ⎠⎪⎭(1.71)En apparence, cette équation n’est pas exactement conforme au modèle général (1.24)puisqu’elle ne dissocie pas clairement les sources volumiques des sources surfaciques, les

termes en div étant affectés des coefficients 1 / T ou µ A / T. Mais elle s’y adapte aisément si onprend le temps de voir que :⎧ 1⎛ λ ⎞1⎪ div ( λ grad T ) = div ⎜ grad T ⎟ − λ grad T .gradT⎝ T ⎠Ta) ⎨(1.72a)⎪⎛ λ ⎞ λ2= div ⎜ grad T ⎟ + ( grad T )⎪2⎩⎝ T ⎠ Tb)1T⎛ 1 ⎞ 1 2divϕ r = div ⎜ ϕr⎟ + ϕ2 r(1.72b)⎝ T ⎠ Tet que, de même :1 ⎛µ A div⎜ρ DT ⎝A⎛ ρ µ A Ddiv ⎜⎝ Tρ A ⎞grad ⎟ =ρ ⎠Aρ A ⎞grad ⎟ − ρ µρ ⎠ADAρ Agrad .gradρ1T(1.73)Remplaçons (1.72) et (1.73) dans (1.71), en regroupant les termes en divergence dusecond membre :( ρ s) P Φ λ+ div ( ρ sV ) = + + ( grad T )∂∂tT+∑ATρ µ⎛ 1− div⎜⎝ TATϕr2DA⎞⎟⎠−∑A21+T2ρ Agrad .gradρϕ1T⎛ ρµ A Ddiv⎜⎝ T2rA−1T∑AµA⎛ λ+ div ⎜ grad T⎝ Tρ A ⎞grad ⎟ρ ⎠qIA⎞⎟⎠(1.74)Voilà une nouvelle écriture qui fait maintenant apparaître nettement les sourcesvolumiques d’entropie (exprimées par les six premiers termes du second membre), et lessources surfaciques (représentées par les termes en divergence, et liées au flux de chaleur etau flux de masse). On observera, d’une part que la sixième source – volumique – est le fruitd’un couplage entre la diffusion de chaleur et la diffusion massique, d’autre part que le flux dechaleur par conduction thermique s’accompagne d’un flux d’entropie de même sens avec une« conduction entropique » égale à λ /T (source N°7).En thermodynamique des processus irréversibles, on appelle « taux de productiond’entropie σ(s) » l’ensemble des productions volumiques d’entropie :σ ( s ) =PT−A( grad T )Φ λ+ +T2T1∑ µ A qIA+T∑A21−Tρ µA2DϕA2rρ Agrad .gradρ1T(1.75)

D’après le second principe de la thermodynamique, cette production interne d’entropien’est jamais négative :σ ( s ) ≥ 0(1.76)Autrement dit, toute évolution pour laquelle on aurait σ (s) < 0 est une évolutionimpossible. Lorsque σ (s) = 0, l’évolution est réversible. Quand on a σ (s) > 0, le processusest irréversible et σ (s) caractérise son degré d’irréversibilité.D’un point de vue pratique, l’amélioration d’un processus vis-à-vis des irréversibilitésconsistera donc à minimiser le taux de production d’entropie σ (s).Quant au bilan intégral d’entropie (par lequel nous aurions pu commencer, mais quiest un peu volumineux à écrire), il s’établit immédiatement à partir de (1.74) et (1.75) :∫+D∫( ρ s)∂∂tSdτ+∫Sλgrad T .n dSTρ sV .n dS−∫S=∫D1ϕr.n dSTσ(s ) dτ−∑∫ASρ µ A DTAρ Agrad .n dSρ(1.77)L’articulation entre les bilans présentés ici et la formulation traditionnelle enthermodynamique classique fait l’objet d’un paragraphe en Annexe (1.A.4).1.3.7.3. – BILAN D’EXERGIEL’exergie n’est pas une des entités physiques fondamentales donnant lieu à bilan, carelle est définie à partir de l’enthalpie et de l’entropie. On a en effet :ex = h − T s(1.78a)eoù T e est la température ambiante extérieure au système, ex étant ici l’exergie massiqueexprimée en J/kg.Néanmoins, l’intérêt pour les bilans d’exergie se développe dans l’étude des processusindustriels puisque l’exergie représente en fait l’enthalpie utilisable.Revenant aux équations de bilan local d’enthalpie (1.52) et d’entropie (1.74), nouspouvons établir le bilan local d’exergie, en nous limitant pour simplifier au cas où le fluide esttransparent (ϕ r = 0), de composition uniforme et constante (ρ A / ρ = cte ∀ A) :∂( ρ ex) ∂p+ div ( ρ ex V ) = + P + Φ + V .grad p + div ( λ grad T ))∂tsoit, en regroupant :∂tTe−T( PT+ Φ ) − λTe22 ⎛ λ ⎞( grad T ) − T div⎜grad T ⎟⎠e⎝ T

( ρ ex) + div( ρ ex V )∂∂tT− λTe2∂p= +∂t( grad T )2( P⎛ Te⎞+ Φ ) ⎜1− ⎟ + V .grad⎝ T ⎠⎧ ⎛ Te+ div ⎨λ⎜1−⎩ ⎝ T⎞⎟⎠⎫grad T ⎬⎭p(1.78b)Ce bilan fait apparaître des sources volumiques d’exergie (sources mécaniques liées àla pression et sources thermiques), et une source surfacique (terme en divergence) quis’interprète comme un terme de diffusion.1.4. - VORTICITÉ ET FONCTION DE COURANTLa résolution des équations de quantité de mouvement est souvent compliquée par laprésence des termes de pression. Dans certaines circonstances, il est cependant possible des’en débarrasser, en s’appuyant sur d’autres paramètres du mouvement.1.4.1. – Écoulements plansConsidérons un écoulement bidimensionnel de fluide isochore. Dans le plan x, y il estdécrit par les deux premières équations (1.37c) :∂U∂t∂V∂t1 ∂p*+ V .grad U = − + ν ∆Uρ ∂x1 ∂p*+ V .grad V = − + ν ∆Vρ ∂yA l’évidence, un moyen simple d’éliminer la pression est de dériver la premièreéquation par rapport à y, de dériver la seconde par rapport à x, et de soustraire celle-ci de lapremière, ce qui donne :∂ ⎛ ∂V⎜∂t⎝ ∂x−∂U∂y⎞⎟⎠+∂∂x∂⎛ ∂ ∂ ⎞( V .grad V ) − ( V .grad U ) = ⎜ ∆V− ∆U⎟∂yν (1.79a)⎝ ∂x∂y⎠Les opérateurs ∂ et ∆ peuvent être permutés dans le second membre. En outre, endéveloppant les termes, on montre que :∂∂x∂( V .grad V ) − ( V .grad U )∂yet l’équation (1.79a) devient :⎧⎛∂V= div ⎨⎜⎩⎝∂x−∂U⎞ ⎫⎟V⎬∂y⎠ ⎭∂ ⎛ ∂V⎜∂t⎝ ∂x−∂U∂y⎞⎟⎠+⎧⎛∂Vdiv ⎨⎜⎩⎝∂x−∂U⎞ ⎫ ⎛ ∂V∂U⎞⎟V⎬ = ν ∆⎜− ⎟(1.79b)∂y⎠ ⎭ ⎝ ∂x∂y⎠

tourbillonOn reconnaît dans la grandeur entre parenthèses la composante selon z du vecteur2 Ω (§ 1.2.1.♦). En effet, dans un écoulement bidimensionnel :⎛ ⎞⎜ 0 ⎟⎜ ⎟2 Ω = rotV = ⎜ ⎟⎜ ∂V 0 ∂U⎟−⎝ ∂x∂y⎠Cette composante est appelée vorticité de l’écoulement, et désignée par Ω (sansindice) :∂V∂UΩ = − (s -1 ) (1.80)∂x∂yL’équation (1.79b) se présente donc comme un bilan local de vorticité (dérivé du bilande quantité de mouvement) avec un terme source qui s’identifie à un mécanisme de diffusionvisqueuse, et elle porte le nom d’équation de vorticité :∂Ω+∂tdiv( ΩV) = ν ∆Ω(1.81)Bien entendu, la pression n’a pas été évacuée du problème par un tour de passe – passe.Grâce à la petite manipulation précédente, les forces de pression n’apparaissent plusdirectement en tant que telles, mais elles ont été intégrées dans les autres paramètres dumouvement.♫♪Par contre, cette astuce ne marche pas avec les écoulements tridimensionnels : on peuttoujours éliminer la pression dans les équations (1.37c) prises deux par deux, mais on seretrouve avec des termes qui contiennent les trois composantes de la vitesse et qui n’apportentguère de simplification.!!! Un autre point mérite d’être souligné : avoir écarté le vecteur Ω à partir duparagraphe 1.2.1.♠ (en considérant des écoulements irrotationnels) pour le voir resurgirmaintenant n’est pas le signe d’une contradiction. C’est seulement dans l’évaluation descontraintes que l’influence de la composante rotationnelle du mouvement a été négligée (§1.2.4.♣). Mais dans les équations de bilans, tous les aspects du mouvement sont bienprésents et entièrement décrits.1.4.2. – Fonction de courantL’opération effectuée au paragraphe précédent a permis de s’affranchir de la pression,et simultanément de réduire de deux à une les équations dynamiques. Le système à résoudreest donc maintenant composé de l’équation (1.81) et de l’équation de continuité.Pour des raisons pratiques que nous ne détaillerons pas ici, il peut être avantageuxd’introduire, en plus de Ω , une seconde fonction de U et V, la fonction de courant Ψ, définiepar les relations :

U=∂Ψ∂y;V= −∂Ψ∂x(1.82)Cette fonction de courant satisfait l’équation de continuité puisque :divV=∂U∂x+∂V∂y=2∂ Ψ−∂x∂y2∂ Ψ≡ 0∂y∂xD’autre part, la vorticité Ω s’exprime aisément en fonction de Ψ :Ω =∂V∂x−∂U∂y= −2∂ Ψ−2∂x2∂ Ψ= − ∆Ψ2∂yIl est donc parfaitement licite de remplacer l’équation de continuité par l’équation cidessus,réécrite en ne gardant que les deux termes extrêmes :Ω + ∆Ψ = 0(1.83)Le système à résoudre est alors composé des équations (1.81) et (1.83):( Ω V )∂Ω+ div∂tΩ + ∆Ψ = 0= ν ∆ΩLa résolution donne successivement Ω, puis Ψ, et enfin U et V.1.4.3. – Écoulements axisymétriquesLes écoulements à symétrie cylindrique constituent une autre famille d’écoulementsbidimensionnels, pour lesquels la méthode précédente s’applique avec quelques nuances.Dans n’importe quel plan diamétral x, r (x : direction axiale, r : direction radiale, vecteurvitesse ( U , V )V = ), l’équation de continuité et les équations de Navier-Stokes s’écrivent :∂U∂x∂U∂t∂V∂t+1 ∂(rV )= 0r ∂r⎛ 2 2∂U∂U1 ∂p*⎜∂ U ∂ U+ U + V = − + ν +∂x∂rρ ∂x2 2⎝ ∂x∂r+⎛ 2 2∂V∂V1 ∂p*⎜∂ V ∂ V+ U + V = − + ν +∂x∂rρ ∂r2 2⎝ ∂x∂r+1r1r∂U⎞⎟∂r⎠∂V∂r−V ⎞⎟2r⎠(1.84)(1.85a)(1.85b)Le vecteur tourbillon a maintenant pour composantes :

⎛ ⎞⎜ 0 ⎟ ⎛ 0 ⎞⎜ ⎟2 Ω = rotV =⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟∂V 0 (1.86)∂U⎜ − ⎟ ⎜ ⎟⎝Ω⎠⎝ ∂x∂r⎠∂V∂Uoù Ω = − est encore la vorticité de l’écoulement.∂x∂rLa dérivation de (1.85a) par rapport à r, puis de (1.85b) par rapport à x, suivie d’unesoustraction, donne cette fois :⎛ 2 2∂Ω∂(ΩU ) ∂(ΩV)⎞⎜∂ Ω ∂ Ω 1 ∂ΩΩ+ + = ν + + − ⎟∂t∂x∂r2 2⎝ ∂ ∂ r ∂r2x rr ⎠ce qui s’écrit aussi, pour faire mieux apparaître l’aspect « bilan de vorticité » :(1.87a)∂Ω+∂tdiv( ΩV) = ν ∆Ω(1.87b)Cette équation est l’équivalent de (1.81), obtenue pour un écoulement plan.D’autre part, la fonction de courant Ψ, solution de l’équation de continuité, est définieici par :U=1 ∂Ψr ∂r;V= −1 ∂Ψr ∂x(1.88)En remplaçant dans l’expression de Ω, il vient :21 ∂ Ψ ∂ ⎛ 1 ∂Ψ⎞Ω = − − ⎜ ⎟(1.89)r2∂x∂r⎝ r ∂r⎠qui est l’équivalent de (1.83). La résolution s’effectue d’une façon analogue.1.5. - FORMULATION GÉNÉRALE D’UN PROBLÈME D’ÉCOULEMENTANISOTHERMEAvec un fluide monophasique de composition uniforme et constante, résoudrecomplètement un problème de thermoconvection consiste à déterminer en fonction descoordonnées d’espace et du temps :- la vitesse V (c’est-à-dire U, V, W) ;- la masse volumique ρ ;- la pression p ;- la température T.

Assez fréquemment, on pourra se limiter à une résolution en certains pointsparticuliers. Quoi qu’il en soit, le problème comportant six inconnues doit être résolu aumoyen de six équations, à savoir :- le bilan de masse ;- le bilan de quantité de mouvement (3 équations)- le bilan d’énergie ;- l’équation d’état du fluide.Dans celles-ci, on devra faire intervenir des conditions aux limites portant sur V , p etT, qui peuvent être groupées en deux catégories.♣ - Les conditions physiques générales :• condition d’adhérence à une paroi solide imperméable :V = vitesse locale de la paroi ( V = 0 sur une paroi fixe) ;• continuité du champ de température• conservation du flux de chaleur.♦- Les conditions circonstancielles, qui dépendent du problème traité, par exemple :• p ou V imposée ;• T imposée, ou flux de chaleur imposé.La connaissance des champs de vitesses et de température, ainsi que de p et ρ, permetensuite le calcul de toutes les grandeurs dynamiques et thermiques intéressantes : débit,frottement pariétal, flux de chaleur pariétal, puissance thermique échangée, etc.Eventuellement, l’examen du bilan d’entropie (ou d’exergie), permettra l’optimisationdu processus étudié.

ANNEXES AU CHAPITRE 11.A.1. – LES BILANS SUR UN DOMAINE MOBILE ET LE CONCEPT DE DÉRIVÉEPARTICULAIREIl est de tradition de présenter les équations de bilans en mécanique des fluides à l’aided’un concept que nous n’avons pas utilisé : la dérivée particulaire.Pour le définir, reprenons le raisonnement suivi au paragraphe 1.3.1 lorsque nousavons établi la forme générale d’une équation de bilan, en y introduisant toutefois unedifférence importante : le domaine sera maintenant supposé mobile. Deux éventualités sontalors à considérer.♣ Domaine animé du même mouvement que le fluidePlaçons-nous dans l’hypothèse où il n’y a pas de diffusion massique dans le fluide.Nous choisissons à l’instant initial un domaine fluide ∆, et nous suivons dans leurmouvement les molécules qu’il contient.La frontière Σ de ∆ va donc ici se déplacer et se déformer en fonction du mouvementdes molécules qu’elle entoure, cependant que ∆ va renfermer toujours les mêmes molécules.Cette procédure est connue sous le nom de description lagrangienne, par opposition àla description eulérienne qui utilise un domaine fixe.A chaque instant, la quantité totale K de la grandeur physique contenue dans ∆ a pourvaleur :K=∫C dτ∆comme dans 1.3.1, mais cette fois ∆ est mobile. Aussi, pour la distinguer de la dérivée∂KDKclassique , la variation de K par unité de temps est-elle notée ici et appelée dérivée∂tDtparticulaire.En description eulérienne du mouvement ( fixe), le bilan fait intervenir quatregrandeurs (§ 1.3.1) :∂K∂C- la variation de K : = dτ;∂t∫D∂ t- le flux Φ S à travers la surface S, dû au mouvement du support matériel ;- les sources surfaciques Q S ;- les sources volumiques Q I ,et l’équation s’écrit :∂K= Q I − Q S − Φ S(1)∂tEn description lagrangienne du mouvement, il n’y a plus de flux à travers Σ dû aumouvement du support matériel puisque Σ se déforme en suivant ce mouvement. Il reste doncdans le bilan :

DK D- la variation de K : = C dτ ;Dt Dt ∫∆- les sources de surface Q Σ ;- les sources volumiques Q I ,d’où l’équation :DKDt= Q(2)I − Q ΣLa dérivée particulaire est donc égale à la puissance des sources dans ∆ et sur Σ.Soit alors le domaine fixe qui coïncide avec ∆ à l’instant t. Le bilan instantané sur est conforme à la relation (1). Mais d’autre part, en comparant (1) et (2), on voit que DK / Dts’écrit également :DKDt=∂K∂t+ ΦSDK ∂Csoit : = dτ + CV . n dS(3)Dt ∫ D ∂t∫Sd’où l’on déduit l’expression de la dérivée particulaire locale :DCDt∂C= + div CV(4)∂tSi DC / Dt = 0, cela signifie que C est constante sur une trajectoire. En particulier,dans un écoulement permanent, les conditions ¥C = cte sur une trajectoire¥ et ¥ div CV = 0 ¥sont équivalentes.On appelle écoulement isochore un écoulement tel que ρ = cte sur une trajectoire.Dans ce cas, on a en tout point : V ⊥div ρV= 0 = ρ divV + V . grad ρgrad ρ . D’autre part, d’après (4),Par conséquent : div V = 0 . Il n’est donc pas nécessaire que le fluide soit isochore pour quecette propriété soit vérifiée.♦Domaine animé d’un mouvement propreReplaçons-nous maintenant dans le cas général, où il peut y avoir diffusion massique,et supposons que l’on veuille écrire un bilan pour un domaine ∆ animé d’un mouvementdonné. Chaque point de la surface Σ a une vitesse W = W ( x, y,z,t ) . Au même point, àl’instant t, la vitesse de l’écoulement est V .Soit Vrla vitesse relative : V r = V − W .La puissance instantanée des sources sur Σ et dans ∆ est toujours : Q I - Q Σ . Quant auflux Φ Σ à travers Σ, il a pour valeur :

ΦΣ=∫CVrΣ.n dΣSoit δK la variation de K pendant un petit intervalle de temps ∆t. Le bilan s’écrit :δK= QI− QΣ− Φ Σ = QI− QΣ− CV .n dΣδt∫rΣAppelons le domaine fixe qui coïncide avec ∆ à l’instant t. On peut encoreconserver la définition précédente de la dérivée particulaire en posant : DK / Dt = Q I – Q S ,soit d’après (3) :DK ∂C= dτ+ CV .n dSDt ∫ D ∂t∫ SOn a dans ce cas :δKDK= − CVr.n dSδtDt ∫SLa notion de dérivation particulaire présente un grand intérêt historique et heuristiqueen mécanique des fluides car elle a permis la formulation des équations de bilan local. Eneffet, pour établir directement ces relations, qui ont chronologiquement précédé les équationsde bilan intégral, le recours à la dérivation particulaire ne peut être évité. Mais dans lapratique, elle n’est vraiment indispensable que dans des cas particuliers.1.A.2. – CALCULS RELATIFS AU BILAN DE QUANTITÉ DE MOUVEMENTtermesPour écrire le bilan de quantité de mouvement (§ 1.3.3), il a fallu faire intervenir lesdiv P et div T , que nous calculons ici.♣ Le tenseur des quantités de mouvement P a pour composantes : P ij = ρ V i V j .La divergence d’un tenseur d’ordre 2 est un vecteur. Sa composante suivant lacoordonnée i est par définition (on utilise la convention de sommation sur les indicesrépétés) :∂Pij∂ ( ρ ViVj )( div P ) i = == div(Vi. ρ V )∂x∂xd’où :( div P ) i = grad Vi. ρ V + Viet enfin, conformément à (1.33a) :jjdiv ρVdiv P=grad V . ρ V + Vdiv ρV♦ D’après (1.17), on a d’autre part :div T = − div pI + 2 div µ D .Le premier terme se décompose en deux :div pI = p div I + I .grad p

mais I étant le tenseur unité, div I = 0 et il reste :div p I = grad p .♥ Dans le second terme, on admettra d’abord µ = cte, d’où : div µ D = µ div D .ou encore :1 ⎛ ⎞Compte tenu du fait que ⎜∂V∂Vi jε = + ⎟ij(relation 1.9), on obtient :2⎝∂xj ∂xi⎠( )⎟ ⎟ ⎞⎜⎜ ⎛ ∂ ∂= +∂⎟⎟ ⎞⎜⎜ ⎛2∂ε2∂2ij ∂ V Vi j V Vijdiv D = =1 +1i∂x2∂ ∂2j 2∂ ∂⎝∂xjxix j 2⎠ ⎝∂xjxix j⎠1( )⎟ ⎞⎜ ⎛div D = +∂idiv grad VidivV.2 ⎝∂xi⎠Par conséquent :2 µ div D = µ ( div grad V + grad divV )soit en définitive (relation 1.33c) :div T = − grad p + µ ∆ +( V grad divV )♠ Si µ ≠ cte :∂∂ ⎡ ⎛ ⎞⎤( )⎢ ⎜∂V∂Vi jdiv 2µD+ ⎟i= ( µ ε ij ) = µ⎥∂x∂ ⎢jx j ⎣ ⎝∂xj ∂xi⎠⎥⎦∂ ⎛ V ⎞ ∂V⎜∂ i ∂ j= µ ⎟ + µ , que nous noterons :∂xj x⎝∂ j ⎠∂xj ∂xi= (I) i + (II ) iLes choses sont claires pour le premier terme :( I ) i = div µ grad V iElles le sont moins pour le second, que nous aurons intérêt à détailler :∂ ⎛ ∂Vj ⎞ ∂Vj ∂µ( II ) i = µ ⎜ ⎟ +∂xj x⎝ ∂ i ⎠ ∂xi∂xjce que la commutativité de l’opérateur dérivation permet d’écrire :∂ ⎛ ∂Vj ⎞ ∂Vjt( II ) ⎜ ⎟∂µ⎛⎞i = µ+ = µ ( grad divV )i+ ⎜ grad V . grad µ ⎟∂xi x⎝∂ j ⎠∂xi∂xj⎝⎠où t désigne la matrice transposée (permutation des indices i et j)d’où finalement :t( µ grad V ) + µ grad divV + grad V . µ2 div µ D = divgradi

Alors :div T= −gradp+divt( µ grad V ) + µ grad divV + grad V . grad µ1.A.3. – CALCULS RELATIFS AU BILAN D’ÉNERGIE CINÉTIQUEOn veut expliciter les termes de l’équation (1.39a) :( ρV)+ V .div P = F .V V .divT∂V .ρ +∂tLe premier terme s’écrit :( ρV)∂V .∂t⎛ VV . ⎜∂= ρ⎝∂t∂ρ⎞+ V ⎟ =∂t⎠∂⎛Vρ⎜∂t⎜ 2⎝2⎞⎟⎟+ V⎠2∂ρ∂tρ = ρ :et en appliquant l’équation de continuité : div ( V ) − ∂ / ∂t2 22∂ ( ρV) ∂⎛V⎞V ∂ρVV . = ρ⎜ ⎟+ − div ( ρV)soit :∂t∂t⎜⎝2⎟⎠2∂t2 2∂♣( ρV) ∂⎛V⎞VV . =⎜ρ⎟− div ( ρV)∂t∂t⎜⎝2⎟⎠22Connaissant l’expression de div P , donnée par (1.33a), le second terme devient, enutilisant la convention de sommation sur les indices répétés :V .div P = Vi2V 2{ ρ V . grad V + V div ( ρV)} = ρV .grad + V div ( ρV)⎛ 2V⎞1 2♦ V .div P = div⎜ρ V⎟+ V div ( ρV)⎜⎝2⎟⎠Enfin, le dernier terme s’écrit :∂σijV .divT = Vi∂xou encore :∂( Viσ ij )♥ V .divT = − σ ij∂xjji2∂V∂xEn reportant ♣, ♦, ♥ dans (1.39a), on obtient (1.39b) :∂⎛⎜ Vt ⎜ρ∂ 2⎝2⎞ ⎛⎟ Vdiv⎜⎟+⎜ρ2⎠ ⎝2iji⎞V⎟ ∂⎟= ρ F .V +⎠( V σ )i∂xjij− σij2∂V∂xij

1.A.4. BILAN D’ENTROPIE : FORMULATION CLASSIQUEIl peut être utile de bien préciser comment le bilan d’entropie écrit en 1.3.7.2 seraccorde avec les formulations traditionnelles du second principe.Partons de l’expression (1.77). Puisque l’on a : σ ≥ 0 , elle s’écrit encore :∂ ρ s )1dτ≥ − ρ sV .n dS + q +∫ ∫ ∫r .n dS∫D( λgrad T .n dS∂tTTSSS(1)L’expression à droite de l’inégalité représente le flux entropique dû aux échanges avecle milieu extérieur. En écriture symbolique, on a donc :dS ≥ d Sou encore, en notanted S = σ ( s ) dτ≥ 0∫iDdS = di S + deSd i S la production d’entropie due aux changements internes du système :Si est un système fermé ( V = 0 à la frontière), dont la température de surface T estuniforme, on retrouve à partir de (1) la relation connue :dS ≥ dQ / Toù dQ est la chaleur échangée avec l’extérieur.Enfin, s’il s’agit d’un système fermé et isolé (sans échanges d’énergie avec l’extérieur),dQ = 0 et l’on a :dS = diS≥ 0 .

1.A.5. – EXPRESSION DES ÉQUATIONS LOCALES DE BILANS ENCOORDONNÉES CYLINDRIQUES

Chapitre 2SIMILITUDE ET ADIMENSIONNEMENTIl y a encore une grande découverteà faire en littérature : ce serait depayer les écrivains selon la quantitéde livres qu’ils s’engageraient à nepas écrire.Thomas CARLYLE2.1. – PROBLÈMATIQUELes équations générales établies au chapitre 1 doivent permettre, en théorie, derésoudre tous les problèmes de transferts relatifs aux fluides newtoniens. En pratiquecependant, il y a une quasi-impossibilité à résoudre complètement ces équations à chaqueinstant et en tout point de l’écoulement, sauf dans quelques cas particuliers. Il est doncindispensable de procéder à une simplification, en établissant une méthode de travail plusopérationnelle, et en élaborant des modèles schématisés qui constituent cependant unedescription aussi fidèle que possible de la réalité observable. On pourra ainsi établir des loisphénoménologiques d’un usage beaucoup plus commode.Dans ce but, et vu la multiplicité des paramètres qui interviennent dans l’ensemble deséquations de bilans, il peut paraître judicieux de les agglomérer sous forme de groupementsadimensionnels, pour faciliter l’interprétation et la comparaison des résultats expérimentaux.Pour ce faire, la méthode la plus naturelle consiste à implanter des grandeurs sans dimensiondans les équations.Avec les démarches classiques comme l’analyse dimensionnelle ou l’analyse d’échelle,la signification physique des nombres sans dimension ne ressort pas toujours clairement, etcertains d’entre eux sont introduits d’une façon quelque peu arbitraire. Nous cherchons dansce chapitre à montrer l’intérêt que présente l’élaboration d’une méthode systématique.A cet égard, l’outil que constitue l’équation générale de bilan manifeste ici safécondité. Partant de l’équation locale pour une grandeur C, on l’écrit sous formeadimensionnelle, en faisant en sorte que le coefficient du terme de transport par la matière soitégal à 1.Apparaissent alors des « critères de similitude », groupements sans dimension associéschacun à un terme de source, et tels que deux expériences différentes donneront des résultatssemblables si les critères de similitude ont la même valeur dans l’une et dans l’autre. Lasignification physique et la fonction de ces paramètres sont alors nettement marquées. Parexemple, dans ce formalisme, le nombre de Reynolds apparaît comme un critère de similituderelatif aux contraintes visqueuses dans le bilan de quantité de mouvement, alors quel’interprétation traditionnelle le donne pour un « rapport entre les forces d’inertie et les forces

de viscosité », ce qui est plus ou moins convaincant (comment donc expliquer ce qu’est une« force d’inertie » dans un écoulement non accéléré ?).On doit bien souligner le fait que si tous les critères de similitude sont, par essence,des nombres sans dimension, tous les nombres sans dimension ne sont pas des critères desimilitude. Nous verrons que parmi les nombres sans dimension d’usage courant, certainsjouent effectivement ce rôle (nombres de Reynolds, de Stanton …) ; d’autres se présententcomme des termes de couplage entre des sources de même nature, mais ne relevant pas desmêmes bilans (nombre de Prandtl …) ; d’autres enfin ne sont que des paramètresadimensionnés (nombre de Nusselt …).Il est à noter aussi que la méthode s’applique à toutes les équations de bilans, ycompris les équations intégrales, et peut générer de nouveaux critères de similitude qui neseront tributaires d’aucun choix arbitraire.Dans la dernière partie, nous attirons l’attention sur les avantages de la similitude,mais aussi sur ses limites, et nous mettons le lecteur en garde contre les risques d’un emploitrop systématique, ou mal maîtrisé, des nombres sans dimension.Pour commencer, un retour à l’expérience va permettre de discerner les élémentsessentiels à une telle démarche, ce qui nous conduira à une méthodologie basée sur la notionde similitude ; plus tard, l’analyse des données expérimentales aboutira à la mise en place dedeux modèles descriptifs : le modèle de couche limite et le modèle statistique de la turbulence.2.2. – PREMIERS APPORTS DE L’EXPÉRIENCE2.2.1. – Expérience de Reynolds (1883)2.2.1.1. – DESCRIPTIONL’expérience sur laquelle nous allons nous appuyer appartient, comme celle deCouette (§ 1.1.3), à cette catégorie de réalisations qui, tout en étant très simples dans leurprincipe, possèdent une grande richesse heuristique et pédagogique. De plus, historiquement,il s’agit sans doute de la première véritable expérience de visualisation.Elle consiste à observer l’écoulement d’un liquide dans un tube transparent dont laparoi intérieure est peu rugueuse. Le tube est alimenté par un réservoir à niveau constant (fig.2.1) et il comporte une vanne R à son extrémité.Pour visualiser la structure de l’écoulement, on y introduit un colorant liquide aumoyen d’une pipette fine placée à l’entrée du tube, aussi rigoureusement que possible dansl’axe de celui-ci. L’alimentation en colorant est également réalisée au moyen d’un réservoir àniveau constant, un petit robinet R’ permettant d’ajuster la vitesse du colorant à celle du fluide.2.2.1.2. – OBSERVATIONAu départ, la vanne R est fermée ; l’expérience consiste à l’ouvrir progressivement,par étapes, et donc à augmenter pas à pas la vitesse V du liquide dans le tube. Lecomportement du colorant met alors clairement en évidence trois phases dans l’aspect del’écoulement.

FIG. 2.1. – Expérience de Reynolds.Phase 1. – Au début, pour les vitesses faibles, le filet coloré issu de la pipette est parfaitementrectiligne jusqu’à la sortie du tube. On n’observe aucun mélange entre le colorant et le liquide(fig. 2.2).Phase 2. – A partir d’une certaine valeur de la vitesse V, le filet coloré se met à onduler ets’épaissit progressivement vers l’aval de l’écoulement. Lorsqu’on augmente encore la vitesse,les ondulations s’amplifient et il apparaît en aval une zone de mélange où le colorant sedisperse totalement dans l’écoulement. Cette zone de mélange se déplace vers l’amont enmême temps que V croît.FIG. 2.2. – Régimes d’écoulement dans une canalisation.Phase 3. – La zone de mélange atteint l’entrée du tube. Dès son éjection, le colorant estentièrement dilué dans le liquide, ce qui implique un brassage complet des particules fluidesdans le tube.

Les trois types d’écoulements mis en évidence par l’expérience sont respectivementqualifiés de laminaire (phase 1) et turbulent (phases 2 et 3). Pour des raisons qui serontjustifiées plus loin, on appelle turbulent « lisse » le régime correspondant à la phase 2, etturbulent « rugueux » celui qui correspond à la phase 3.De plus, Reynolds a montré, en utilisant différents liquides et différents diamètres detubes, que la transition laminaire – turbulent (phase 1 – phase 2) ne dépend pas séparémentdes paramètres V, ou µ (viscosité dynamique du liquide), ou ρ (masse volumique) ou D(diamètre du tube), mais uniquement du groupement ρVD/µ, qui est un nombre sansdimension.Il fut convenu par la suite d’appeler nombre de Reynolds ce groupement que nousnoterons désormais Re.ρVDRe =µLa valeur critique Re c du nombre de Reynolds qui caractérise la transition laminaire –turbulent peut varier légèrement avec certaines conditions expérimentales (géométrie del’entrée du tube par exemple), mais elle n’est jamais inférieure à 2000, sa valeur la pluscourante étant voisine de 2200.2.2.2. – Expérience de la plaque planeOn peut se demander si certains aspects des observations précédentes ne sont pas liésau caractère particulier de la géométrie cylindrique ou à la nature du fluide (l’expérience estplus difficile à mettre en oeuvre avec un gaz). Une série d’observations complémentairesréalisées en géométrie plane montre qu’il n’en est rien.Une plaque plane de surface lisse est plongée dans un écoulement de fluide (gaz ouliquide) dont la vitesse U ∞ est uniforme ; elle est disposée parallèlement à la direction de U ∞ ,et son bord d’attaque est biseauté pour éviter des phénomènes parasites (fig. 2.3).FIG. 2.3. – Régimes d’écoulement sur une plaque planeEn un point choisi à proximité de la plaque et du bord d’attaque, on fait arriver un filetde colorant (liquide ou gaz selon la nature de l’écoulement principal), à la même vitesse U ∞ .Comme dans l’expérience de Reynolds, on observe le comportement du colorant et l’onconstate l’apparition de phénomènes analogues :

• Le filet coloré est d’abord rectiligne et bien individualisé, ce qui correspond, d’après ladéfinition du paragraphe précédent, à une zone d’écoulement laminaire.• Arrivé à une certaine distance du bord d’attaque, le filet commence à onduler ens’épaississant, puis se dilue dans le fluide ; on reconnaît ici une zone d’écoulement turbulent.Dans le cas présent, il n’est donc pas nécessaire de faire varier la vitesse pour observerles différentes structures d’écoulement puisque celles-ci coexistent le long de la plaque plane.En réitérant l’expérience pour différentes vitesses et différentes viscosités de fluides,on constate en outre que la transition laminaire – turbulent est caractérisée par une valeurcritique du groupement ρU ∞ x/µ, l’abscisse x étant mesurée le long de la paroi à partir du bordd’attaque.La parenté de ce terme sans dimension avec le paramètre ρVD /µ de l’expérienceprécédente conduisit à l’appeler également nombre de Reynolds. On a donc ici :Re =ρUµ∞xSi x c est l’abscisse de transition, la valeur critique de Re, soit Re xc = ρU ∞ x c /µ, est del’ordre de 10 5 .2.2.3. – Exploitation des expériencesAinsi qu’il a déjà été annoncé au début de ce chapitre, les expériences que l’on vientde décrire ont l’intérêt d’être simples à interpréter et de suggérer à la fois des modèles pour lesécoulements laminaires et turbulents, et une méthode générale de travail.2.2.3.1. – ANALYSE QUALITATIVE ET MODÉLISATION♣L’écoulement laminaire se caractérise par une quasi absence de mélange entre le fluideet le colorant. Il se produit bien un mélange dû à la diffusion moléculaire, mais celui-ci esttrès lent. Tout se passe donc en fait comme si les particules fluides suivaient des trajets qui nes’entrecroisent jamais. Toutes les particules issues d’un même point forment une sorte de« filet fluide » analogue à un rail qui ne comporterait pas d’aiguillages. Pour des conditionsaux limites stationnaires, les paramètres de l’écoulement ( p , V , T , etc.) sont des constantes.A partir de ces apparences, on peut dessiner un premier modèle où le fluide enécoulement serait constitué de lames minces (d’où le terme de laminaire) qui glisseraient lesunes sur les autres, en exerçant sur leur surface de contact un effort de frottement τ ij dû à laviscosité. Cet aspect a déjà été évoqué à propos de l’écoulement de Couette (§ 1.1.3.2).♦D’autre part, dans le second type d’écoulement, qualifié de turbulent, il se produitpendant le déplacement un mélange progressif entre le fluide et le colorant, puis un brassagegénéral. Ceci exige un enchevêtrement des trajectoires suivies par les particules fluides, etindique l’apparition locale de mouvements instationnaires tridimensionnels qui ne sont pasinduits directement par les conditions aux limites puisqu’ils se manifestent même lorsquecelles-ci sont stationnaires.On ne peut donc plus parler ici de filets fluides ou de lames fluides. La notion detrajectoire garde évidemment un sens physique mais perd tout intérêt opérationnel.

Cette interprétation conduit tout naturellement à un modèle d’écoulement turbulentdans lequel un mouvement chaotique, d’apparence aléatoire, se superposerait à un mouvementd’ensemble considéré comme mouvement moyen, c’est-à-dire pour le premier à un modèlestatistique. Ce mouvement, d’aspect irrégulier (du moins à première vue) constitue lephénomène de la turbulence. La description des écoulements turbulents fera l’objet duchapitre 3.2.2.3.2. – UNE MÉTHODE DE TRAVAIL : LA SIMILITUDEPenchons-nous maintenant sur le dernier enseignement des expériences précédentes.Celle-ci mettent en jeu quatre paramètres que l’on peut modifier : la vitesse du fluide (V ouU ∞ ), une longueur (diamètre D du tube ou longueur de la plaque), la masse volumique ρ et laviscosité dynamique µ du fluide. Mais on observe que le critère de transition laminaire –turbulent fait intervenir un seul paramètre adimensionnel Re qui combine les quatreprécédents.On peut alors légitimement se demander si d’autres propriétés des fluides enécoulement ne pourraient pas être décrites également par un nombre réduit de groupementssans dimension.Plus précisément, eu égard au nombre élevé de paramètres nécessaires pour décrirecomplètement un problème d’écoulement anisotherme (ρ, V , T, p, µ, etc.), l’interrogationessentielle doit être formulée en ces termes : « A quelle condition peut-on attribuer une valeurgénérale à une expérience particulière ? ». Ou encore : « Peut-on établir des lois decomportement qui ne fassent pas intervenir les conditions particulières relatives à telle ou telleexpérience ? ». La méthode qui permet de répondre par l’affirmative à ces questions porte lenom de similitude.Bien entendu, la même question se pose dans toutes les branches de la physique, maiselle prend une importance majeure en thermoconvection pour la raison indiquée plus haut. Enoutre, si elle se pose d’abord au théoricien, elle présente aussi un intérêt tout particulier pourl’ingénieur qui ne peut, dans bien des cas, ni résoudre son problème complet par le calcul(encore que les choses commencent à changer dans ce domaine), ni prendre le risque financierd’une expérimentation directe en grandeur nature et dans les conditions normales d’utilisation.Ce sera le rôle d’une étude sur maquette que d’apporter des renseignements sur lecomportement du modèle définitif, la similitude permettant de transposer de l’une à l’autre lesrésultats obtenus.Intuitivement, on se rend compte, par exemple que, pour qu’il y ait similitude entredeux écoulements, il est nécessaire que les trajectoires des particules fluides soient semblables(similitude géométrique, impliquant celle des frontières) et que les particules occupent despositions homologues à des instants homologues (similitude cinématique).Il reste maintenant à préciser et à compléter ces données intuitives.2.2.3.3. – UN OUTIL DE TRAVAIL : L’ADIMENSIONNEMENTD’une façon moins contraignante, on peut aussi se contenter d’utiliser desgroupements sans dimension uniquement pour diminuer le nombre des paramètres mis en jeu,sans faire spécifiquement référence à la similitude. Ceci élargit l’éventail des possibilités, caril existe des nombres sans dimension qui ne sont pas représentatifs d’une similitude, mais quisont néanmoins des outils de travail utiles et appréciés. Nous les passerons en revue au § 2.5.

2.3. – LES FONDEMENTS DE LA SIMILITUDEAvant de nous intéresser de façon plus approfondie aux modèles d’écoulements (ch. 3et suivants) nous examinerons d’abord la question de la similitude, en essayant de poser leproblème dans toute sa généralité.2.3.1. – Forme adimensionnelle d’une équation de bilanNous partirons de l’équation générale de bilan local (1.24) pour une entité physiquescalaire :∂C+ div( CV ) = qI − div q∂tSen rappelant le sens des notations :C = densité volumique de l’entité considéréeq I = débit local des sources de volumeqS= densité de flux locale des sources de surfaceIl va nous être utile d’indiquer, dans l’écriture de l’équation précédente, que pour uneentité donnée, les sources de surface aussi bien que de volume peuvent être de plusieurs sortes,ce que nous symboliserons par des sommations sur deux indices n et m :∂C∂t+div( CV )=∑ qIn− ∑nmdiv qSm(2.1)Si l’on veut faire apparaître dans cette équation des groupements sans dimension, ets’affranchir pour sa résolution des valeurs particulières de certains paramètres, on est conduità y introduire des variables adimensionnelles. Il convient pour cela de comparer chaquevariable à une valeur de référence (à l’inverse, l’idée même de comparaison conduit toutnaturellement à la notion de grandeur sans dimension). Pour les coordonnées d’espace et detemps, on choisira ainsi :L° : longueur de référence relative à la géométrie de l’écoulement (ou « échelle de longueur »)t° : durée de référence (ou « échelle de temps »).Les grandeurs de référence relatives àV° (grandeur scalaire)oq In etC , V , q , q seront, quant à elles, notées C°,Inoq Sm (scalaire également).Les variables adimensionnelles (ou variables réduites) sont alors définies de la façonsuivante :Sm+ x + y + z +x = ; y = ; z = ; t =oooLLL+ C + VC = ; V =o0C V+ q +Inqq In = ; qo Sm=qqInSmoSmtto(2.2)

Deux remarques s’imposent à propos des définitions précédentes. Premièrement,puisqu’on ne peut pas diviser un vecteur par un autre, la référence d’une grandeur vectorielleest obligatoirement un scalaire. Deuxièmement, le choix d’une même longueur de référenceL° dans les trois directions de l’espace paraît à première vue une nécessité logique, mais il y ades exemples (comme les entrées de canalisations) où ce choix est physiquement inapproprié.Nous en parlerons au chapitre 6 (§ 6.5).Remplaçons maintenant x, y, z, t, C, q In , V etdans l’équation (2.1). On a en particulier :∂C∂t=Ctoo∂C∂to++o++∂ CV C V ∂( C V )=(et de même pour y et z).∂xo +L ∂xL’équation (2.1) s’écrit donc :qSmen fonction des nouvelles variablesCtoo∂C∂t+++CoLVoodiv C+V+=∑où tous les coefficients sont de dimension [C] [t] - 1 .nqoInq+In−∑mqoSmoLdiv q+Sm(2.3)Nous pouvons rendre cette relation complètement adimensionnelle en multipliant lesdeux membres par L o /C o V o , qui est de dimension [t][C] – 1 . L’opération présente en particulierl’avantage d’isoler le terme de transport :+div C + V . On obtient ainsi :toLoVo∂C∂t+++div C+V+=∑nqCoInoLVooq+In−∑mCoSmo oqVdiv q+Sm(2.4)Bien entendu, tout ceci n’a de sens que si les grandeurs de référence C°, L° …. sontdes constantes.Les groupements sans dimension qui sont apparus dans l’équation (2.4) présentent ungrand intérêt. Nous les noterons respectivement Γ t , Γ In , Γ Sm :oL ⎫Γt=o o⎪t V ⎪o oq ⎪In LΓ In =o o⎬(2.5)C V ⎪oq ⎪SmΓSm= ⎪o oC V ⎪⎭d’où l’écriture définitive de l’équation générale adimensionnelle de bilan local :+∑∑∂C++++Γ t + div C V = Γ −+In qInΓ Sm div qSm(2.6)∂tnm

On aboutit à des coefficients Γ identiques aux précédents si l’on raisonne sur unegrandeur vectorielle. La méthode possède donc une validité tout à fait générale.2.3.2. – Les critères de similitude♣L’étude d’un problème de thermoconvection sous forme adimensionnelle conduit doncà résoudre un système de plusieurs équations de bilans du type (2.6), équations relatives auxdifférentes entités physiques qui doivent être prises en compte. Les inconnues sonthabituellement les distributions C + (x + , y + , z + , t + ) des grandeurs physiques considérées. Les++termes de sources q In , q Smet les vitesses dépendent en général des grandeurs C + . A titred’aide-mémoire, on trouvera en annexe (2.A.1) des tableaux rappelant les principales sourcesimpliquées dans les bilans que nous aurons à utiliser.On voit que deux problèmes différents pourront être qualifiés de semblables s’ils ontdes solutions adimensionnelles identiques, car alors, en tous points homologues des deuxécoulements (points ayant les mêmes coordonnées réduites x + , y + , z + ), les grandeurs C, V , q In ,qSmseront dans des rapports constants.L’identité des solutions implique en particulier que les coefficients Γ définis par (2.5)soient respectivement égaux. Les Γ constituent donc un ensemble de « critères de similitude »,chacun d’eux étant relatif à une grandeur C et à une source données, c’est-à-dire à unproblème physique bien précis (sauf Γ t , sur lequel nous reviendrons dans un instant)..Corrélativement, il y a invariance des solutions dans toute transformation réalisée à Γconstants. Enfin, les critères de similitude sont évidemment indépendants du système d’unitéspuisqu’ils sont sans dimension.Le choix que nous avons fait dans la construction des équations adimensionnées(coefficient 1 devant le terme de transport) revient à imposer la similitude à l’échelle 1 parrapport au flux transporté, et à chercher à quelles conditions une similitude sera égalementassurée pour les sources.♦Cependant, l’égalité des coefficients Γ ne suffit pas à assurer l’identité des solutions.Il faut en outre vérifier l’identité des conditions aux limites et des conditions initiales,exprimées également sous forme adimensionnelle.En particulier, les surfaces frontières des systèmes considérés devront avoir les mêmeséquations en x + , y + , z + . Ceci implique la similitude géométrique des frontières des deuxécoulements.A ce propos, la réalisation d’une maquette expérimentale est ordinairement entenduedans un sens diminutif, « maquette » étant identifiée à « modèle réduit » ; cette conception esttrop restrictive, car la similitude autorise parfaitement l’usage de « modèles agrandis » si lesdimensions du système à étudier sont trop petites.♥Les critères de similitude sont construits à partir de grandeurs de référence surlesquelles nous n’avons donné pour l’instant aucune précision.En fait, les choix de ces grandeurs sont a priori arbitraires mais, en pratique, ilsdoivent être en relation avec les phénomènes physiques considérés. Par exemple, pour unécoulement dans un tuyau de section circulaire, l’expérience de Reynolds nous montre que ladimension caractéristique du phénomène n’est pas la longueur du tube, mais son diamètre. Lalongueur de référence L° sera donc ici le diamètre D. A l’inverse, pour l’écoulement sur une

plaque plane, l’expérience montre que c’est la longueur L mesurée depuis le bord d’attaquequi est représentative du phénomène, et c’est donc elle qui sera naturellement choisie commevaleur de L°.Toutes précisions sur les choix des grandeurs de référence seront données au fur et àmesure des besoins dans les chapitres d’applications. Signalons toutefois dès maintenant, carceci est important, que d’une façon générale les grandeurs de référence seront choisies sur dessurfaces frontières. Ce seront donc des conditions aux limites. Lorsque l’on veut rendre deuxproblèmes semblables, l’égalité des coefficients Γ assure alors ipso facto l’identité decertaines conditions aux limites.♠Si le problème étudié comporte au total N sources, il n’y aura pas forcément N critèresΓ indépendants. En effet, certaines sources sont couplées entre elles, ce qui se traduit par desrelations de dépendance entre les Γ correspondants (§ 2.5). Avec l’introduction de lasimilitude, l’un des buts poursuivis sera d’établir la forme de ces relations.Enfin, en l’absence de sources, une équation de bilan devient une simple équation deconservation. En régime permanent, il n’y a plus de critères de similitude. Pour que deuxproblèmes soient semblables, il suffit alors que les conditions aux limites exprimées envariables adimensionnelles soient identiques.2.3.3. – Conditions de validité de la similitudeL’invariance des lois physiques entre modèle et maquette est évidemment l’essencemême de la similitude. A contrario, aucune similitude n’est possible si les lois qui gouvernentles transferts ne sont pas conservées lors d’un changement d’échelle (au sens large du terme :échelle de temps, de longueur, de température, échelle dans les propriétésthermophysiques …).Pour donner un exemple concret, on ne peut pas envisager de similitude entre unécoulement d’air à l’échelle centimétrique et à pression ambiante, et un écoulement d’air àéchelle micrométrique ou à très faible pression : le changement d’échelle fait que le libreparcours moyen des molécules devient du même ordre de grandeur que les dimensions dusystème ; le gaz ne peut plus alors être considéré comme un milieu continu (cf. § 1.1.1) et leslois de comportement (relations contraintes / déformations ou flux de chaleur / écart detempérature) changent de forme.Mais bien entendu, on peut toujours construire une similitude dans tout domaine àl’intérieur duquel les lois physiques sont conservées, les définitions générales des critères Γrelatifs à chaque source restant valables dans leur forme générale (2.5).2.4. – PANORAMA DES CRITÈRES DE SIMILITUDE2.4.1. – Les principes et l’usageAprès cette présentation globale, il convient maintenant de préciser les expressions descritères de similitude qui interviennent dans les relations de bilans établies au chapitre 1.Malheureusement, l’usage a imposé des nombres sans dimension qui ne coïncident pasexactement avec les coefficients Γ. C’est ainsi que les nombres de Strouhal (2.9), deReynolds (2.26) ou de Péclet (2.57) sont les inverses des Γ correspondants, tandis que

d’autres (nombre de Grashof ( 2.29), de Boussinesq (2.61) …) en sont les inverses élevés aucarré.Dans le principe, ceci est regrettable, mais la signification de ces nombres commecritères de similitude n’est pas en cause pour autant : il y a seulement un renversementd’échelle, et en plus, dans le second cas, une distorsion dans l’échelle des valeurs numériquesutilisées, par rapport à celles des critères Γ.On trouvera en Annexe 2.A.1 des tableaux qui récapitulent l’ensemble des critères desimilitude et des sources auxquelles ils se rattachent, ainsi que d’autres nombres sansdimension d’usage courant.2.4.2. - Le critère de similitude temporelleCommençons par le coefficient Γ t , qui n’intervient que dans les phénomènesinstationnaires (équation 2.6). Son expression est dans tous les cas :L°Γ t =t°V °Il s’agit d’un critère de similitude temporelle pour lequel deux situations sont àconsidérer.♣++Le terme instationnaire ∂C / ∂test lié directement à l’évolution dans le temps desconditions aux limites.Par exemple, si la vitesse à l’entrée d’une canalisation varie en fonction du temps, laquantité de mouvement ρ V dépendra de t en chaque point.Soit dl le déplacement d’une particule fluide pendant une durée dt :dl = V dt+Posons : dl = dl / L°; on a :+++L ° dl = V dt = V ° V .t°dt(2.7)Ici, on ne peut pas choisir la durée de référence t° de façon arbitraire, si le choix de L°et de V° a déjà été fait, car on doit avoir, en coordonnées réduites :+ +dl = V dt+d’où en rapprochant de (2.7) : L° = V° t°On a par conséquent :L°t ° =V °et : Γ t = 1(2.8)♦La similitude temporelle est automatiquement assurée à l’échelle 1.++Le terme instationnaire ∂C/ ∂tn’est pas lié à l’évolution des conditions aux limites.C’est ce qu’il se passe par exemple dans un écoulement turbulent, où le mouvementest instationnaire même quand les conditions aux limites sont stationnaires (§ 2.2.3.1), ou

encore dans certains échangeurs thermiques qui sont parfois le siège de mouvementsvibratoires…S’il y a superposition d’un mouvement vibratoire à un mouvement moyen, le terme+ +∂C / ∂tpeut se dédoubler ; il faut donc a priori considérer deux critères de similitudetemporelle :- le premier, relatif au mouvement moyen, est égal à 1 d’après ce qui précède ;- dans le second, on choisira pour durée de référence la pseudo-période t° du phénomène. Lecritère de similitude temporelle relatif au mouvement vibratoire sera donc :Γ = L°/ t°V °(2.9a)tL’usage a retenu, plutôt que le nombre Γ t , son inverse (qui reste néanmoins un critèrede similitude, cf. § 2.4.1) appelé nombre de Strouhal S :00t VS = (2.9b)0L!!! Ceci dit, dans la suite de ce chapitre nous considérerons uniquement des régimespermanents, indépendants du temps. En effet, dans la plupart des régimes variables, lacaractérisation des grandeurs de référence pose de sérieux problèmes et limite l’intérêt del’adimensionnement.2.4.3. – Les critères de similitude relatifs aux sources de quantité de mouvementPour des raisons pratiques que l’on constatera plus loin, nous allons examiner d’abordl’application de la similitude aux transferts de quantité de mouvement.2.4.3.1. – GRANDEURS ET RELATIONS DE BASEComme nous l’avons déjà précisé en (2.3.1), le fait que la grandeur considérée soitvectorielle ne change rien à la définition (2.5) des nombres Γ , et les grandeurs de référenceutilisées sont toujours des scalaires. Dans le cas présent, on a donc :C = ρ V ; C°= ρ°V °+= ρ V++C= ρρ°V °V(2.10)Notre équation de départ sera la relation de bilan local (1.32) (en régime permanent) :div P = ρ F +divTdans laquelle nous adopterons pour T la forme (1.16b)T= − p I+ ττ désignant le tenseur des contraintes de viscosité. Le bilan devient ainsi :div P = ρ F − div p I + divτou plus simplement, d’après 1.A.2♦:div P = ρ F − grad p + divτ(2.11)

2.4.3.2. – CRITÈRES RELATIFS AUX FORCES DE VOLUMEDans beaucoup d’applications, les sources volumiques de quantité de mouvement (quisont les forces de volume appliquées au fluide) sont négligeables devant les autres sources.Lorsqu’elles ne le sont pas, trois situations sont principalement à envisager.♣Les forces de pesanteur sont prépondérantes devant les forces de pression(écoulements à surface libre, voir Ch. 8)Alors,q I= ρ F = ρ g et l’on devra prendre comme grandeur de référence un terme00du même ordre, à savoir : qI= ρ g .Le critère de similitude relatif aux forces de pesanteur est ici (cf. 2.5) :0 0qIL ρ°g L°Γ g = =2ρ°V ° .V ° ρ°(V ° )♦g L°Γ g =(2.12a)2(V ° )L’inverse de Γ g est connu sous le nom de nombre de Froude Fr :Fr=1Γ g2(V ° )=g L°(2.12b)Les forces de pesanteur sont du même ordre de grandeur que les forces de pression(écoulements en charge, voir Ch. 6)Comme on a dans un écoulement isochore q I= ρ g = − grad ( ρgz) , où ρgz esthomogène à une pression, on voit qu’il est également possible de prendre pour valeur de0référence q I un gradient de pression caractéristique de l’écoulement. La pression statique pétant liée à la vitesse, on convient ordinairement de choisir :pooo2= ρ (V )(2.13a)c’est-à-dire : p 0 = 2 fois la pression dynamique correspondant à la vitesse de référence.0Quant à la référence q I (qui doit être une grandeur scalaire, cf. § 2.4.3.1), ce sera toutnaturellement le quotient de la pression de référence par la longueur de référence :000 pq I = ( grad p ) =(2.13b)0Ld’où, en appliquant la définition (2.5) :0 0 0 0 2 0qIL ρ (V ) LΓ p = =0 0 00 0 0 2ρ V .V L ρ (V )c’est-à-dire :Γ p = 1(2.13c)

Il n’y a donc plus ici de condition de similitude vis-à-vis des forces de pesanteur : cettesimilitude se trouve automatiquement assurée avec un rapport d’échelle égal à 1.♫♪ On aura noté qu’ici, le terme grad p a été traité comme une source volumique, ce quiest parfaitement licite vu le caractère bivalent de la pression, signalé au paragraphe 1.3.4.4.♥Les forces d’Archimède (ou forces de flottabilité) sont du même ordre de grandeur queles forces de pression (convection mixte)Sous l’influence du gradient de température, le fluide subit des variations de massevolumique à partir d’une valeur de référence ρ ∞ (PTC, Ch. 5 et 6).La force ascensionnelle exercée sur une particule fluide s’écrit :ρ∞− ρF = − g , et q FρI= ρ(2.14)∞En introduisant la dilatabilité du fluide :1 ⎛ ∂p⎞β = − ⎜ ⎟(2.15a)ρ ⎝ ∂T⎠pet en admettant que ρ est une fonction linéaire de T, on peut faire apparaître les températuressi l’on écrit :1 ρ∞− ρ ρ∞− ρβ = −, soit : = β ( T − T∞)(2.15b)ρ T − T ρ0T∞De ce fait :q I∞∞= ρ β (T − T∞ ) g = ρ β ∆Tg(2.16a)On prend alors pour valeur de référence :q0I000= ρ β ∆Tg(2.16b)où ∆ est un écart caractéristique de température (en général T paroi - T ∞ )On doit donc compter dans le cas présent avec un nouveau critère de similitude :0 00 0 0qILg β ∆T LΓ β = soit avec (2.16) : Γ0 0 2β = (2.17a)0 2ρ (V )(V )Par chance, le nombre sans dimension employé dans la pratique coïncide avec Γ β etn’est autre que le nombre de Richardson Ri (parfois appelé aussi nombre d’Archimède) :Ri000g β ∆TL= Γ β =(2.17b)0 2(V )2.4.3.3. – CRITÈRES RELATIFS AUX FORCES DE SURFACELes forces surfaciques se subdivisent en forces normales (pression) et en forcestangentielles. D’après (1.16b), (1.25) et (1.32), on a ici :

(termeq SS= T = − p Iq = q + qS1S 2+ τ(2.18)Il y aura donc a priori deux critères de similitude correspondant respectivement à qS1p I ) et qS 2(terme τ ).♣Forces de pression1. La valeur de référence0q S1 est donc une pression p°. Comme il a déjà été dit auparagraphe 2.4.3.2.♦, on peut choisir pour p° une pression dynamique en relation avec lavitesse de référence, à savoir :0 0 0 2q = p = ρ (V(2.19)0S 1)Alors, selon (2.5) et (2.10), le critère Γ S1 associé est identique à Γ p donné par (2.13) :00qS1pΓ S1 = == Γ0 0 0 0 0 p(2.20a)C V ρ V . Vc’est-à-dire :Γ p = 1(2.20b)Il est logique d’aboutir aux mêmes conclusions que dans le paragraphe cité puisque lagrandeur de référence est la même dans les deux cas.2. Mais il advient parfois que l’on s’intéresse plus spécialement à la pression en tantque telle (lorsqu’on parle de perte de charge dans une canalisation par exemple). On se tournealors naturellement pour le choix d’une référence vers une pression statique p° (ou plutôt unedifférence de pression) significative de l’écoulement.Dans ce cas, Γ p conserve la forme (2.20a) et prend le nom de nombre d’Euler Eu (ouparfois de « coefficient de pression ») :Eu0p= Γ p stat =(2.20c)0 0 2ρ (V )♦Forces de viscositéConcernant les grandeurs de référence à prendre en compte, une question nouvelle etimportante va maintenant être soulevée avec la caractérisation du critère de similitude relatifaux forces de viscosité. Pour les sources surfaciques engendrées par un mécanisme dediffusion (dans le cas présent, la diffusion de quantité de mouvement, cf. § 1.3.6.5 ; plusloin, la diffusion de masse ou de chaleur), on se trouve devant une alternative, selon quel’attention est portée en priorité sur le champ de la fonction inconnue (ici : le champ de vitesse)ou sur ses gradients (ici : les contraintes de viscosité).

I. – Référence aux gradients de vitesseSi l’on s’intéresse plutôt au champ des contraintes (qui sont proportionnelles auxgradients de vitesse, relation (1.18)), on reprendra la formulation (2.18) en écrivant :qS 2= τCeci permet d’adopter comme valeur scalaire de référence0q S 2 une contraintevisqueuse à la paroi, que l’on note τ p :0= τ = τ (contrainte à la paroi) (2.21)0qS 2pOn obtient immédiatement le critère Γ τ correspondant en revenant à la définition(2.5) :τ pΓ τ = (2.22a)0 0 2ρ (V )Le nombre sans dimension usuel est le coefficient de frottement C f , égal à 2Γ τ ; onl’écrit habituellement :1C2fτ p= Γ τ =(2.22b)0 0 2ρ (V )L’introduction du facteur ½ a pour origine le souci d’exprimer le dénominateur de C fcomme une énergie cinétique (ρV 2 /2). Ce n’est pas très heureux, mais c’est maintenant unetradition.II. - Référence au champ de vitesseSi l’on veut au contraire mettre l’accent sur le champ de vitesse, il faut introduirel’expression détaillée de τ :avec :et :q S 2= τ = 2µD1 ⎛ V Vi j⎞⎜∂ ∂ε ij = + ⎟ = ( D ) ij (1.9)2x j x⎝∂ ∂ i ⎠∂V∂x=∂0 + 0 +( V V ) V ∂V=0 + 0 +( L x ) L ∂x∂Pour établir la forme que doit avoir ici la grandeur de référence q S 2 , on exprimera τ ijen fonction des grandeurs adimensionnelles déjà définies :0 ⎛ + +∂ ⎞0 + 1 V ⎜ ∂VVi jτ = =+ ⎟ij 2 µ ε ij 2µµ(2.23)0 ⎜ + +2 L⎟⎝ ∂xj ∂xi⎠ce qui conduit à faire apparaître une viscosité dynamique de référence µ 0 , évaluée dans desconditions de température à préciser, telle que µ + = µ /µ 0 . D’où :0+0 V +qS 2= τ = µ 2µD(2.24)0LPuisque l’on doit pouvoir écrire : τ = τ τgrandeurs réduites, il faut donc obligatoirement que :0+0, conformément à la définition des

00 0 Vτ = µ(2.25)0LToujours d’après (2.5), l’expression du critère de similitude est maintenant :Γ ν =0τρ V000.V00µ νΓ ν = =(2.26a)0 0 0 0 0ρ V L V LCe terme est plus connu sous sa forme 1 / Γ ν , qui est le nombre de Reynolds Re, déjàcité au début du présent chapitre (§ 2.2.1 et 2.2.2) :0 L 01 VRe = =(2.26b)0Γ ν νComme il a été dit pour le nombre de Strouhal (§ 2.4.2), Re a toujours le sens d’uncritère de similitude, mais l’échelle des valeurs numériques est inversée par rapport à Γ ν , cequi est un peu regrettable.2.4.3.4. – CAS OÙ IL N’Y A PAS DE VITESSE EXPÉRIMENTALE DE RÉFÉRENCE♣C’est le cas qui se rencontre en convection libre, où le seul paramètre V 0 expérimentalque l’on puisse prendre pour référence (la vitesse du fluide loin des parois) est égal à zéro. Lasolution consiste alors à adopter pour V 0 une grandeur homogène à une vitesse, et liée àd’autres paramètres pour lesquels existe une valeur expérimentale caractéristique.En l’occurrence, sachant que la flottabilité qui est à l’origine de la convection naturelleest liée à l’existence d’un écart de température ∆T 0 et d’une dilatabilité β dans le fluide, ainsiqu’à la pesanteur, le groupement le plus simple homogène à une vitesse et contenant cesingrédients est :V00 0 0 1 / 2( g β ∆TL )= (2.27)Les critères de similitude construits sur cette base seront affectés de l’indice « l » pourrappeler qu’il s’agit de convection libre.♦En remplaçant V 0 par (2.27), le critère de similitude Γ β (2.17) relatif aux forces depesanteur :g β ∆TΓ β =0(V )devient alors :002L0Γ β l = 1(2.28)ce qui a pour conséquence d’assurer automatiquement la similitude à l’échelle 1 vis-à-vis desforces de pesanteur.

♥Quant au critère de similitude relatif aux forces de viscosité, il peut là encore revêtirdeux aspects :I.- Avec référence au champ de vitesse000Γ ν = ν / V L (2.26a)devient :Γ ν l =0ν0 1 / 2 0 3 /g β ∆T L(2.29a)( ) ( )2Le problème est qu’on ne l’utilise jamais ! Il a dès l’origine cédé la place à son inverseélevé au carré, baptisé nombre de Grashof Gr :Gr020 2l ( ν )031 g β ∆T( L )= =(2.29b)Γ νUne fois de plus, mais ce n’est pas la dernière, nous sommes confrontés à une traditionqui a imposé un nombre sans dimension très différent du critère de similitude originel. Malgrétout, Gr est aussi un critère de similitude (si Γ ν l a la même valeur dans deux systèmesdifférents, les nombres de Grashof sont égaux aussi), mais avec un renversement et une fortedistorsion des valeurs numériques.II.- Avec référence aux gradients de vitesseτ pΓ τ =0 0 2ρ (V )(2.22a)devient quant à lui :τ pΓ τ l =0 0 0 0ρ g β ∆T L(2.30)Voilà un critère de similitude qui est resté complètement ignoré, et qui n’a donc jamaisreçu de patronyme. On pourrait le considérer comme un coefficient de frottement modifiéC * f / 2 .Enfin, le critère Γ p (2.20b) relatif aux forces de pression n’est pas concerné par le0 0 0 2changement de vitesse de référence. Si l’on prend à nouveau p = ρ (V ) , on a toujours :Γ p = 12.4.3.5.- ÉCRITURE ADIMENSIONNELLE DU BILAN DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT1. – Base de départLe bilan de quantité de mouvement est exprimé par l’équation (2.11), que nousrappelons tout d’abord :

div P = ρ F − grad p + divτ(2.11)avec, si l’on développe les termes en divergence selon (1.33a) et (1.33c) :div P= grad V . ρV( V grad divV )div τ = µ ∆ +En adoptant des références au champ de vitesse, la transposition adimensionnelle de(2.11) aura la forme générale :++++grad V . ρ V = (1 ou Γ g ou Γβ) ρ F − (1 ou Γ p stat ) grad p(2.31)++⎛ ++Γ⎞ν µ ⎜∆V+ grad divV ⎟⎝⎠Nous donnons dans le paragraphe suivant les formes habituelles dans les principalessituations rencontrées.2. – Applications (avec références au champ de vitesse)++♣ Ecoulements à surface libre (§ 2.4.3.2.♣ et Ch. 8)S’agissant d’un fluide isochore dans le champ de pesanteur :sont des constantes,++g =g / gF = g . Comme g et ρest le vecteur unitaire selon la verticale descendante, etρ = 1 .En outre, les forces de gravité sont prépondérantes par rapport aux forces de pression.Les critères de similitude concernés sont donc les nombres de Froude et de Reynolds. Il vientalors :grad V+. V+1 + 1 + += g + µ ∆V(2.32)Fr Re♦ Ecoulements en charge (§ 2.4.3.2.♦ et Ch. 5)Les conditions sont les mêmes, à ceci près que les forces de gravité et de pression sontdu même ordre de grandeur. On fait alors intervenir la pression statique p* (1.37a) :ρ g − grad p = − grad p*Le critère de similitude correspondant est Γ p = 1, d’où :avec :grad V( p*)++=. V+p*p0+ 1 + += − grad ( p*) + µ ∆V(2.33a)Re=0p0ρ (V0)2(2.33b)

♥ Convection mixte (§ 2.4.3.2.♥ et PTC, Ch. 6)A partir de (2.15) et (2.16), la température adimensionnée est définie par :+o+oT = T / ∆ T ou ∆T= ∆T/ ∆T(2.34a)La masse volumique est toujours supposée constante, sauf dans le terme de flottabilité,donc ρ + = 1.Les critères de similitude qui interviennent dans ce cas sont Ri et Re, et (2.31) s’écrit :grad V+. V++ ++ 1 + += Ri T g − grad ( p*) + µ ∆V(2.34b)Re♠Convection libre (§ 2.4.3.4 et PTC, Ch.5)Le critère de similitude Γ β relatif aux forces de pesanteur est égal à 1. Le critère relatifaux forces de viscosité est le nombre de Grashof. Le gradient de pression motrice étantnégligeable, il reste :grad V+. V++ + 1 + += T g + µ ∆V(2.35)1 / 2Gr3. – Avec référence aux gradients de vitesseSi l’on choisit de se référer aux gradients de vitesse pour adimensionner le tenseur descontraintes (§ 2.4.3.3♦), le critère de similitude relatif aux forces de viscosité est lecoefficient de frottement C f et l’équation (2.11) devient :grad V+++ ++ ++ 1. ρ V = (1 ou Γ g ou Γβ ) ρ F − (1 ou Γ p stat ) grad p + C f divτ2(2.36)Cette écriture est moins utilisée que la précédente pour le calcul du champ de vitesse.Par contre, C f est un paramètre intéressant lorsqu’il s’agit de présenter des résultats qui fontintervenir le frottement aux parois.2.4.4. – Les critères de similitude relatifs aux sources de masse2.4.4.1. – GRANDEURS ET RELATIONS DE BASELa grandeur physique C qui intervient dans l’équation (2.6) est ici la massevolumique ρ :C = ρ (ou ρ A pour un constituant A d’un mélange)C 0 = ρ 00(ou ρ A ) : valeur de référence⎛⎞+ + ρ⎜ + ρ AC = ρ = ou ρ = ⎟0A(2.37)0ρ⎝ ρ A ⎠

Nous partirons maintenant de l’équation (1.65a) qui fait intervenir le terme dediffusion du constituant A dans le mélange :∂ρA⎛ ρ A ⎞+ div( ρ A V ) = qIA+ div⎜ρ DAgrad ⎟∂t⎝ρ ⎠2.4.4.2. – SOURCES VOLUMIQUESréférencePour l’espèce A, dont le taux de production local est q IA , on définit un taux deqoIA, d’où0IA0L0A0+IAq = qIA/ qoIA. Le nombre Γ associé à q IA est donc d’après (2.5) :qΓ IA = (2.38)ρ V2.4.4.3. – SOURCES SURFACIQUES♣Point de départSi l’on est en présence d’un phénomène de diffusion, le débit-masse local duconstituant A dans le mélange est, rappelons-le (§ 1.3.6.2) :ρ AqSA= − ρ DAgradρDans ce qui va suivre, le raisonnement et les conclusions ne sont en rien modifiés sil’on se place dans le cas, plus simple à écrire, où ρ varie peu, car alors :qSA= − ρ D grad ρ(2.39)AAPour exprimer le critère de similitude Γ correspondant, on retrouve le même problèmequ’avec la diffusion de quantité de mouvement (§ 2.4.3.3.♦): deux possibilités se présentent,selon que la référence sera choisie dans le champ de concentration ou dans les gradients deconcentration, c’est-à-dire dans les flux de masse.♦Avec référence aux concentrationsDans la première éventualité, on introduit à partir de (2.39) un scalaire de référence :q0SA0A( grad ρ ) 0= D(2.40)A0D A est un coefficient de diffusion évalué dans des conditions de référence (T 0 , p 0 ,etc.) à préciser. Si D A varie peu en fonction des paramètres de l’écoulement, on auraévidemment0A DAD = , et D A = 1.Le gradient de référence ( grad ρ ) 0A+, quant à lui, est déterminé par le choix dede L 0 . En effet, en passant en variables réduites :0ρ A et

0++( 0A ρρ ρ ) = Agrad ρ1grad ρ A = grad0 A 0 A(2.41a)LLEnsuite, ce gradient est lui-même décomposé selon les caractéristiques du champscalaire. Puisque+Agrad ρ =00ρ( grad ) AA 0grad ρ( grad ρ ) 0AAon a obligatoirement :ρ = (2.41b)LD’après (2.5) le critère de similitude, que nous noterons Γ AD , a pour expression :0q SA 1Γ AD = =0 0ρ A V ρ V0A0D0AρL0A0soit :0A0 0DΓ AD =(2.42)V LD νOn remarquera que Γ AD peut s’écrire aussi : Γ AD = , où le dernier0 0ν V Lgroupement est égal à 1/Re. Quant au premier groupement, nous le retrouverons au § 2.5.1.sous le patronyme de nombre de Schmidt Sc :0νSc = (2.43)D0AL’expression courante du critère de similitude Γ AD est finalement :Γ 1AD = Sc Re(2.44)0A00♥Avec référence aux gradients de concentrationDans le second cas, on choisira pourd’une paroi :0SAq = q densité de flux à la paroiAp0q SA une densité de flux de référence au niveauSelon (2.5) le critère de similitude, qui sera noté Γ Ap pour le distinguer du précédent,s’écrira cette fois-ci :q ApΓ Ap = (2.45)0 0ρ A VPour la formulation courante de ce paramètre, le lecteur voudra bien se reporter auparagraphe 2.5.3.1.

♠S’il n’y a pas de vitesse expérimentale de référenceCette situation, déjà envisagée au § 2.4.3.4., concerne ici la convection libre massique.Elle est analysée dans le chapitre 7 de PTC.2.4.4.3. – ECRITURE ADIMENSIONNELLE DU BILAN DE MASSELa transposition de l’équation générale (2.6) au bilan de masse peut maintenants’écrire :- avec référence aux concentrations :+++ 1+div(ρ A V ) = Γ IA qIA− div grad ρ A(2.46a)Sc Re- avec référence aux flux de masse :div(+A+++= Γ IA qIA− Γ Ap div qSAρ V )(2.46b)où+q =SAqSA/ qAp2.4.5. - Les critères de similitude relatifs aux sources d’énergie2.4.5.1. – GRANDEURS ET RELATIONS DE BASEComme on l’a expliqué au chapitre 1, le bilan d’enthalpie est beaucoup plus commodeà utiliser que le bilan d’énergie. Pour établir les différents critères de similitude relatifs auxsources d’énergie, nous utiliserons donc la formulation enthalpique (1.52) en régimepermanent :div( ρ hV ) P + Φ + V .grad p + div ( λ grad T ) − divϕr= (2.47a)dans laquelle les sources de volume sont P, Φ,diffusion) étant représentées par ( grad T )V .grad p, les sources de surface (flux dediv λ et divϕ r .Notons bien préalablement que les conclusions seraient identiques en partant de laforme (1.51) qui fait intervenir l’énergie interne e, puisque e et h ont la même dimension.Nous avons donc ici :C = ρ h ; C° = ρ° h°C + = ρ + h + avec h + = h / h° (2.47b)Pour la grandeur de référence h 0 , comme l’enthalpie est liée à la température, on posetout naturellement :00ph = C T soit :0C000p0= ρ C T(2.47c)

0En principe, C p est une chaleur massique de référence, évaluée dans des conditions detempérature et de pression à préciser. Mais dans la majorité des cas, ce paramètre peut êtreconsidéré comme constant :0 +C p = C ; C = 1ppQuant à la température de référence, c’est en pratique un écart de température0caractéristique ∆ T , dans la mesure où C 0 ne représente pas une enthalpie totale, mais unedifférence entre deux états.Voyons maintenant quels nouveaux critères Γadimensionnelle de bilan.vont apparaître dans l’équation2.4.5.2. – SIMILITUDE VIS-A-VIS DES SOURCES VOLUMIQUES♣Critère relatif à la puissance thermique PLorsqu’il existe, au sein du fluide, une source volumique de chaleur P = P(x, y, z, t)(dans les écoulements réactifs par exemple), on doit choisir pour celle-ci une valeur deréférence P 0 . Alors :I0Iq = P ; q = P0Le critère de similitude (2.5) relatif à une source de volume est, rappelons-le :0I0q LΓ I =0C Vsoit ici, en le notant Γ P :0p00P LΓ P = (2.48)0 0 0ρ C ∆TVCe terme peu employé est resté dans l’anonymat.♦Critère relatif à l’énergie de pressionDans l’équation (1.52), la source de volume correspondante est :q I = V .grad pdont la valeur de référence doit s’écrire :avec00 0 pq I = V(2.49a)0Lp0002= ρ (V ) , conformément à la convention usuelle (2.13a).Le nombre Γ ep relatif à cette source est le nombre d’Eckert Ec :

0I0q LEc = Γ ep = =0 0C V ρ Cp002p1∆T0V0V00ρ (V(V )Ec = Γ ep =(2.49b)0C ∆TL00)2L0♥Critère relatif au terme de dissipationIl s’agit maintenant de la fonction de dissipation (1.42) : Φ = τ ∂V / ∂x.De même que pour le bilan de quantité de mouvement (§.2.4.3.3♦, coefficients Γ τ etΓ ν ), deux voies peuvent être empruntées ici pour exprimer le terme de source et sa valeur deréférence.I. – Ou bien on écrit simplement :∂Vq I ≈ τ∂xce qui oblige à prendre comme grandeur de référence :00 0 0 VqI= Φ = τ(2.50)0Lavec, comme dans (2.21) :0τ = τ (contrainte à la paroi).pLa condition de similitude s’exprime alors au moyen du nombre sans dimension :0 0qILΓ Φ τ = =0 0CV0ρ Cp1∆T0V0τpVL00L0ijijτ pΦ = (2.51a)0 0ρ C ∆TΓ τpIl se trouve que Γ Φτ est le produit de deux critères de similitude qui nous sont déjàconnus, à savoir le coefficient de frottement ½ C f et le nombre d’Eckert Ec (parag. précédent),si bien qu’il n’a jamais bénéficié d’une identité propre. On écrit simplement :1Γ Φ τ = C f Ec(2.51b)2II. – Ou bien on décompose Φ :∂V⎛i V Vi j ⎞⎜∂ ∂ ∂ViΦ = τ ij = µ + ⎟∂xj x j x⎝∂ ∂ i ⎠∂xjce qui conduit au choix d’une autre référence, de même forme que Φ :000 0 0 V Vq I = Φ = µ(2.52)0 0L L

et donc à un autre critère de similitude (néanmoins équivalent au précédent) :Γ Φ ν =0ρ Cp1∆T0V0µ0(V00( L))22L0p00ν VΦ = (2.53a)0 0C ∆TLΓ νDu côté de la terminologie, la situation est la même que pour le précédent critère. Onvérifie facilement que Γ Φν est le quotient du nombre d’Eckert Ec par le nombre de ReynoldsRe, et on se borne à écrire :EcΓ Φν =(2.53b)Re2.4.5.3. – SIMILITUDE VIS-A-VIS DES SOURCES SURFACIQUESOn se souvient que dans l’équation d’énergie les sources de surface sont constituéespar la diffusion thermique et le terme de rayonnement.♣Critère relatif à la diffusion thermiqueLe terme source est la densité de flux de chaleur ϕ (W. m - 2 ).q S= ϕ = − λ grad TUne fois de plus, nous nous trouvons devant une alternative : mettre l’accent sur leflux thermique ou sur le champ de température.I. – Avec référence au flux de chaleurDans la première éventualité, on est amené à choisir un flux de référence,habituellement sur une paroi, d’où la notation : ϕ p0qSq= ϕ , flux thermique à la paroip+S = ϕ /ϕpOn obtient immédiatement le critère correspondant,Γ ϕ= q0S/ C0V0(2.54), qui est lenombre de Stanton St , autrefois appelé dans la littérature francophone nombre de Margoulis :Stϕ p= Γ ϕ =(2.55)0 0 0ρ C ∆TVpII. – Avec référence au champ de températureDans la seconde éventualité, on décompose l’expression de(2.41b) :0q S , comme dans (2.25) ou

q S= − λ grad T00 0 ∆TqS= λ(2.56)0L0Le paramètre λ est une conductivité thermique de référence, évaluée dans desconditions conventionnelles.Le critère de similitude s’écrit donc cette fois-ci :0qS0Γ a = =0 0C V ρ Cp0p1∆T00V00λ ∆TL00λ aΓ a = =(2.57a)ρ0 O 0 0 0C V L V L0a désignant la diffusivité thermique du fluide dans les conditions de référence. On reconnaîtdans Γ a l’inverse du nombre de Péclet Pe, d’où :a001 V LPe = =(2.57b)Γ0aCe nombre de Péclet est donc représentatif de la similitude. Cela nous rappellequelque chose : le nombre de Reynolds Re (voir 2.26b), qui est lui aussi l’inverse du critère desimilitude Γ ν .♦Critère relatif au terme de rayonnementDans un milieu gris semi-transparent, isotrope et homogène, si le transfert de chaleuro oest gouverné par deux températures de référence T 1 et T 2 , la référence du terme radiatif peuts’approcher par :qo 4 o 4{(T) − (T }o o 2S = r = n σ 1 2 )ϕ (W/m 2 ) (2.58)où n est l’indice de réfraction du milieu (sans dimension), et σ la constante de Stefan-Boltzmann (W / m 2 .K 4 ).Le critère de similitude correspondant Γ r est alors :o2o 4 o 4{(T) − (T ) }q n σ 1 2Γr= =(2.59a)o oo o oC V ρ C ∆TV0o1o2poù ∆ T = T − TLorsque l’écart des températures n’est pas trop grand, on peut adopter l’approximationlinéaire :o 4 o 4 o 3( T1 ) − (T2) ≈ 4 ∆TTmo om = (T1+ T2) / .avec T2

Ceci donne une expression simplifiée du critère de similitude :2p3mo4 n σ TΓ r = (2.59b)oρ C V2.4.5.4. – CAS OÙ IL N’Y A PAS DE V 0 EXPÉRIMENTALEn convection libre, on retrouve le problème déjà soulevé avec l’équation de quantitéde mouvement (§ 2.4.3.4), la seule vitesse expérimentale que l’on puisse prendre pourréférence, celle du fluide loin des parois, étant nulle.Nous avons vu que la difficulté était tournée en choisissant :V0= ( g β ∆T0L0)1/ 2Les termes Φ et V .grad p sont habituellement négligeables en convection libre. Lessources concernées sont donc :♣La puissance thermique PLe critère Γ P devient :p00 2( L ) 1/( )3 / 2PΓ Pl = (2.60)01/ 2 0ρ C ( g β ) ∆T♦La diffusion thermiqueLe critère Γ a = 1/Pe = a 0 /V 0 L 0 est remplacé par :al0 2 0 3 / 2( g β ∆T) 1/( L )0aΓ = (2.61a)Ce nombre sans dimension n’est pas utilisé. On rencontre parfois l’inverse de soncarré (qui est donc également un critère de similitude) sous l’appellation de nombre deBoussinesq Bo :020 2al ( a )031 g β ∆T( L )Bo = =(2.61b)ΓQuant au nombre de Stanton, il se transforme en :ϕ pΓ ϕ l = (2.62)00 1 / 2 0 3 / 2ρ C ( g β L ) ( ∆T)presté lui aussi inconnu et anonyme. Appelons-le nombre de Stanton modifié St*.♥Le rayonnementLes écarts de température étant relativement faibles en convection libre, on peut partirde la forme linéarisée (2.59b) du critère de similitude Γ r , qui devient donc ici :

p23mo4 n σ TΓ rl = (2.63)oo 1/ 2ρ C ( g β ∆TL )2.4.5.5. – ÉCRITURE ADIMENSIONNELLE DE L’ÉQUATION D’ÉNERGIE1. – Base de départTout d’abord, dans le bilan d’énergie, le terme de transport se décompose ainsi :div( ρ hV ) = h div ρV+ ρVgrad hEn régime permanent : div ρ V = 0 . Sachant que h = ρ C p T, l’équation (2.47a) seréduit à :p( grad T ) div qrρ C V .grad T = P + Φ + V .grad p + div λ +(2.64)Compte tenu des différents coefficients qui viennent d’être définis, et en adoptant desréférences au champ de température, la transposition adimensionnelle de (2.64) aura la formegénérale :V+.grad T+= ΓP( ou Γ+ Γ ( ou Γavec bien entendu T + = T /∆T 0 ,aPl) Pal+)div+ ΓΦνΦ++ Γep+ ++( λ grad T ) − Γ ( ouΓ)divϕ+ 0P = P / PVr+.grad prl+r(2.65), Φ + = Φ /Φ 0 (Φ 0 donnée par 2.52) et+0ϕ r = ϕ r / ϕ .Compte tenu de la terminologie en usage pour les nombres sans dimension, nousdonnons ci-dessous les écritures habituellement rencontrées dans la littérature.2. – Formulation habituelle avec référence au champ de température♣Convection mixte ou forcée++ + Ec +V .grad T = Γ P P + Φ +Re1 + +++ div( λ grad T ) − ΓrdivϕrPeEc V+.gradp+(2.66)♦Convection libre+++ 1 + ++V .grad T = Γ Pl P + div( λ grad T ) − Γ1/ 2rl divϕr(2.67)Bo3. – Avec référence au gradient de températureoù1 + +Le terme de diffusion de la chaleur div ( grad T )+ϕ = ϕ / ϕ p(§ 2.4.5.3 ♣).Peλ est remplacé par+St divϕ ,

2.4.6. – Le critère de similitude relatif à l’équation d’état du fluideL’équation d’état du fluide n’est évidemment pas une relation de bilan ; il s’agit d’uneloi phénoménologique de comportement. Mais comme elle est appelée dans certains cas àintervenir en complément aux bilans, il n’est pas inutile de la mettre également sous formeréduite, de manière à voir comment elle s’adapte aux exigences de la similitude.Nous ne considérons que le cas où l’équation d’état est celle du gaz parfait :p/ρ = rT(2.68a)En variables réduites, cela donne :0 +p p 0 += rT T0 +ρ ρoù la grandeur :+0(2.68b)T = T / T(2.68c)est ici un rapport de deux températures absolues, à ne pas confondre avec un écart relatif ∆T +comme dans (2.34a) (voir aussi § 2.4.5.1).Pour que la variable p + soit la même que dans les équations de bilans, il faut prendre lamême pression de référence (2.13a), c’est-à-dire :0p = ρ (V )d’où l’on tire de (2.68b):0+0022p (V )T+ = (2.68c)ρ+ 0rTOn voit donc apparaître un nouveau nombre sans dimension que nous noterons Γ et :0 2(V )Γ et =(2.69)0rTet l’équation d’état s’écrit sous forme adimensionnelle :++ pT = Γet (2.70)+ρVisiblement, on est en droit de considérer Γ et comme un critère de similitude relatif aucomportement thermodynamique du fluide en écoulement : dans deux expériencescaractérisées par une même valeur de ce paramètre Γ et , les solutions de l’équation d’étatadimensionnée seront les mêmes.Cependant, le critère de similitude Γ et (2.69) n’est pas utilisé sous cette forme. Onécrit en effet :o( V )2γΓ et =oγ rToù γ est le coefficient de la loi isentropique pour le gaz considéré : γ = C p / C v . Sachant que lacélérité du son dans un fluide à température T° a pour valeur :coo= γ rT(2.71)

on peut donc exprimer Γ et sous la forme :2⎛ oV ⎞Γ ⎟et = γ ⎜oc⎝ ⎠Le rapport V°/c° est appelé nombre de Mach M, et l’on a :d’où :VM =cetoo⎛ Γet⎞= ⎜ ⎟⎝ γ ⎠21/ 2(2.72a)Γ = γ M(2.72b)Enfin, il va de soi – mais cela va encore mieux en le disant – que l’usage de l’équationd’état est incompatible avec l’hypothèse d’écoulement ou de fluide isochore.2.4.7. – Bilans d’entropie et d’exergieEn ce qui concerne la question – moins classique – des critères de similitude relatifsaux sources d’entropie et d’exergie, elle fait l’objet d’un paragraphe en annexe 2.A.3.2.5. – PARAMÈTRES DE COUPLAGE ET AUTRES NOMBRES SANS DIMENSION2.5.1. – Couplage entre des sources ne relevant pas des mêmes bilansLes sources de masse, de quantité de mouvement et d’énergie qui interviennent dansles relations de bilans ne sont pas forcément indépendantes les unes des autres, car chacun desfluides dont nous disposons, qu’il soit naturel ou artificiel, possède des propriétés mécaniqueset thermiques bien spécifiques. Il se trouve que la similitude est un outil extrêmementintéressant pour mettre leurs couplages en évidence, puisqu’ils se traduisent alors par desrelations de dépendance entre certains coefficients Γ, d’où va émerger une nouvelle famille denombres sans dimension, les paramètres de couplage.L’examen des critères de similitude relatifs aux différentes sources recensées et à la loid’état (cf. tableau 4 en annexe) fait apparaître les paramètres de couplage les plus importants.2.5.1.1. – COUPLAGE ENTRE TENSION VISQUEUSE ET DIFFUSION DE MATIÈRECes deux sources jouent le même rôle dans les équations (2.46a) et (2.31). Les critèresde similitude Γ concernés sont :oAo ooDνΓ AD = (2.42) et Γ ν = (2.26)o oV LV LOn observe que le rapport Γ ν /Γ AD ne dépend que des propriétés du fluide dans lesconditions de référence considérées. C’est le nombre de Schmidt Sc, déjà introduit dans lesformules (2.43) et (2.44) :

ADoΓ ν ν= ScΓ=(2.73)DoA2.5.1.2. – COUPLAGE ENTRE DIFFUSION THERMIQUE ET DIFFUSION DE MATIÈREC’est maintenant dans les équations (2.46a) et (2.65) que ces deux sources jouent lemême rôle. Les conditions de similitude s’expriment ici au moyen des coefficients :oAo ooDaΓ AD = (2.42) et Γ a = (2.57)o oV LV LOn découvre alors un autre paramètre de couplage, lui aussi caractéristique du fluidedans les conditions de référence, appelé nombre de Lewis Le :ΓaLe = = ΓADaDooA(2.74)2.5.1.3. – COUPLAGE ENTRE TENSION VISQUEUSE ET DIFFUSION THERMIQUEIl existe enfin un troisième terme de couplage, analogue aux deux précédents, qui relieles propriétés diffusives du fluide vis-à-vis de la quantité de mouvement et de la chaleur. Ilconcerne Γ ν (= 1/Re) et Γ a ( = 1/Pe). On le dénomme nombre de Prandtl et on le note : Pr.soit :Γ PePr = ν=(2.75a)Γ ReaoνPr = (2.75b)oaDe ce fait, on écrit souvent le nombre de Péclet sous la forme :Pe = Re Pr (2.76)On notera que la situation est la même en convection libre, où le rapport desparamètres Γ ν l (2.29) et Γ al (2.61) est aussi égal à ν °/ a°.Enfin, les trois nombres Sc, Le et Pr sont liés par la relation :Sc = Le Pr (2.77)2.5.1.4. – COUPLAGE ENTRE TENSION VISQUEUSE ET DISSIPATION VISQUEUSENous avons laissé cet exemple pour la fin car il présente un caractère différent desprécédents. Les critères Γ impliqués sont ici Γ Φν et Γ ν (2.53, 2.26) (ou Γ Φτ et Γ τ ), présentsdans les équations (2.31) et (2.65) :

Γo oν VΦ ν =, Γo o ν =C p ∆TLVEcrivons leur rapport. On retrouve le nombre d’Eckert (2.49b) :νooLoΓΦνΓν(V )= = ΓoC ∆Tpo2ep=Ec(2.78)On constate donc que le rapport de Γ Φν à Γ ν n’est autre que le critère de similitudeΓ ep relatif à l’énergie de pression. Nous avons affaire ici à un nombre sans dimension qui està la fois un critère de similitude et un paramètre de couplage, mais qui n’est pascaractéristique du fluide utilisé.Bien évidemment, on aboutit à la même conclusion en comparant Γ Φτ et Γ τ (2.51,2.22) :Γ Φτ / Γ τ = Γ ep = Ec (2.79)2.5.1.5. – REMARQUELes nombres de Schmidt, Lewis et Prandtl interviennent comme éléments decompatibilité entre certains critères de similitude, puisque ce sont des caractéristiques dufluide concerné. Concrètement, cela signifie que, lorsqu’on étudie un écoulement, on ne peutpas fixer arbitrairement deux critères comme Γ ν et Γ a si la nature du fluide est imposée : ilfaut aussi respecter la relation Γ ν / Γ a = Pr.D’autre part, comme on vient de le voir, ces trois nombres permettent de comparer lesaptitudes d’un fluide à diffuser la masse, la quantité de mouvement ou la chaleur. Les valeursnumériques de Sc, Le, Pr et leurs conséquences physiques sur les transferts sont présentées etdiscutées dans PTC.2.5.2. – Comparaison entre sources dans un même bilan2.5.2.1. – RETOUR SUR LE SENS DES CRITÈRES DE SIMILITUDERevenons sur la définition (2.5) des critères de similitude et sur le raisonnement qui l’aprécédée. En dehors de leur signification vis-à-vis de la similitude, leur contenu physique estclair :flux de référence de la sourceΓ =(2.80a)flux de référence transporté par le fluideUne illustration très parlante nous en est donnée par le nombre de Stanton (2.55):ϕ p flux de chaleur à la paroiSt = Γ ϕ ==(2.80b)0 0 0ρ C ∆TV flux de chaleur transportép

Intéressons-nous à deux sources 1 et 2 dans un même bilan, et aux critères desimilitude associés, Γ 1 et Γ 2 . Le flux de référence transporté par le fluide est évidemment lemême pour les deux. On a donc :Γ 1 flux de référence de la source 1=(2.81)Γ flux de référence de la source 22Ainsi, le rapport Γ 1 /Γ 2 permet de comparer l’importance de deux sources : il indiquel’ordre de grandeur moyen de leur rapport. Si la source 1 est négligeable, Γ 1 / Γ2→ 0 ; sic’est la source 2 qui est négligeable, Γ 1 / Γ 2 → ∞ .Cette constatation élémentaire va maintenant être appliquée à quelques cas particuliers.2.5.2.2. – CONVECTION MIXTE : FORCES DE FLOTTABILITÉ ET FORCES DE VISCOSITÉEn convection mixte (équation 2.34b), les critères relatifs aux forces de flottabilité etde viscosité sont respectivement :1Γ β = Ri ; Γν=ReLeur rapport est le coefficient de poussée thermique RiRe :Γβ= Ri Re(2.82)ΓνEn convection forcée, Ri Re → 0 , et en convection naturelle Ri Re → ∞ : ce ne sontque des cas limites de la convection mixte. Cependant, un choix conventionnel mais judicieuxde valeurs de RiRe peut permettre de fixer des seuils entre convection forcée dominante,convection mixte et convection naturelle dominante, ce qui revêt une certaine importancepratique.2.5.2.3. – CONVECTION MIXTE OU FORCÉE : DISSIPATION VISQUEUSE ET FLUX DE CHALEURLes sources appartiennent maintenant au bilan d’énergie (2.66), et les critères Γconcernés sont :Γ Ec 1Φ ν = ;ReΓ a = PeSachant que le rapport Pe/Re est le nombre de Prandtl (2.75), il vient :Γ νΦ= Pr Ec(2.83)ΓaLe groupement PrEc est parfois appelé nombre de Brinkman Br. Il est nul quand ladissipation visqueuse est négligeable.2.5.2.4. – MILIEUX SEMI-TRANSPARENTS : DIFFUSION THERMIQUE ET RAYONNEMENTUne comparaison est également possible entre le flux radiatif et le flux conductif,représentés par les critères de similitude Γ r (2.59) et Γ a = 1/Pe (2.57).

Dans le cas linéarisé :ΓΓar=1Pe Γr=oρ Cλp0VoLoρoC p24 nVσ To3moΓ a λ =2 3 o(2.84)Γr4 n σ TmLL’expression ci-dessus est valable aussi bien en convection forcée ou mixte qu’enconvection naturelle puisque la vitesse de référence V° n’y figure pas.En outre, si l’on considère que la longueur de référence L° de l’écoulement est égale à1/K (K : coefficient d’absorption du milieu, de dimension m – 1 ), on retrouve le nombre deStark :o23mK λ / 4 n σ T .2.5.3. – Autres nombres sans dimension usuelsIl doit être bien évident que les différents concepts mis en œuvre en thermique ne sesont pas toujours dégagés d’une façon linéaire et cohérente (comme dans beaucoup d’autresdisciplines), si bien que l’Histoire nous a légué des nombres sans dimension souventdifférents des critères de similitude définis par les coefficients Γ. Pire encore, certains d’entreeux ne sont pas du tout des critères de similitude ! Voici les plus utilisés.2.5.3.1. – DIFFUSION MASSIQUE : RÉFÉRENCE AUX GRADIENTS DE CONCENTRATIONNous avons signalé dans plusieurs précédents paragraphes (en particulier 2.4.3.3.♦)que certains critères de similitude peuvent être construits à partir de valeurs de référenceprises soit dans le champ scalaire, soit dans le champ des gradients. C’est le cas en particulierpour la diffusion massique.oAIl se trouve que le critère Γ = q / ρ V (2.45) relatif à la diffusion massiqueApApn’est généralement pas utilisé sous cette forme (rappelons que q Ap est la densité de flux demasse à la paroi).En effet, on introduit un coefficient de convection massique à la paroi par la relation :oqAp= k ( ρ − ρ )(2.85)ApA∞dans laquelle :ρ Ap = masse volumique du constituant A à la paroiρ A∞ = masse volumique caractéristique de A loin de la paroiq Ap s’exprime en kg/m 2 .s, et k en m/s (homogène à une vitesse)On écrit alors les grandeurs adimensionnelles de l’équation de bilan (2.46b) enchoisissant comme valeur de référence pour ρ :oA = ρ Ap − ρ A∞ρ (2.86)de telle sorte que ce terme disparaisse dans Γ Ap , qui devient :

kΓ Ap =(2.87)oVMais traditionnellement, on présente Γ Ap de manière encore différente, en faisantapparaître un nouveau nombre sans dimension :ΓApk =o =VIl s’agit deooAok LoDAoLoAoDAo oVk L / D , appelé nombre de Sherwood Sh :k LSh = (2.88a)DCompte tenu de (2.44) qui définit le critère de similitude Γ AD par référence au champde concentration, le critère Γ Ap s’exprime donc en fonction de Sh, Sc et Re :Γ ShAp = Sc Re(2.88b)et l’on voit bien que Sh n’est pas un critère de similitude car c’est le groupement Sh/ScRe quijoue ce rôle.2.5.3.2. – DIFFUSION THERMIQUE : RÉFÉRENCE AU CHAMP DE TEMPÉRATUREIl est très commode d’exprimer le flux à la paroi ϕ p en introduisant un coefficient deconvection thermique h (appelé aussi coefficient d’échange), homogène à une conductancethermique (et donc à l’inverse d’une résistance), défini par l’expression :ϕ = h (T − T ) (W/m 2 .K) (2.89)pp∞où T p = température du fluide à la paroi,T ∞ = température caractéristique du fluide loin de la paroi.On choisit pour la définition des grandeurs adimensionnelles dans l’équation de bilanun écart de référence ∆T° qui permette d’éliminer la température du terme Γ ϕ , à savoir :o∆ T = T − T(2.90)p∞Dans ces conditions, on a :hSt = Γ ϕ =(2.91a)o oρ C VpUne coutume bien ancrée est de ne pas conserver St sous cette forme, mais de l’écrire :o oh L λSt = (2.91b)o o o oλ ρ C V Lpoù l’on reconnaît le nombre de Péclet (2.57b) :

o1 / Pe = λ / ρ C V L = aopooo/ VoLoainsi qu’un nouveau nombre sans dimension qui est le nombre de Nusselt Nu :oh LNu = (2.92a)oλLa décomposition (2.91b) de St s’écrit donc encore (cf. 2.76) :Nu = St Pe = St Re Pr(2.92b)et donc aussi (cf. 2.55, 2.57) :Nu =Γ ϕ /Γ a(2.92c)Autrement dit, Nu caractérise le rapport entre la « conductance convective » (h) et laconductance de référence du fluide (λ/L) (ou entre les résistances thermiques correspondantes,qui en sont les inverses).L’introduction du coefficient de convection h dans la théorie n’est pas une nécessitéabsolue, et ne fait que déplacer le problème en remplaçant le calcul de ϕ p par un calcul de h.En outre, h se révèle peu adapté aux régimes instationnaires. Cependant, son avantage est depermettre la définition d’une « résistance thermique de convection » 1/h qui s’additionne auxautres résistances thermiques lorsqu’il y a transfert de chaleur à travers une paroi. Enfin, cecoefficient h est tellement entré dans les mœurs qu’il est maintenant bien difficile de s’enpasser.♪♫ Il en va tout autrement du nombre de Nusselt, qui fait visiblement double emploi aveccelui de Stanton, et qui n’est pas un critère de similitude (au vu de 2.92c, c’est le rapport dedeux critères de similitude, ce qui n’est pas la même chose). Ainsi, deux écoulements à mêmenombre de Nusselt peuvent fort bien avoir des nombres de Stanton différents, c’est-à-dire nepas être en similitude vis-à-vis de la diffusion thermique. Il y a ici l’amorce d’uneidentification périlleuse entre nombre sans dimension et critère de similitude.L’emploi préférentiel du nombre de Nusselt par rapport au nombre de Stanton recèledonc quelques dangers, et, par sécurité, il vaudrait mieux l’éviter.2.5.3.3. – DIFFUSION THERMIQUE : CAS DE LA CONVECTION LIBREEn convection libre, où il n’y a plus de V° expérimental de référence (§ 2.4.5.4), on acoutume d’utiliser à la place du critère de similitude Γ al le nombre de Rayleigh Ra défini par :o o 3g β ∆T( L ) 1Ra = =(2.93a)o o2ν a ΓalPrde telle sorte que :−1 / 2Γ al = ( Ra Pr)(2.93b)La justification de cette définition réside dans le désir de conserver entre les nombresde Rayleigh et de Grashof, caractéristiques de la convection libre, la même relation decouplage qu’entre les nombres de Péclet et de Reynolds, qui leur correspondent en convectionmixte ou forcée, à savoir :Ra = Pr(2.93c)Grrelation que l’on retrouve aisément à partir de (2.29b) et (2.93a), et qui est analogue à (2.75a).

De même, à la place de Γ ϕ l (2.62), on se sert également du nombre de Nusselt, cesgrandeurs étant liées par la relation :NuΓ ϕ l = Nu Γal=(2.94)1/ 2( Ra Pr)avec toujours (cf. 2.92a) :Nu = hL°/λ°Il est bien clair que ni Ra, ni Nu ne sont des critères de similitude. Leur utilisation estévidemment sans conséquence si l’on veut simplement exprimer un flux adimensionné ; maisune similitude basée sur ces nombres peut se révéler biaisée, et il faut être extrêmementprudent à cet égard. Pour éviter toute ambiguïté, un emploi systématique de Γ ϕ a et Γ ϕ l seraitcertainement souhaitable.2.6. – SIMILITUDE ET ADIMENSIONNEMENT : LE BON USAGE2.6.1. – Les diverses significations des nombres sans dimension♣Au vu de ce qui précède, on peut regrouper les nombres sans dimension en troisclasses selon leur signification :- les critères de similitude- les paramètres de couplage, qui sont des caractéristiques thermophysiques des milieuxfluides- le vulgus pecum, où se retrouvent tous ceux qui n’appartiennent pas aux deux premièrescatégories.♦ Pour ce qui est des critères de similitude Γ, rappelons- leur sens premier (cf. 2.80a) :Γ =fluxflux de référence de la sourcede référence transporté par le fluideLes choses sont claires également pour les paramètres de couplage (Sc, Le, Pr), chacund’eux étant le rapport de deux coefficients de diffusion.♥On trouve pourtant d’autres interprétations dans la littérature.C’est que les nombres sans dimension sont un peu ce qu’on appelle dans le langagefamilier des auberges espagnoles, où le visiteur trouve ce qu’il apporte lui-même. En effet,n’importe quel nombre sans dimension peut être considéré comme le rapport de deuxlongueurs, ou de deux vitesses, ou de deux intervalles de temps, etc. selon le souhait dechacun. Ces diverses interprétations ne sont pas sans intérêt, car elles peuvent apporter unéclairage particulier sur tel ou tel aspect des choses, mais dans la théorie de la similitude ellesne jouent qu’un rôle marginal.

♠Voici quelques exemples d’interprétations multiples.1. – Le nombre de StrouhalC’est le critère de similitude temporelle (2.9b) :ooLS = Γ t = , qui s’écrit aussi :o ot VL 1 t'a) S = = , où t’ = L°/V° est le temps nécessaire à l’écoulement pouro o oV t tparcourir la longueur de référence.oL 1 V'b) S = =o o ot V V, où V’ = L°/t° est une vitesse caractéristique du phénomèneoLc) S = ,L'où L’ = t°V° représente le déplacement du fluide pendantle temps de référence t°.2. – Le nombre de ReynoldsC’est le critère de similitude (2.26) relatif aux forces de viscosité dans le bilan dequantité de mouvement.o L o1 VRe = =Γo ν νOn a le choix entre trois décompositions.ooV o La) Re = L = , où L’ = ν°/V° est une longueur caractéristique de laνoL'diffusion visqueuseooo L Vb) Re = V =oν V', où V’ = ν°/L° est une « vitesse de diffusion » de laquantité de mouvementoo 2oV L tc) Re = = , où t° et t’ sont respectivement le temps de parcours deo oL ν t'la distance L° par le fluide, et un « temps de diffusion visqueuse » sur la même distance.3. – Le nombre de RichardsonC’est le critère de similitude (2.17) relatif aux forces de flottabilité.o o og β ∆TLRi = Γ β =o 2(V )On a encore le choix entre trois décompositions.o o og β ∆To La) Ri =L = , où L’ est homogène à une longueuro 2(V ) L'2(V' )b) Ri = , où V’ est homogène à une vitesseo 2(V )

g β ∆TLc) Ri =oV Vétant homogène à un temps.oooo=ott', où t° est le temps de parcours de L° par le fluide, t’♪♫ On touche ici les limites de la méthode, car la signification physique de L’, V’ et t’dans la décomposition de Ri n’est pas vraiment évidente. Attention donc à ne pas tropsystématiser ce genre d’analyse.2.6.2. – Intérêt de la similitudeL’intérêt majeur de la similitude est qu’elle permet de s’affranchir de certainescontraintes expérimentales, et de faciliter la comparaison entre des résultats d’expériencesobtenus dans des conditions différentes. En effet, la similitude complète de deux modèlesexpérimentaux peut être en principe assurée pourvu que chaque critère Γ ait la même valeurdans les deux modèles.Simultanément, cette méthode facilite également le traitement de phénomènesphysiques complexes, en diminuant le nombre de paramètres mis en jeu et en associant unnombre sans dimension à chaque terme de source dans les équations de bilans.Corrélativement, elle permet de remplacer dans certains cas les équations de bilans par desrelations phénoménologiques, plus simples, entre certains paramètres sans dimension. Parexemple, on peut établir des lois de la forme : St = f(Re, Pr) pour le transfert de chaleur entreune paroi et un fluide.2.6.3. – Similitude partielle et ordres de grandeurIl faut pourtant éviter de parer la similitude de toutes les vertus. En particulier, onprendra bien garde au fait qu’il est habituellement impossible de satisfaire simultanémenttoutes les conditions de similitude. Il est donc important de savoir estimer les ordres degrandeur des différentes sources, pour limiter la similitude à une (ou exceptionnellement deux)source dominante. C’est ce qu’on appelle respecter une similitude partielle, et c’est ladémarche qui a d’ailleurs été suivie, sans le dire, pour établir les critères de similitude relatifsaux forces de volume (§ 2.3.4.2).Quant à cette estimation des ordres de grandeur, qui conditionne la validité d’unesimilitude partielle, elle peut s’appuyer soit sur des données expérimentales, soit sur unerésolution préalable des équations écrites avec des grandeurs dimensionnées, seules à mêmede donner des informations indiscutables (voir ci-dessous).2.6.4. – Mises en gardeCaressez un cercle, il deviendra vicieux.EUGÈNE IONESCOEn fin de compte, une certaine distanciation paraît nécessaire vis-à-vis de la similitude(et plus encore vis-à-vis d’un adimensionnement trop systématique), car un usage mal

maîtrisé des nombres sans dimension recèle des risques et peut conduire à des dérivesdommageables.♣De ce qui précède, il ressort d’abord une évidence : tous les critères de similitude sontdes nombres sans dimension, mais tous les nombres sans dimension ne sont pas des critèresde similitude. C’est donc une erreur (déjà signalée § 2.5.3.3) d’asseoir une similitude sur lesnombres de Nusselt ou de Rayleigh par exemple.♦D’autre part, les données expérimentales ou numériques sont souvent présentées sousla forme de relations entre plusieurs nombres sans dimension N j , du type :N 1 = f(N 2 , N 3 ,…)La question légitime qui surgit alors est celle-ci: Peut-on dire qu’une telle relationexprime une loi physique ?Sans verser dans la philosophie des sciences, on doit bien reconnaître que cetteinterrogation est d’une fausse simplicité, et que la réponse est, selon les points de vue : « oui »,« oui si », « oui mais », « non »… !!- oui, a priori, dans l’espace des grandeurs adimensionnées E + (x + , y + ,…C + ). Le problème estque personne ne vit dans un tel espace, surtout pas l’ingénieur, qui doit travailler dansl’espace physique E(x, y,…C) avec des mètres, des joules, des secondes…- oui si la loi N 1 = f(N 2 , N 3 …) relie des paramètres indépendants, c'est-à-dire si les N j sontdes vecteurs propres de l’espace E + , ce qui n’est généralement pas le cas. Ainsi, dans unerelation comme St = f(Ri, Re, Pr), plusieurs grandeurs physiques (la vitesse, la viscosité…)figurent simultanément dans deux ou trois des nombres sans dimension concernés. Si bien quefaire varier l’un d’eux indépendamment des autres est une opération qui laisse un peuperplexe, même si le résultat est ensuite d’une apparence plaisante.- non, a priori dans l’espace physique réel. Il n’y a aucune raison pour qu’un processusconserve sa représentation en passant de l’espace E + à l’espace E. D’ailleurs, on a parfois dessurprises quand on revient aux relations entre grandeurs dimensionnées.♥Une autre catégorie d’interprétations incorrectes provient de la combinaison, dans lamême formule, de grandeurs adimensionnées avec d’autres qui ne le sont pas, si desparamètres communs prennent place à la fois dans les unes et dans les autres. Ce mélangeconduit alors à des apparences fallacieuses (cf. Ch. 4 et 7).♠Pour conclure sur une recommandation, disons qu’il y a un certain danger à se reposersur un usage trop exclusif des nombres sans dimension, qui risque de masquer la réalitéphysique et la nature des mécanismes mis en jeu – usage qui risque aussi de faire perdre devue la notion d’échelle des phénomènes.Dans n’importe quelle étude, il est donc recommandé de s’extraire le plus tôt possibledu monde sans dimension pour revenir sur terre avec les grandeurs physiques habituelles, cequi est de toute façon indispensable pour conclure le travail.

ANNEXES AU CHAPITRE 22.A.1. – TABLEAUX RÉCAPITULATIFS DES TERMES DE SOURCES ET DESNOMBRES SANS DIMENSIONRappelsÉquation générale de bilan adimensionnée+∑∑∂C++++Γ t + div C V = Γ −+In qInΓ Sm div qSm(2.6)∂tavec : sources volumiques numérotées nsources surfaciques numérotées mle symbole + désigne une grandeur adimensionnéenmCritères de similitudeLe symbole ° désigne une grandeur de référenceoL⎫Γt= relatif au tempso o⎪t V⎪o oq⎪In LΓ In =relatif à la source volumique no o⎬C V⎪oq⎪SmΓSm= relatif à la source surfacique m⎪o oC V⎪⎭(2.5)Tableaux 1 à 3 : voir à la fin (format horizontal « paysage »)Tension visqueuse / diffusion de matière Nombre de Schmidt :Diffusion thermique / diffusion de matière Nombre de Lewis :Tension visqueuse / diffusion thermique Nombre de Prandtl :Tension visqueuse / dissipation visqueuse Nombre d’Eckert :Tableau 4. – Paramètres de couplageoνSc =DLe =PraDν=aoAooAooΓν=ΓADΓa=ΓADΓν=ΓEc = Γ dv =aΓΦνΓν

2.A.2 – SUR L’ANALYSE DIMENSIONNELLE ET L’ANALYSE D’ÉCHELLEAu sein d’une même foi, une coutumedifférente ne nuit pas à la sainte église.Lettre du pape Grégoire le Grand àl’évêque Léandre de Séville (fin duVIème siècle)Outre la méthode des critères de similitude, il existe deux autres cadres logiques pourélaborer des nombres sans dimension : l’analyse dimensionnelle et l’analyse d’échelle.♣L’analyse dimensionnelle est une approche mathématique du problème, basée sur lethéorème de Vaschy-Buckingham, qui vise à établir une méthode systématique pour produiredes combinaisons adimensionnelles non redondantes.Elle a eu son heure de gloire au milieu du 20 ème siècle, grâce en particulier auxphysiciens soviétiques comme Lev Landau ou Leonid Sedov. Mais sa capacité opérationnelleest relativement limitée. D’une part, on peut souvent retrouver ses conclusions par le biaisd’une approche phénoménologique. Mais surtout, elle ne donne de renseignements ni sur laforme des lois, ni sur les ordres de grandeur relatifs des différents termes : elle n’est doncguère utile pour établir les conditions d’une similitude partielle, opération essentielle àl’ingénieur. Enfin, son apport à l’interprétation physique des phénomènes est modeste : elle nepermet pas, par exemple, d’introduire le concept de « critère de similitude relatif à une sourcedonnée », ou encore d’éclairer la différence de contenu sémantique entre le nombre deReynolds et le coefficient de frottement. Son intervention ne s’impose en fait que dans des castrès spécifiques, qui sortent du cadre de cet ouvrage.♦Totalement différente dans son esprit, l’analyse d’échelle est une approched’ingénieur. Mise en forme tout particulièrement par A. Béjan, elle a pour objet d’établir lesordres de grandeur des différents termes dans les équations de bilans, ce qui donne naissance,par un jeu de comparaisons, aux principaux nombres sans dimension classiques. Elle permetaussi de caractériser les paramètres de couplage entre sources (Pr, Le, Sc).La méthode des critères de similitude, amorcée par A. Léontiev, et systématisée dansle présent chapitre, réunit les points positifs des deux techniques précédentes, mais elle va uncran plus loin, en spécifiant sans ambiguïté les nombres sans dimension qui sont des critèresde similitude, et en éclairant les rapports entre sources, y compris au sein d’un même bilan.2.A.3. – CRITÈRES DE SIMILITUDE RELATIFS AUX BILANS D’ENTROPIE ETD’EXERGIE♣Nous avons montré dans le paragraphe 2.3 qu’un ensemble de critères de similitude estassocié à chaque relation de bilan. Qu’en est-il avec le bilan d’entropie ?

Il faut tout d’abord convenir de la référence s° (entropie massique), que l’on peutlogiquement écrire comme le quotient d’une énergie interne (ou d’une enthalpie) par unetempérature absolue T° :o hs =oTsoit, d’après (2.47c) :oooC p ∆Tρ Coo o o p ∆Ts = ; C = ρ s =ooTTd’où l’entropie adimensionnelle :+ ss =osAppliquons ceci à un bilan d’entropie (1.74) abrégé, dans lequel on ne conserve que ladissipation et la diffusion thermique :Φ λ2 ⎛ λ ⎞div( ρ sV ) = + ( grad T ) + div ⎜ grad T ⎟T2T⎝ T ⎠- Critère de similitude relatif à la dissipation (source volumique)oLa référence q I est ici, d’après (2.52 :ooo Φ 1 o⎛V⎞qI= = µ ⎜ ⎟o o oT TL⎝ ⎠Le critère de similitude est donné par (2.5) :oIooq L µ VΓ I = =o oC V ρ C ∆Tpoo2oLosoit, en revenant à (2.53) :EcΓ I = Γ Φ ν =ReCe critère de similitude est donc le même que dans le bilan d’enthalpie- Critère de similitude relatif à la production d’entropie par conduction thermique (sourcevolumique)Le terme concerné est : λ ( grad T ) / T , d’où la référence :o oo λ ⎛ T ⎞q ⎜∆I =⎟o 2 o(T )L⎝ ⎠Appelons Γ λ s le critère correspondant :oIoq L ∆TΓ λ s = =oC V Toooo2oρ CλpoVoLo2∆T1Γ λ s =oT PeNous sommes ici en présence d’un nouveau critère de similitude, qui combine lenombre de Péclet avec un niveau relatif de température. Ceci est important car la productiond’entropie due à la conduction thermique est souvent dominante par rapport aux autressources.2o

- Critère de similitude relatif au flux d’entropie (source surfacique)⎛ λ ⎞Il s’agit maintenant du terme : div⎜grad T ⎟ = − div qS, dont la référence est :⎝ T ⎠qoSoλ=oT∆TLooLe critère de similitude pour une source surfacique est de la forme : Γ S = qS/ C V .Après simplification, il reste :Γ Soλ 1= =ρo o oC V L Pe+T = T / ∆Til vient :V+♦.grad spCe critère est le même que pour le flux de chaleur dans le bilan d’enthalpie.Dans l’équation adimensionnée d’entropie, il est naturel de conserver la température+o(voir 2.34a et 2.65). Sachant que+Ec Φ=Re+T⎛⎜∆T+⎝ Too1Pe⎞ +⎟λ+⎠ T2div ( ρ sV ) = V .grad s du fait que div V = 0 ,( )⎟ ⎞⎜ ⎛ ++2++1 λgrad T div grad TPe+⎝ T ⎠Les conclusions sont analogues quand on passe au bilan d’exergie. Mais là, leraisonnement est un peu plus délicat, et on obtient absolument n’importe quoi si on nes’astreint pas à une démarche rigoureuse et cohérente.1. Maintenant, donc, nous avons :oooC = ρ ex = ρ (h - T e s)(relation 1.78a)où T e est la température absolue à l’extérieur du système.La première chose à faire est d’établir la valeur de référence C°, en n’oubliant pas quel’on doit pouvoir écrire :+ CC =oCC + étant la grandeur C adimensionnée. Détaillons le calcul :o + o + o + o + o +C = C C = ρ ρ ( h h − ∆TTesd’où, après ce qui a été dit au bilan d’entropie :o + o + o + +pTeC p sC = ρ ρ ( C ∆Th − ∆To o + + + +p− TesC = ρ C ∆T. ρ ( hOn voit dans cette dernière expression apparaitreest donc naturel d’adopter pour C° :Coo= ρ Cp∆Toc’est-à-dire la même référence que pour l’enthalpie.)s))+++C = ρ ( h − Te s ) = ρ ex++++. Il

2. Les sources d’exergie sont répertoriées dans l’équation (1.78b). Prenons pour commencerla source volumique :⎛ Te⎞qI = Φ ⎜1− ⎟⎝ T ⎠De même que précédemment, on doit avoir :qet aussi :.o +I = qIqIoo + o +++ ∆TT − ∆TTeo + T −= Φ Φo ++qI= Φ Φ∆TTTIl est logique de prendre, comme dans (2.52) :2oo o o⎛V⎞qI= Φ = µ ⎜ ⎟oL⎝ ⎠Le critère de similitude correspondant s’écrit :qΓ =CΓoIoLVoooo⎛V= µ ⎜o⎝ L⎞⎟⎠o oν V= = Γo o Φ νC p ∆TL2oρ C=EcRepLo∆ToVOn retrouve le même critère de similitude que dans les bilans d’énergie et d’entropie,relativement à la dissipation Φ.3. Une autre source volumique d’exergie, à savoirchaleur conductif. Dans ce cas :qoIoo T ⎛e T ⎞⎜∆= λ ⎟ eto2 oTL⎝ ⎠Alors, en remplaçant∆TΓ I =ToTeo2oρ Cλpo2oIq et C° :VoLooΓI=T+eTλTqCoIoe2LVoo( grad T )2, est due au flux deLe choix de T e comme température de référence T° semble naturel : T e = T°. Celadonne, après simplification :o oo∆Tλ ∆T1Γ I == = Γo o o o oλ sT ρ C V L T PepPour la même nature de source, le critère de similitude est le même que dans le biland’entropie (§ ♣ précédent).⎧ ⎛ Te⎞ ⎫4. Avec le flux d’exergie (source surfacique) div ⎨λ⎜1− ⎟ grad T ⎬ , on retombe sur un⎩ ⎝ T ⎠ ⎭critère de similitude égal à 1/Pe (le lecteur fera le calcul lui-même).

♥En conclusion, pour les sources communes (dissipation, flux surfacique), les critèresde similitude sont les mêmes avec l’entropie ou l’exergie qu’avec l’enthalpie. Pour les sourcesspécifiques aux bilans d’entropie et d’exergie (dues au flux conductif), le critère de similitude1/Pe doit être corrigé relativement au niveau de température absolue, et devient :∆TToo1Pe.2.A.4. – GRANDEURS GÉOMÉTRIQUES DE RÉFÉRENCE DANS UN BILANINTÉGRALDans le paragraphe 2.3, nous avons introduit les critères de similitude enadimensionnant l’équation de bilan local pour une grandeur extensive C. Que se passerait-il sil’on adaptait le raisonnement à l’équation de bilan intégral sur un domaine , de frontière ?En régime permanent, l’équation (1.22) s’écrit :∫∫C V . n dS = q dτ−SDI∫SqS.n dSPour toute grandeur X figurant dans l’équation, , on choisit une valeur de référence X°,et on pose X + = X / X°. A priori, on doit faire intervenir ici deux grandeurs de référencegéométriques : ° (surface de référence) et ° (volume de référence).Le domaine d’intégration n’est évidemment pas modifié par le changement devariables, et l’équation de bilan adimensionnée est maintenant :o + o+o + o +C C V V . n S dS = q∫∫I qI ° dτ + o+o +− qSD ∫S qS. n S dSSDivisons par C° V° S° pour assurer la similitude à l’échelle 1 vis-à-vis du terme detransport :∫C V . n dS =S++CoqVoIoSo °∫+D Iq dτ+oqS−oC VLes critères de « similitude intégrale » sont donc :- pour la source volumique :oIoqΓI= °o oC V S- pour la source surfacique :ΓS=CoqSo oVo∫Sq+s.n dSEn conséquence,1) Γ S est le même que dans le bilan local (cf . 2.4, 2.5) ; il y a donc équivalence entresimilitude locale et similitude globale pour les sources surfaciques.2) Pour que Γ I soit égal au Γ I local (2.5), il faut prendre :L° = ° / S° , d’où Γ =IqoIoLooC VLa condition d’équivalence entre similitude locale et similitude intégrale est donc :L° = ° / S°

Pour le choix de ° et S°, deux voies sont ouvertes :a) On adopte une convention sur L°, et l’on prend ° = (L°) 3 et S° = (L°) 2 . Dans ce cas, lechoix de L° risque d’être relativement arbitraire.b) Inversement, sachant que les phénomènes étudiés concernent le volume et la surface Sdu domaine , on peut choisir : ° = ; S° = S, d’où L° = / SEventuellement, si la contribution de certaines parties de S à l’intégrale∫ Sestnégligeable, il peut être justifié de prendre pour S° la partie significative de S.Nous rencontrerons une application de ce problème au chapitre 6, à propos desécoulements en canalisations : elle permettra de faire apparaître une longueur caractéristique = / Σ (Σ = surface latérale du tube) équivalente au diamètre hydraulique classique.

Chapitre 3QUE FAIRE DE LA TURBULENCE ?Voyons, Monsieur, mettezvousà la place d’un mobilequi se croit animé d’unmouvement de translationrectiligne et qui s’aperçoitqu’il a décrit une trajectoirecirculaire !L’insolite étrangeté de cettecurieuse bizarrerie meplonge dans une perplexitéqui m’intrigue.Achille Talon (par GREG)CHRISTOPHE(L’idée fixe du savantCosinus)Comme nous avons déjà eu l’occasion de le signaler, les équations établies dans lechapitre 1 devraient en principe permettre de venir à bout de tous les problèmes dethermoconvection. Cette possibilité reste malheureusement illusoire la plupart du temps, enraison de difficultés mathématiques extrêmes, spécialement lorsque les écoulements sontturbulents. On doit donc recourir à des approximations ou à des modèles simplificateurs.Parler de turbulence est un exercice périlleux si l’on veut présenter les choses de façonassez claire et opérationnelle. Il faut naviguer entre Charybde et Scylla pour éviter lesimplisme sans tomber dans des développements inutilisables par le non spécialiste.Le chapitre que nous abordons maintenant se borne à présenter l’aspect général de laturbulence, et les principaux modèles utilisés pour décrire les écoulements turbulents. Il necontient pas d’applications directes ; celles-ci viendront en leur temps dans les chapitres quisuivent.La première partie est consacrée à notre perception expérimentale de la turbulence, quidébouche assez naturellement sur une description statistique du phénomène.Pour conserver la structure logique des deux premiers chapitres, on applique d’abordce traitement statistique à l’équation générale de bilan local. Ceci permet d’introduire dans uncadre très large le modèle pseudo-laminaire, basé sur la définition de diffusivités turbulentesqui jouent un rôle analogue aux diffusivités moléculaires. Nous présentons ensuite lesmodèles basés sur des équations d’appoint, qui sont des relations de bilans supplémentairesportant sur certaines grandeurs fluctuantes : modèles k-l, k-ε et k-ω . Les volumineux calculsqui permettent d’établir ces relations sont relégués en annexe ; ils sont en partie justifiés parl’attention particulière que nous accordons à l’interprétation des différents éléments d’un bilanen termes de sources volumiques ou surfaciques.

Bien que n’étant pas utilisées de manière directe dans le cadre de cet ouvrage, lescorrélations entre grandeurs fluctuantes ainsi que les échelles de turbulence font l’objet d’unebrève présentation, car elles peuvent permettre à l’ingénieur d’estimer certains ordres degrandeur.Enfin, il nous a paru utile de regarder de près et de façon critique les problèmes defond posés par la définition des valeurs moyennes, particulièrement dans le cas desécoulements à masse volumique variable. Ces considérations figurent également en annexe.3.1. – DONNÉES EXPÉRIMENTALESAu début du chapitre 2, nous avons décrit deux expériences simples (expériences deReynolds et de la plaque plane) qui mettent en évidence un comportement inattendu dansl’écoulement des fluides : il s’agit du mouvement turbulent, caractérisé à première vue par unbrassage tout à fait désordonné des particules fluides.Nous allons essayer maintenant d’approcher le phénomène d’un peu plus près et de lequantifier.♣Plaçons, par exemple, dans l’écoulement turbulent une sonde fixe mesurant lacomposante locale instantanée U t de la vitesse, et supposons que les conditions aux limitessoient stationnaires. Un enregistrement de U t en fonction du temps présentera l’aspectschématisé sur la figure 3.1 : des oscillations irrégulières, mais qui se produisent autour d’unevaleur moyenne U de U t .FIG. 3.1. – Enregistrement de vitesse en régime turbulent.Plus précisément, si l’on calcule entre deux instants t o et t o + τ la fonction :1to=∫ + τU U t dt(3.1)τtoon constate que sa valeur est indépendante de t o et de τ, pourvu que l’intervalle [t o , t o +τ ]contienne un assez grand nombre d’événements.Par contre, en modifiant les conditions aux limites de telle sorte que l’écoulementdevienne laminaire, l’enregistrement de U t sera pratiquement une droite U t = U = cte.

Les mêmes observations pourraient être faites en mesurant les autres composantesinstantanées V t , W t de la vitesse, la température ou la pression.♦Mais l’expérience dont nous venons de parler ne nous renseigne que sur l’aspect localdu phénomène. Pour en avoir une vue tridimensionnelle, on peut aussi réaliser un film del’écoulement, en ayant recours à divers moyens optiques permettant de visualiser lesmouvements du fluide.L’aspect des choses paraît alors tout différent : on voit naître au sein du fluide despaquets tourbillonnaires de molécules – appelées bouffées de turbulence – qui se stabilisentpuis se fragmentent et se diluent dans l’écoulement, tandis que d’autres les remplacent. Leurtaille, leur vitesse, leur durée de vie, leur lieu d’origine et leur fréquence d’apparition sont àpremière vue absolument aléatoires. Un bon exemple de ces bouffées nous est fourni dans lavie quotidienne par les rafales de vent.♥Un phénomène de cette nature incite finalement à remettre en question le principe dudéterminisme, du moins dans son aspect pratique.En effet, en régime laminaire, les trajectoires des particules fluides sont des courbesqui possèdent des propriétés de régularité mathématique. Deux particules infiniment voisinesà un instant t restent proches à un instant t + ∆t, si ∆t est petit par rapport au temps dedéplacement moyen dans l’écoulement (sauf éventuellement au voisinage d’une singularité).Le mouvement est déterministe comme en mécanique classique : en remontant le temps, onpeut retrouver les conditions initiales, et dans l’autre sens on peut prévoir exactement l’étatdu système à un instant quelconque dans le futur.Au contraire, en régime turbulent, deux particules infiniment voisines à l’instant tpeuvent avoir des positions pratiquement indépendantes à t + ∆t, et la notion de trajectoire, sielle conserve un sens physique, devient inutilisable. Il n’est alors plus possible de remonteraux conditions initiales, qui sont en partie « oubliées » par l’écoulement. Inversement, il yaura au bout d’un certain temps perte de prédictibilité déterministe, et ce d’autant plus tôt queles caractéristiques initiales de l’écoulement seront moins bien connues à petite échelle.♠Les écoulements turbulents présentent donc ce caractère d’avoir une structure à la foiscomplexe et apparemment désordonnée, voire non déterministe, ce qui ne va pas simplifierleur étude.Les effets pratiques de la turbulence sont cependant considérables et doivent être prisen compte : ce phénomène présente en effet une diffusion importante des diverses entitésphysiques transportées par les molécules fluides, la chaleur en particulier. Cela se traduit parun accroissement des flux et des contraintes aux parois, ou par un mélange rapide si le fluidecomporte plusieurs constituants, comme dans l’expérience de Reynolds.3.2. – THÉORIE STATISTIQUE LOCALE DE LA TURBULENCEPour comprendre et décrire les mécanismes de la turbulence, deux grandes voiespeuvent être explorées. La première s’appuie sur la non-linéarité des équations de bilans, etfait l’objet d’un court examen en Annexe (voir aussi § 3.3.1). Très séduisante dans sonprincipe, elle se heurte malheureusement à de multiples difficultés, et ne paraît pas en mesurede donner naissance à des méthodes vraiment opérationnelles.

Il faut donc, pour disposer d’outils réellement utilisables, s’engager dans la secondevoie qui s’appuie sur une description statistique ou probabiliste. La théorie qui fut la premièredans l’ordre chronologique, et qui reste la plus utilisée est la théorie statistique locale. Ellepermet de construire des modèles efficaces, même s’ils sont loin d’être parfaits, en particulierau voisinage des parois.3.2.1. – Équations de bilans aux valeurs moyennes♣En physique comme dans bien d’autres disciplines, lorsqu’on se trouve confronté à desphénomènes complexes, fluctuants, en apparence insaisissables, on a généralement recours àun traitement statistique qui permet au moins de dégager quelques lois simples ou à défautquelques tendances. Il paraît donc légitime de procéder ainsi avec la turbulence. De surcroît,c’est un fait d’expérience que les écoulements turbulents manifestent quelques propriétésstatistiques simples (ainsi l’existence de grandeurs locales moyennes comme il a été dit en3.1), et que des écoulements turbulents réalisés dans des conditions macroscopiquesidentiques présentent des caractères statistiques identiques.On postule donc que toute grandeur physique de l’écoulement peut être considéréecomme une variable aléatoire, dont la valeur instantanée est la somme d’une valeur moyenneC et d’une valeur fluctuante c. Dans les équations, on sera donc amené à remplacer C parC + c :C a C + c(3.2)♦Ce sera le cas en particulier de la vitesse, V étant remplacée parV + v :V a V + v(3.3)Voyons alors les implications de cette hypothèse dans l’équation générale (1.24) debilan local, qui s’écrit maintenant :∂( C + c )∂t+div{( C + c )(V + v )} = qI− div qS(3.4)Rappelons-nous tout d’abord (ch. 1) que fréquemment le terme source de surfacediv q Sdécrit le transfert par diffusion de la grandeur C et peut se mettre sous la forme :q= − D grad ( C c )(3.5)S c +où D c est la diffusivité (ou coefficient de diffusion) de C dans le milieu. Restreinte à cettecatégorie de situations, (3.4) s’écrit :♥∂( C + c )+ div∂t{( C + c )(V + v )} = q + div{ D grad ( C c )}I c +(3.6)Dans un premier temps, on cherche à tirer de (3.6) une relation entre les valeursmoyennes, en se débarrassant autant que possible de ces termes indésirables que sont c et v .Pour ce faire, le plus simple consiste à prendre la moyenne des deux membres de (3.6).

Nous ne considérons dans la suite que des écoulements permanents en moyenne, c’està-direpour lesquels les conditions aux limites sont stationnaires (si elles sont variables dans letemps, la définition de la moyenne C pose quelques problèmes épineux que nousn’aborderons pas ici, cf. Annexe 3.A.2). Dans ce cas, C ne dépend ni de l’instant considéré, nide la durée τ sur laquelle la moyenne est calculée, de telle sorte que :∂ C= 0 ; c = 0(3.7)∂tl’opération de moyenne étant symbolisée par la barre qui surmonte les différents termes.Les moyennes des termes de l’équation (3.6) sont calculées en Annexe 3.A.2. Onobtient ainsi l’équation de bilan aux valeurs moyennes pour la grandeur C :div( CV+ cv ) = q div( D grad C )(3.8a)I+c♠Comparons cette relation avec l’équation générale de bilan en régime stationnaire, quis’écrit compte tenu de (3.5) :div CV = qI + div( Dcgrad C )(3.8b)A l’évidence, (3.8a) ressemble de très près à (3.8b) pourvu que l’on transfère à droitele terme en c v :div CV{ Dcgrad C − cv}= q + div(3.9)ILe bilan local pour les valeurs moyennes C s’écrit donc de la même façon que pour lesvaleurs instantanées, à ceci près qu’il apparaît un nouveau terme exclusivement lié auxfluctuations, à savoir div cv. Dans l’écriture (3.9), celui-ci est interprété comme une source desurface, qui se superpose à la diffusion classique. Il manifeste donc l’existence d’un nouveaumécanisme de transfert de la grandeur C, provoqué par les fluctuations de vitesse v . Cemécanisme ainsi mis en parallèle avec la diffusion moléculaire (terme ende diffusion turbulente de la grandeur C.grad C) est qualifiéLe terme c v , qui est donc le produit des fluctuations c et v pris en valeur moyenne,est appelé covariance de c et v , ou encore corrélation. C’est un moment du second ordre quicaractérise le degré de dépendance (ou si l’on préfère le degré de couplage) de c par rapportà v . En particulier, si2c v = c 2 v , les grandeurs fluctuantes c et v sont totalementcorrélées, alors qu’elles sont indépendantes si c v = 0 . Lorsque la corrélation est négligeable,le mouvement est solution de l’équation sans perturbation (3.8b).♫♪ Il pourrait aussi arriver que dans un écoulement turbulent, on ait :div cv

c’est-à-dire que la diffusion turbulente soit négligeable sans que c v soit nul pour autant. Celaest possible si c v est quasi uniforme : il y a bien diffusion turbulente, mais son bilan local estnul en moyenne. Ce type d’écoulement est un cas très particulier, qui rentre dans le cadre dela turbulence homogène (§ 3.4.5).!!! Signalons enfin un point de terminologie : les moyennes utilisées dans ce chapitre (quisont au point de vue mathématique des moyennes « mal définies », cf. annexe 3.A.2) sontsouvent appelées moyennes de Reynolds, et dans la littérature anglo-saxonne leur applicationaux équations de quantité de mouvement est désignée par Reynolds Averaged Navier – Stokes,en abrégé RANS.3.2.2. – Équation de bilan pour les fluctuationsNous pouvons maintenant établir une équation qui s’interprétera comme un bilan localde la grandeur fluctuante c. Pour cela, développons l’équation (3.6) en séparant, dans lessources de volume q I , la moyenne q I et la fluctuation q ' I (soit : q ' I = q I+ q I ).Sachant que ∂C / ∂t= 0 (écoulement permanent en moyenne), il vient :∂c'+ div( CV + Cv + cV + cv ) = q q I div{ Dcgrad ( C c )}tI+ ++(3.10)∂Soustrayons membre à membre l’équation aux valeurs moyennes (3.8a) et l’équationprécédente. On obtient :∂c+ div ( Cv + cV + cv − cv)= q' I + div ( Dcgrad C)∂tSoit encore, pour faire ressortir le bilan local de c :∂c'+ div c V = q I∂t+ div{ Dcgrad c + cv − cv − Cv}(3.11)3.2.3. – Le principe des fermetures en un pointMalgré ses avantages, la méthode statistique adoptée ne règle pas toutes les difficultés,loin de là. En prenant la moyenne des termes dans l’équation (3.6), nous cherchions àremplacer les termes fluctuants par des grandeurs indépendantes du temps. Cet objectif estréalisé, sauf que nous avons fait apparaître une nouvelle inconnue, la covariance c v , sansavoir augmenté le nombre d’équations. Le système est devenu « ouvert ».Pour le « fermer », il faudra donc établir une relation supplémentaire (vectoriellepuisque v c est un vecteur) pour chaque entité physique scalaire transportée (les composantesde la quantité de mouvement étant considérées comme telles). Ces relations portent le nom de« fermetures ».Malheureusement, rien dans la théorie ne permet d’établir de telles fermetures. D’unefaçon ou d’une autre, celles-ci reposeront donc sur des modèles phénoménologiques, voirequelquefois sur des hypothèses franchement empiriques.Toutes les fermetures relatives au modèle statistique local de la turbulence sontappelées fermetures en un point.

3.3. – UNE APPLICATION DE LA THÉORIE STATISTIQUE LOCALE : LEMODÈLE PSEUDO-LAMINAIRE3.3.1. – Caractérisation d’un transfert laminaire ; transition vers la turbulence♣Avant d’examiner quelques-unes des fermetures en un point, il paraît utile de préciser,dans le cadre du modèle statistique de la turbulence, ce que l’on entendra par régime detransfert laminaire. Celui-ci se caractérise en effet plus aisément par rapport au régime detransfert turbulent.Physiquement, il est clair qu’un écoulement laminaire est un écoulement où lesfluctuations de vitesse sont statistiquement « négligeables ».D’une manière plus précise et plus générale à la fois, nous dirons que dans un transfertlaminaire, les termes de covariance sont nuls, c’est-à-dire que d’éventuelles fluctuations c etv ne sont pas corrélées :laminaire ⇔ c v = 0(3.12)Cela signifie qu’une fluctuation isolée, qui peut toujours survenir, ne sera pas àl’origine d’autres fluctuations, et ne sera donc pas susceptible de déclencher un mécanismeturbulent.Alors, l’équation aux valeurs moyennes (3.9) s’identifie à l’équation générale de bilanen régime permanent (3.8b) :div CV = qI +div ( D grad C )cEn particulier, si l’on considère les équations de quantité de mouvement, oùon aura en régime laminaire :cvc = ρ v j ,= ρ v v = 0(3.13)jsoit encore, pour un fluide isochore :v v = 0 ∀ j,k 1 à 3(3.14)j k=Donc, en particulier, les moyennes quadratiques v2 j sont nulles. En conséquence, dansun fluide isochore en écoulement laminaire, les fluctuations de vitesse s’identifient à desv 2 j =fonctions de Dirac. Mais si le fluide n’est pas isochore, la condition ρ 0 n’implique pasque v2 jsoit nulle.♦A côté de la vision purement statistique des choses, on peut aussi considérer lecomportement non-linéaire engendré par le bilan de quantité de mouvement (Annexe 3.A.1).Dans cette approche, les fluctuations sont plutôt appelées « perturbations ». Maisquelle que soit la terminologie, lorsque ces événements surviennent, c’est uniquement laviscosité moléculaire qui est en mesure de les résorber, les forces de viscosité jouant le rôled’un frein. Cela se traduit par un pic de la dissipation Φ dans l’équation d’énergie.Plus précisément, si l’équation (3.11) est appliquée aux composantes de la quantité demouvement, elle possède des solutions enpartie imaginaire est négative,e− iωte− iωt, où ω est généralement complexe. Si sadiminue au cours du temps : il y a amortissement. Mais

si la partie imaginaire est positive, l’exponentielle augmente en fonction du temps, ce quicorrespond à une instabilité du mouvement.Il se trouve que les fluides usuels sont très peu visqueux, de sorte que desperturbations infimes peuvent ainsi s’amplifier et dégénérer en comportement chaotique sil’amortissement devient insuffisant, c’est-à-dire en fait si les termes non linéaires (transportde quantité de mouvement par le fluide en écoulement) deviennent suffisamment grands parrapport aux termes de viscosité. Le passage d’un type de comportement à l’autre constitue latransition vers la turbulence.Or nous disposons d’un indicateur pour évaluer l’ordre de grandeur relatif du terme detransport et du terme visqueux : c’est le critère de similitude Γ ν (2.26), qui est le quotient duflux de référence de la source (viscosité) par le flux de référence transporté. Sachant que lenombre de Reynolds Re = 1/Γ ν , on voit que Re mesure donc l’importance des termes nonlinéairespar rapport au terme de dissipation. Ainsi, le nombre de Reynolds critique Re c (§ 2.2)est le seuil au-delà duquel les termes non-linéaires s’imposent, et donc où apparaissent desparties imaginaires positives dans les exposants des termes ene− iωtIl doit être bien entendu que le passage du régime laminaire au régime turbulent n’estpas un phénomène abrupt, mais une transition, comme on l’a dit plus haut, et qu’il s’étale surune certaine plage de valeurs de Re, dont la valeur critique Re c constitue approximativementle centre. De plus, cette valeur n’est pas universelle, car elle dépend de chaque typed’écoulement.Dans le cadre choisi ici, cette brève analyse est sans conséquence pratique, mais ellecontribue à la compréhension des mécanismes de la turbulence..3.3.2. – L’idée directrice du modèle pseudo-laminaire♣On dispose de méthodes variées, analytiques ou numériques, pour résoudre leséquations de type (3.8b) correspondant à un régime stationnaire laminaire. Par contre, leséquations du genre (3.9) suscitent de sérieuses difficultés.Mais leur rapprochement suggère que si l’on pouvait gauchir les secondes d’une façonphysiquement acceptable pour les faire ressembler à (3.8b), on simplifierait leur résolution.Cela devient possible en admettant que la diffusion turbulente obéit à la loi classique de ladiffusion, c’est-à-dire que c v est proportionnelle au gradient de la grandeur moyenne C.On formule donc l’hypothèse :− c v = D grad C(3.15)ctle coefficient D ct étant appelé diffusivité turbulente de la grandeur C.!!! Il faut bien noter qu’il y a une différence essentielle entre D ct et la diffusivitémoléculaire classique D c . La seconde est une propriété intrinsèque du fluide, alors que ladiffusivité turbulente définie par la relation (3.15) est essentiellement une propriétéstructurelle locale de l’écoulement, généralement fonction des conditions aux limites.

♦On doit bien admettre que la formulation (3.15) est un peu réductrice. En toutegénéralité, il conviendrait de poser :∂C− c v j = D jk(3.16)∂xkcar le coefficient D ct peut dépendre de chaque direction considérée pour v etD jk est un tenseur du second ordre.♥grad C. Alors,Revenons malgré tout à l’hypothèse (3.15), beaucoup moins difficile à mettre enœuvre. En l’intégrant dans l’équation générale aux valeurs moyennes (3.9), on obtient :div CV= q + div ( D + D grad C(3.17)I c ct )dont l’analogie avec (3.8b) justifie l’expression de « modèle pseudo – laminaire ».3.3.3. – Diffusion turbulente de masse3.3.3.1. – BILAN DE MASSE TOTALELa grandeur C est ici la masse volumique ρ du fluide, et il n’y a pas de termes sources(§ 1.3.2.1) :C ρ ; q I = 0 ; q = 0 (soit D c = 0 )=SAdmettons pour simplifier que le fluide soit isochore (voir annexe 3.A.3 pourρ ≠ cte ). Alors les fluctuations ρ’ de ρ sont nulles, d’où :c v = ρ ' v = 0et il résulte de (3.9) et (3.11) les équations :div V = 0(3.18a)div v = 0(3.18b)L’équation de continuité classique s’applique donc également ici à la valeur moyenneV de la vitesse et à sa fluctuation, pour laquelle la condition à la limite associée est v = 0 surtoute surface solide fixe.En posant :V = ( U,V , W )(3.18a) s’écrit en coordonnées cartésiennes :∂U∂V∂W+ + = 0∂x∂y∂zet de même pour v avec u, v, w.(3.19)

3.3.3.2. – BILAN DE MASSE SUR UN CONSTITUANT ADans un mélange isochore, si l’on ne s’intéresse qu’à un constituant A (§ 1.3.2.2), ona : C = ρ A (moyenne), c = ρ' A (fluctuation), et l’équation de bilan aux valeurs moyennes (3.9)devient :{ DAgrad ρ A − ρ A v } 'div ρ V = q + div(3.20)AIAD A étant la diffusivité moléculaire de A dans le mélange, etqIAla valeur moyenne dessources volumiques de A (rappelons au passage que, lorsque div V = 0 , on a aussi :div ( ρ A V ) = V.grad ρ A ).En application de (3.15), admettons que :− ρ ' v = D grad ρ(3.21)AAtAOn introduit ainsi un coefficient D A t qui est la diffusivité turbulente du constituant Adans le mélange. D’où :AIA{(D D grad ρ }div ( ρ V ) = q + div + )(3.22)AAtPour un écoulement pleinement turbulent, on aura en général D At >> D A .A3.3.4. – Diffusion turbulente de quantité de mouvement3.3.4.1. – VISCOSITÉ CINÉMATIQUE TURBULENTEPassons maintenant au bilan local de quantité de mouvement. Notre point de départreste l’équation générale aux valeurs moyennes (3.9) :divCV= qI+ div{ Dcgrad C − cv}En conservant l’hypothèse du fluide isochore (soit : ρ ≡ ρ ) :C = ρ V j (composante de ρ V suivant la direction j)c = ρ v j (fluctuation)D c = ν (viscosité cinématique)Les forces extérieures F ne subissent pas de fluctuations ; la pression p a une valeurmoyenne p : d’où l’équation aux valeurs moyennes pour la quantité de mouvement (§.1.3.6.5,eq. 1.70b) :∂ pdiv ( V j ρV) = ρ F j − + div { ν grad ρVj − ρ v j v } ( j = 1 à 3) (3.23)∂xjLes composantes τ' jk = − ρ v j vkdu vecteur − ρ v v j qui intervient ci-dessus sontconnues sous le nom de tensions (ou contraintes) de Reynolds. Elles jouent le même rôle queles tensions visqueuses τ ij, mais elles expriment la diffusion de quantité de mouvement àl’échelle de la turbulence.

D’après (3.18a), avec les hypothèses retenues, nous avons : div V = 0 ; dans ce cas :div CV= V . grad C ,∀CEn appliquant cette propriété et en divisant (3.23) par ρ, il vient :V .grad Vj1 ∂ p= F j − + div νρ ∂xj{ grad V j − v j v}(3.24)C’est ce que l’on appelle l’approche RANS (Random Averaged Navier – Stokes, voir§ 3.2.1).♣Méthode généralePour faire apparaître une diffusivité turbulente de quantité de mouvement, posons enaccord avec (3.15) :− v v = ν grad V(3.25)jt jjce qui s’exprime scalairement par :∂Vj− v j vk= ν t j (sans sommation sur j) (3.26a)∂xkles termes précédents étant les éléments du tenseur des corrélations de vitesses (ou tenseur deReynolds)R = v v(3.26b)jkjkPar analogie avec la viscosité cinématique ν, la grandeur ν t j est appelée viscositécinématique turbulente suivant la direction j, et l’équation locale aux valeurs moyennes (3.24)devient :{(ν + ) grad V } ( j 1 3)1 ∂ pV. grad V j = F j − + div ν t j j = àρ ∂xj(3.27)Enfin, dans les écoulements pleinement turbulents, la diffusion turbulente estbeaucoup plus intense que la diffusion moléculaire, d’où ν t j >> ν .♦Cas particulierDans de nombreuses circonstances (ch. 5 et 6) on peut admettre V

∂U− u v = ν t∂yet (3.27) devient :∂U∂UU + V∂x∂y=Fx−1 ∂ pρ ∂x+div{( ν + ν ) grad U}t(3.28b)(3.28c)♥Variante de la méthode généraleLa forme de l’hypothèse (3.25a) oblige à introduire, dans le cas général, troisviscosités turbulentes ν t j . Il y a là évidemment une source de complication pour les calculs.Pour se ramener à un seul paramètre ν t sans opérer malgré tout une schématisationtrop simpliste, on peut remplacer (3.25a) par la condition suivante :⎛ ∂V⎞⎜j ∂Vk− v = + ⎟j vkν t(3.29)⎝∂xk∂xj ⎠c’est-à-dire :− v j v k = 2ν t ε jkles ε jk étant les taux de déformations (§ 1.2.1).Dans le cas particulier évoqué au paragraphe précédent (V

3.3.4.3 – SCHÉMAS DYNAMIQUES♣Considérations physiquesL’une des principales difficultés en turbulence est de décrire l’écoulement auvoisinage des parois, et c’est particulièrement là que la condition (3.30) se révèle inadaptée.D’une manière générale, en physique, quand l’hypothèse d’un paramètre constantn’est plus tenable, l’étape suivante consiste à postuler qu’il dépend d’une grandeurcaractéristique du phénomène étudié, et on commence souvent par le plus simple, à savoir unedépendance linéaire.Dans le cas présent, il y a potentiellement deux candidats pour cette fonction : legradient transversal de vitesse, et la distance à la paroi.Sachant qu’un fluide est un milieu à la fois visqueux et très déformable, on conçoitaisément que si la contrainte de cisaillement τ (et donc le gradient de vitesse ∂ U / ∂y) devienttrop grande dans l’écoulement, les filets fluides auront tendance à s’incurver (fig. 3.2). C’estl’amorce d’un tourbillon, et par conséquent de la turbulence si l’amortissement est insuffisant.La diffusion turbulente devrait donc augmenter avec ∂ U / ∂y.Mais de plus, le développement d’un tourbillon sera évidemment limité par une tropgrande proximité de la paroi, ou favorisé lorsqu’on s’éloigne de celle-ci (fig. 3.2). La diffusionturbulente devrait donc augmenter aussi avec la distance y à la paroi.FIG. 3.2. – Amorces de tourbillons : représentation très schématique♦Hypothèse de Prandtl (1925)Historiquement, la première étape a été franchie par Prandtl, en admettant que laviscosité turbulente est proportionnelle à la valeur absolue du gradient transversal de vitesse(le signe du gradient ne change a priori rien au phénomène lui-même), ce qui s’écrit :∂Uν t = l2(3.32)∂yDans cette expression, le coefficient de proportionnalité l possède la dimension d’unelongueur, que Prandtl a appelé longueur de mélange en raison d’une analogie – pas trèsconvaincante – avec la notion de libre parcours moyen en physique statistique.Mais ceci ne fait que déplacer le problème, sans vraiment le résoudre. Si les résultatsexpérimentaux étaient compatibles avec la condition l = cte, la longueur de mélange pourrait

être déterminée expérimentalement dans diverses configurations. Malheureusement, la plupartdu temps ce n’est pas le cas, surtout au voisinage d’une paroi.C’est ici qu’intervient la seconde étape, avec l’hypothèse d’une longueur de mélangeproportionnelle à l’ordonnée y :l = K y(3.33a)de sorte que :∂Uν t = K2y2∂y(3.33b)En admettant que K est une « vraie » constante (appelée constante de Karman), cemodèle est applicable dans des écoulements unidimensionnels ou faiblement bi-dimensionnelsde type couche limite. Nous le retrouverons au chapitre 5.♥ Hypothèse de Prandtl-Reichardt (1942)Le modèle précédent n’est pas le seul envisageable. Pour certaines catégories limitéesd’écoulements (jets libres, panaches, écoulements atmosphériques), on obtient des résultatsacceptables en considérant que ν t est simplement proportionnelle à la composante U de lavitesse, soit :ν lU(3.34)t =où l est encore homogène à une longueur.♠D’autres expressions de l peuvent être utilisées, qui sont plus ou moins bien adaptéesà chaque problème. Il en sera fait état dans les chapitres suivants.Les schémas de fermeture de la forme (3.30), (3.32-33) ou (3.34) sont souvent appelésfermetures algébriques, pour signifier que les v sont déterminés par des expressionsalgébriques qui les relient au champ des vitesses.j v k3.3.4.4. – MODÈLES BASÉS SUR DES ÉQUATIONS SUPPLÉMENTAIRES DE BILANS♣PrincipesLes modèles précédents sont bien utiles dans des cas relativement simples, mais ilssont très loin de répondre à tous les besoins concrets des ingénieurs autant que des chercheurs.Il faut donc franchir une autre étape conceptuelle et, dans la mesure ou l’on conservele modèle pseudo-laminaire, accepter l’idée que la viscosité turbulente ν t doit être raccordéede façon plus fine à d’autres paramètres moyens de l’écoulement. Dans cette optique, leprogrès essentiel réalisé au tournant des années 1970 a été d’imaginer de nouvelles grandeurssusceptibles de faire l’objet d’un bilan, et de les relier à cette viscosité turbulente.♦Schéma énergétique : modèle k - lLa première grandeur mise en relation avec ν t a été l’énergie cinétique turbulente, ouplus précisément sa valeur moyenne k, définie par :

k 1= v j v j(3.35a)2Si l’on désigne par u, v, w les composantes du vecteur fluctuation v , k s’écrit :1⎜⎛ 2 2 2k = u + v + w ⎟⎞(3.35b)2 ⎝⎠Pour exprimer la viscosité turbulente, on retiendra par exemple « l’hypothèse dePrandtl – Kolmogorov » (1945) :t1/ 2ν = l k(3.36a)où le paramètre l est toujours homogène à une longueur.Une formulation un peu plus fine à proximité d’une paroi (Noris et Reynolds, 1975)est :⎧ky ⎫⎪− cte1/ 2⎪ν = ⎨ − νt l k 1 e ⎬(3.36b)⎪⎩ ⎪⎭Le schéma appelé « modèle k – l » requiert la résolution d’une nouvelle équation debilan, qui porte sur l’énergie cinétique de turbulence k. Pour cette raison, il fera l’objet d’uneanalyse spécifique dans le § 3.4.♥Schéma énergétique – dissipatif : modèle k - εOn accède ensuite à des schémas beaucoup plus raffinés en appuyant le modèlepseudo-laminaire sur la résolution de deux équations supplémentaires de bilans. Le plusutilisé d’entre eux est le modèle k-ε, qui fait intervenir le bilan d’énergie cinétique turbulentek, et celui de la dissipation turbulente d’énergie, notée ε. Il sera lui aussi repris au parag. 3.4.♠Schéma énergétique – fréquentiel : modèle k - ωAvec le modèle k-ω, le bilan de la dissipation ε est remplacé par le bilan d’unegrandeur ω, identifiable à une vorticité turbulente et homogène à l’inverse d’un temps, quis’interprète aussi comme une fréquence d’apparition (ou d’extinction) de tourbillons (§ 3.4.4).3.3.4.5 – A PROPOS DU PARAMÈTRE lIl faut bien se rendre compte que, en faisant intervenir la « longueur de mélange » l, onne résout pas le problème posé : on ne fait que déplacer la détermination de ν t à celle de l, quiest aussi une fonction de l’écoulement et non du fluide.La variété des hypothèses envisagées montre d’ailleurs bien que cette démarchen’aboutit pas à introduire une ligne directrice dans le raisonnement. Elle permet néanmoins deprogresser, et présente en outre l’intérêt de se rattacher aux concepts d’échelles de turbulence(§ 3.6).D’une manière plus générale, le handicap majeur de tous les modèles de turbulenceréside dans leur faiblesse de prédictibilité : on ne sait traiter que des catalogues de casparticuliers pour lesquels l’expérience a permis d’établir une loi phénoménologique sur l ouν t , ou de caler certains coefficients dans les équations en k , en ε ou en ω . Mais on n’estguère en mesure de prévoir ce qui va se passer dans des conditions pour lesquelles aucuneexpérience n’a été réalisée.

3.3.5. – Diffusion turbulente de chaleur3.3.5.1. – DIFFUSIVITÉ THERMIQUE TURBULENTES’agissant maintenant du problème thermique, nous noterons :T la valeur moyenne de la températureθ sa fluctuation.Nous avons ici :C = ρ C p T, enthalpie volumiqueD c = a, diffusivité thermiqueD’après (3.9), l’équation aux valeurs moyennes s’écrit, après division par ρ C p :1divTV = ( P + Φ)+ div { a grad T − θ v }ρ Cp(3.37)avec q I = P + Φ pour un fluide isochore (P source volumique de chaleur, Φ fonction dedissipation, cf. 1.57b).Soit encore, sachant que div T V = V.grad T (car ρ = cte, donc div V = 0 ) :1V. grad T = ( P + Φ)+ div { a grad T − θ v }(3.38)ρ CpLa méthode est la même que pour la masse et la quantité de mouvement.Conformément à la relation (3.15), on pose :− θ v = a grad T(3.39)tCe faisant, on définit une diffusivité thermique turbulente a t , et l’équation aux valeursmoyennes (3.38) se transforme en :V .grad T1= ( P + Φ ) + divρ Cp{(a + a ) grad T }t(3.40)Là encore, en turbulence développée (c’est - à - dire pas trop près des parois), on aura :a t >> a.3.3.5.2. – HYPOTHÈSES DE CALCULLes hypothèses sur la diffusivité turbulente a t ressemblent assez à celles qui ont étéfaites sur la viscosité turbulente. Citons en particulier :♣ soit : a t = cte (3.41)utilisable dans les écoulements atmosphériques ou les jets libres par exemple, ou encore dansles écoulements en canalisations,

∂U♦ soit : a t = lθ . l(3.42)∂yacceptable dans des écoulements de couche limite. On retrouve la longueur de mélangedynamique l (§ 3.3.4.3) associée à un nouveau paramètre l θ appelé par analogie longueur demélange thermique.Dans ce schéma, de nouvelles hypothèses doivent évidemment être faites sur l θ . Ainsi,au voisinage d’une paroi, on peut prendre :lθ = Kθy(3.43)♥ ou encore :atν t= cte(3.44)On admet donc ici que a t est en tout point proportionnelle à la viscosité cinématiqueturbulente ν t (§ 3.3.4). Par analogie avec le nombre de Prandtl classique Pr = ν / a (ch. 2), lerapport ν t / a t est appelé nombre de Prandtl turbulent Pr t :ν tPr t =at(3.45)Cette hypothèse est validée dans beaucoup d’applications. Voici les valeurs caléesexpérimentalement pour quelques cas classiques :jet plan Pr t # 0,5jet axisymétrique 0,7couche limite (voisinage d’une paroi) 0,9canalisation circulaire 0,9canalisation non circulaire 1 à 1,13.3.6. – Résolution du problème thermoconvectifDans le cadre du modèle pseudo – laminaire, le système d’équations aux valeursmoyennes que l’on doit résoudre est en définitive :div V = 0(3.18)V .grad VV .grad T{(ν + ) grad V } ( j 1 à 3 )1 ∂ pj = F j − + div ν t j j =ρ ∂x1= ( P + Φ ) + divρ Cpj{(a + a ) grad T }t(3.27)(3.40)avec éventuellement une équation supplémentaire pour chaque constituant A si le fluide est unmélange :div(AIA{(D D ) grad ρ }ρ V ) = q + div +(3.22)AAtLes hypothèses sur D At procèdent des mêmes démarches que les hypothèses sur a t .A

3.4. – MODÈLES LOCAUX BASÉS SUR DES ÉQUATIONS D’APPOINTLes différentes variantes du modèle pseudo – laminaire que nous avons examinéespossèdent beaucoup de qualités, entre autres une relative simplicité. Toutefois, les résultatsqu’elles fournissent ont un caractère partiel, catégoriel, et ce qui est plus grave, ils sont parfoispeu satisfaisants, en particulier lorsqu’on se trouve en présence de gradients de pression.Des modèles plus élaborés se révèlent donc nécessaires. Dans le cadre de la théoriestatistique locale de la turbulence, ces modèles font appel à des équations supplémentaires debilans portant sur certaines grandeurs moyennes. La méthode générale consistant à écrire desbilans statistiques de grandeurs transportables a été initiée par A. Favre (1965).Les équations « d’appoint » les plus utilisées sont l’équation en k (énergie cinétique deturbulence) et l’équation en ε (dissipation).3.4.1. – Modèle à une équation dynamique d’appoint ou modèle k – lLe modèle k – l fait intervenir à la fois l’hypothèse de Prandtl – Kolmogorov (3.36)reliant la viscosité turbulente ν t à k, et la résolution de l’équation de bilan de k. Celle-ci seradéduite d’une équation plus générale que nous allons d’abord présenter.3.4.1.1. – ÉQUATIONS DE BILANS POUR LES CORRÉLATIONS♣Au prix de quelques calculs un peu laborieux mais parfaitement classiques, on peutétablir une relation générale de bilan pour les corrélations c v j (le détail de ces calculs figureen Annexe 3.A.4).La méthode est la suivante : on part de l’équation aux fluctuations (3.11) que l’onadapte au cas de la quantité de mouvement. Puis (3.11) est multipliée par v j tandis quel’équation de quantité de mouvement (3.23) est multipliée par c. On additionne membre àmembre les deux nouvelles équations ainsi obtenues, et l’on en prend la moyenne.Voici le résultat de l’opération exprimé sous forme vectorielle (en coordonnéescartésiennes, vois Annexe 3.A.4) et valable pour des écoulements isochores, permanents enmoyenne (d’où ∂ ( c v j ) / ∂t= 0 , § 3.2.1 ♥) où D c et ν sont sensiblement constants :V . grad c vj= − vjv .grad C− c v .grad Vj( a )+ vjq'Ic−1 ∂p'cρ ∂xj( b )− ( Dc+ ν ) grad c .grad vj( c )(3.46)+Dcdiv( vjgrad c ) + ν div( cgrad vj)( d)− div c vjv( e )avec : p’ fluctuation de pression ; q' Ic fluctuation de la source locale de C.Nous n’avions pas a priori les moyens d’écrire le bilan local de la grandeur c v j . Maisla relation (3.46) se présente bien comme un tel bilan. Au premier membre on trouve en effet :

V . grad c v j = div ( c v j V ) puisque div V = 0Au second membre, on reconnaît des sources de volume (a, b, c) et des sources desurface (termes en divergence : d, e).L’interprétation des différentes sources est la suivante :Le terme (a) exprime la production volumique de c v j due aux gradients de V j et de C,le premier tendant à augmenter les fluctuations de vitesse et le second les fluctuations c de lagrandeur C.Le second terme (b) représente la contribution des fluctuations des sources internesq'Ic et p’ au bilan de v jc .Quant à l’expression (c), elle traduit un processus de dissipation proche de celui quedécrit la fonction Φ introduite au chapitre 1 (§ 1.3.4.2), puisque celle-ci contient égalementdes produits de gradients.En ce qui concerne les sources surfaciques, on reconnaît en (d) un flux de diffusion,tributaire à la fois d’un coefficient de diffusion moléculaire (D c ou ν ) et d’un coefficientturbulent : dans le premier terme, v j joue le rôle d’un coefficient de diffusion pour c et viceversadans le second terme.Enfin apparaît en (e) un terme de diffusion nouveau, qui fait intervenir une corrélationtriple (ou moment du 3° ordre).♦Une première application de l’équation générale (3.46) concerne le cas où C est laquantité de mouvement. On obtient alors une équation de bilan pourv . Dans l’hypothèsej v koù l’on est en convection forcée (voir détails en Annexe 3.A.4.2) celle-ci s’écrit :V . grad vjvk= − vj− 2νgrad v+ ν divv . grad Vjk− v.grad vv .grad V( grad v v ) − div v v vjkkkjj1 ⎛ p' p' ⎞⎜∂ ∂− vk+ v ⎟jρ x j x⎝∂ ∂ k ⎠(3.47)Au point de vue physique, les corrélationskv sont des grandeurs relativementabstraites. Mais rappelons-nous qu’en les multipliant par ρ , on retrouve les éléments ρ R jkdu tenseur de Reynolds (3.26b), qui sont des quantités de mouvement turbulentes (l’analogieavec le tenseur (1.30) des quantités de mouvement de l’écoulement moyen est évidente). Lesystème (3.47) s’interprète donc comme un bilan de quantité de mouvement moyenne de laturbulence.♥On peut également identifier C à l’enthalpie et obtenir un bilan pour la corrélationθ v j (Annexe 3.A.4.3) :j v k

V.grad θ vj= − vjv.grad T − θ v.grad V1 ∂p'− θρ ∂x+ a div vjj− ( a + ν ) grad θ . grad vgrad θ + ν div θ grad vjjj(3.48)− div θ vjvT désignant la valeur moyenne de la température et θ sa fluctuation.3.4.1.2. – ÉQUATION DE BILAN POUR L’ÉNERGIE CINÉTIQUE DE TURBULENCE kLa définition de l’énergie cinétique de turbulence a déjà été introduite au paragraphe3.3.4.4 (relations 3.35), à savoir :1 1k = v j v j = v.v2 2Il s’agit en fait d’une énergie massique (en m 2 /s 2 ), la véritable énergie cinétique(volumique) étant bien entendu ρk 1= ρ v j v j . Les deux termes sont néanmoins2proportionnels si ρ = cte, et nous conserverons dans la suite la terminologie habituelle.Par contre, la signification physique de k est parfaitement claire : ρk est bien l’énergiecinétique moyenne de la turbulence. Soit, en effet, E c l’énergie cinétique totale :1 1 2E ( V v)2 ( V 2V.v2)22vc = ρ + = ρ + +(3.49a)En passant aux valeurs moyennes, et sachant que v = 0 , on obtient :1 2 1 2 1 2E c = ρ V + ρ v = ρV+ ρk(3.49b)2 2 2où le premier terme représente l’énergie cinétique du mouvement d’ensemble et le secondl’énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent.Cependant, on ne peut pas utiliser directement l’équation aux fluctuations (3.11) pourétablir le bilan de k, car on ne dispose d’aucun critère pour en identifier a priori les sources(nous avons rencontré exactement le même problème au chapitre 1 (§ 1.3.4) pour exprimer lebilan d’énergie mécanique).Il faut donc partir des trois équations de covariancev (3.47) (où i, j = 1, 2, 3),faire i = j dans chacune d’elles et additionner ensuite membre à membre (Annexe 3.A.5). Onobtient alors une relation sur k qui s’interprète comme un bilan local (n’oublions pas que larépétition d’un indice dans un terme signifie « sommation sur cet indice ») :i v j

V . grad k= − vjv . grad Vj( a )− ν grad v.grad v1− v . grad p'ρ1+ ν div( grad k ) − div v2Dans cette équation, on distingue bien :jjjvjv( b )( c )( d1), ( d2)(3.50)♣Les sources de surface qui sont les termes en divergence, c’est–à–dire les termes (d)comprenant : diffusion liée aux fluctuations de vitesse div { v v j v}ν div ( grad k) .j et diffusion moléculairePortons un instant notre attention sur la corrélation triple div { v v j v}j pour biencomprendre son origine et son interprétation. Ce terme évoque une diffusion turbulentediv c veffet,, c représentant dans le cas présent la fluctuation d’énergie cinétique turbulente. Env (qui est une autre façon d’écrire le vecteur fluctuant2v ) est la valeur instantanéej v jde l’énergie cinétique turbulente massique, somme de sa valeur moyenne k et d’unefluctuation que nous noterons k’ :v v = k k'd’où :vj j +jvjv = ( k + k') v = k v + k'vet comme k est déjà une moyenne, k v = k v = 0 puisque la moyenne d’une fluctuation estnulle, cf. Annexe 3.A.2). Donc, finalement :♦vjvjv = k'v(3.51)Les sources de volume : production (a) et (c), et dissipation en chaleur (b).La « production » (a) est le produit des contraintes de Reynolds par le cisaillementmoyen dans l’écoulement, c’est-à-dire le taux de production d’énergie cinétique turbulentepar l’écoulement moyen, autrement dit de l’énergie qui est transférée du mouvement moyenau mouvement turbulent.Le terme (b), qui revêt une grande importance, est appelé « taux de dissipation del’énergie cinétique de turbulence », ou plus brièvement « dissipation », et noté ε (prononcer« epsilon ») :∂ v j ∂ v jε = ν grad v j . grad v j = ν(m 2 .s – 3 ) (3.52)∂x∂xkkPlus concrètement, ρε (en W/m 3 ) s’interprète comme la puissance volumique dissipéepar les fluctuations turbulentes de vitesse.

3.4.1.3. – RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION DE BILAN POUR kL’équation de bilan (3.50) n’est pas utilisable en l’état, mais elle peut être résolue auprix de quelques approximations et hypothèses.♣Tout d’abord, la confrontation avec l’expérience montre qu’on peut souvent négliger1le terme de pression v.grad p'.ρDe plus, chez les sources surfaciques, on aura recours une fois encore au modèle dediffusion (3.15) en introduisant une diffusivité cinétique turbulente D k t dans le terme (d 2 ), soitcompte tenu de (3.51), et puisque k représente l’énergie cinétique moyenne du mouvementturbulent :12div vjvjv1= div k' v = − div( Dktgrad k )(3.53)2♦Ensuite, comme le modèle k – l est de type pseudo-laminaire, il exige l’interventiond’une viscosité cinématique turbulente ν t . Celle-ci est définie conformément à l’hypothèse(3.29), c’est-à-dire que l’on écrit dans le terme (a) :⎛ ⎞⎜∂V∂Vi j− v = + ⎟i v j ν t(3.54)⎝∂xj ∂xi⎠d’où la nouvelle forme du bilan (3.50) de k, exprimé en coordonnées cartésiennes :Vi∂k∂xi⎛ Vν ⎜∂= t⎝∂xij∂Vj ⎞ ∂Vi∂ ⎧ ∂k⎫+ ⎟ + ⎨( ν + Dkt) ⎬ − ε∂xi ⎠∂xj ∂xi⎩ ∂xi⎭( a)( d)( b)(3.55)On reconnaît en (a) un terme proportionnel à la fonction de dissipation Φ pourl’écoulement moyen (ch. 1, § 1.3.4.2). En effet :⎛ V V j ⎞⎜∂ ∂i ∂ViΦ = µ + ⎟x j x⎝∂ ∂ i ⎠∂xjd’où :⎛ ⎞⎜∂V∂Vi j⎟∂Viν tν t + = Φ(3.56)⎝∂xj ∂xi⎠∂xj µDans ce contexte, on retiendra comme hypothèse sur ν t une relation du type Prandtl-Kolmogorov (3.36) reliant la viscosité turbulente et l’énergie cinétique turbulente :ν l k 1/ 2(3.57a)t =où l est homogène à une longueur (certains auteurs écrivent ν C l k 1/ 2t = ν en ajoutant uneconstante sans dimension). En fait, cette relation est suggérée par des considérationsdimensionnelles sur les échelles de turbulence, qui seront développées plus loin (§ 3.6.2).♥D’autre part, il semble naturel d’admettre que la dissipation ε ne dépend explicitementque de k (la source d’énergie) et de ν t (sa capacité de diffusion). Sachant que k s’exprime en

m 2 .s -2 , ν t en m 2 .s -1 et ε en m 2 .s - 3 , la forme de ε la plus simple qui soit compatible avec lacondition dimensionnelle est :2k= C(3.57b)νε µtoù C µ est un coefficient sans dimension qui doit être évalué expérimentalement.L’expérience montre que cette relation est bien vérifiée pour les écoulements à grandnombre de Reynolds, à condition d’avoir une turbulence assez homogène ( v sensiblementuniforme dans l’écoulement).Compte tenu de l’hypothèse (3.57a), ε est donc de la forme :3 / 2kε = Cµ(3.57c)l♠Enfin, l’expérience suggère aussi que la diffusivité D kt est proportionnelle à ν t . On adonc, dans le terme (d) de (3.55) :ν tD kt = (3.58)σkla constante de proportionnalité σ k devant faire l’objet d’un calage expérimental.L’équation en k se présente donc finalement ainsi :2jV∂k∂x⎛⎜∂V⎝∂x∂V⎞ ∂V1/ 2 i j iti = l k + ⎟ + ⎨ νµij xix⎜ +∂∂ j i σ k⎠∂∂x⎪⎧⎛⎪⎩ ⎝ν ⎞ ∂k⎪⎫⎟ ⎬ − C⎠ ∂xi⎪⎭k3 / 2l(3.59)Bien évidemment, tout ce travail ne dispense pas de faire des hypothèses adéquates surl et l θ pour fermer le système.En définitive, le système d’équations à résoudre est celui du paragraphe 3.3.6(équations 18, 27, 45) auquel vient s’ajouter l’équation en k (3.59) pour la détermination de ν t .3.4.2. – Modèle « k – epsilon » (k - ε ) standard3.4.2.1 - PRINCIPE♣Les insuffisances du modèle k-l ont conduit à une sorte de fuite en avant qui s’estessentiellement focalisée sur l’élaboration d’une nouvelle équation de bilan couplée avecl’équation en k, et supposée apporter des éléments plus solides que les hypothèses sur leparamètre « l », ce qui a donné naissance à des modèles dits « à deux équations ». Le plusconnu d’entre eux est appelé modèle k-ε.Dans le modèle k-ε , le point de départ est le même que dans le modèle k-l : pourrésoudre le problème dynamique, on admet l’existence d’une viscosité turbulente ν t , et l’onreprend l’hypothèse (3.57) :

2kε = Cµν tMais cette fois, il n’est pas fait appel à une quelconque notion de longueur de mélange.De la relation précédente, on tire simplement :2kν t = Cµ(3.60)εOn reprend alors l’équation en k (3.55) à laquelle on adjoint une relation de bilan pourla dissipation ε.♦ Tout d’abord, compte tenu de (3.57) et (3.60), l’équation (3.55) devient ;Vi∂k∂xi=⎛ ∂V∂V⎞ ∂V⎪⎧⎛⎪⎩ ⎝ν ⎞ ∂k⎪⎫⎠ ⎪⎭i j itν ⎜t + ⎟ + ⎨ ν ⎬ − Cµx j xix j x⎜ +i σ⎟∂ ∂∂ ∂k ∂xi⎝⎠∂kν2t(3.61)♥Quant à la nouvelle équation de bilan pour la dissipation ε ,elle est établie en partantdu bilan relatif aux fluctuations (3.11), dont on prend le gradient, et que l’on multiplie ensuitescalairement par2 D c grad c . Le passage aux valeurs moyennes conduit à l’équationcherchée, à condition de remplacer c par v j et D c par ν (Annexe 3.A.7, éq. 11).Avec cette relation, les difficultés ne sont pas aplanies pour autant, car elle n’est pasutilisable directement. De plus, la modélisation de ses termes est d’autant moins facile queleur signification physique commence à devenir passablement abstraite, même si on yreconnaît encore des sources surfaciques et volumiques.Tout d’abord, une analyse des ordres de grandeur des différentes sources montre queles trois premières (b 1 , b 2 , c 2 ) sont généralement négligeables. Aussi nous ne réécrirons cidessousque les termes conservés :Vk∂ε∂xk∂= − ν∂xk∂vi− 2ν∂x⎛ ∂ε⎞⎜ − 2x⎟ ν⎝ ∂ k ⎠j∂v∂xik∂v∂xkj2∂∂xj2v∂xki∂− ν∂xk⎛⎜v⎝∂xk∂2jv∂v∂x∂xijik∂v∂xij⎞⎟⎠( g( h12), ( g), (h12))(3.63)Dans ce qui reste, deux autres termes ne sont pas trop difficiles à traiter : ce sont (g 1 ) et(h 1 ), correspondant à des sources surfaciques. Le premier représente une diffusion de εgouvernée par la viscosité moléculaire, et n’a pas besoin d’être retouché. Le second s’écritvectoriellement :⎛ ⎞⎜∂vi∂viν div v⎟⎝∂xj ∂xj ⎠Il présente une ressemblance avec le terme (d 2 ) de (3.50), et peut faire l’objet d’untraitement analogue, par lequel la relation (3.51) devient :∂vi∂viν v = ε'v(3.64a)∂x∂xjj

où ε’ est la fluctuation de la dissipation ε. Ainsi, on introduit une diffusivité turbulente D ε t deε , et on pose, de la même façon que dans (3.53) :⎛ ⎞⎜∂vi∂viν div v⎟= div ε'v = − div ( D )ε t grad ε⎝∂xj ∂xj ⎠(3.64b)∂ ⎛ ∂ε⎞= −⎜ Dεt⎟∂xi⎝ ∂xi⎠puis enfin on admet (comme pour D kt , relation 3.58) que D ε t est proportionnelle à ladiffusivité turbulente ν t soit, en appelant σ ε la constante de proportionnalité :ν tD ε t = (3.64c)σ εsi bien que (h 1 ) s’écrit enfin :⎛ ⎞⎜∂vi∂vi⎟∂ ⎛ ν ∂ ⎞= −⎜t εν div v⎟(3.65)⎝∂xj ∂xj ⎠∂xi⎝ σ k ∂xi⎠Les choses se compliquent avec les sources volumiques représentées par les termes (g 2 )et (h 2 ). Pour les raccrocher aux grandeurs déjà définies (Φ, k, ε, ν t ), on est amené à leurappliquer une analyse à la fois paramétrique et dimensionnelle, en remarquant que laressemblance des bilans de k et de ε doit se retrouver dans les équations modélisées. Il sortfinalement du chapeau :⎛ V2V j ⎞ V( g ) ( h ) C C k ⎜∂ ∂i ∂ i ε2 + 2 = ε 1 µ + ⎟ − Cε2(3.66)x j x⎝∂ ∂ i ⎠∂xj koù C ε1 et C ε2 sont de nouvelles constantes, que l’expérience seule permet d’évaluer.♠ La forme opérationnelle finale de l’équation en ε (3.63) est donc :V2∂ε⎛ V j ⎞i Vi⎪⎧ν t ε ⎪⎫V C C k ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ εi = ε 1 µ + ⎟ + ⎨ ν ⎬ − Cε2xix j xix j x⎜ +i ⎪⎩ σ⎟(3.67)∂⎝∂ ∂⎠∂ ∂ ⎝ ε ⎠ ∂xi⎪⎭ k(comme deux indices - en l’occurrence i et j - suffisent ici, l’indice k a été écarté pour évitertoute confusion avec l’énergie cinétique de turbulence).On dispose alors d’un système de deux équations (3.61 et 3.67) à deux inconnues (k etε) qui permet de calculer la viscosité turbulente ν t à partir de (3.60). Elles sont rassemblées cidessous,en écriture cartésienne :Vi∂k∂xi=∂εVi= C∂xi⎛ ∂V∂V⎞ ∂V⎪⎧⎛⎪⎩ ⎝ν ⎞ ∂k⎪⎫⎠ ⎪⎭i j itν ⎜t + ⎟ + ⎨ ν ⎬ − Cµx j xix j x⎜ +i σ⎟∂ ∂∂ ∂k ∂xi⎝ε 1Cµ⎛ Vk ⎜∂⎝∂xij⎠∂V+∂xij∂⎞⎟∂Vi⎠∂xj∂+∂xi⎪⎧⎛⎨⎜ν+⎪⎩ ⎝kν2ν t ⎞ ∂ε⎪⎫− Cσ⎟ ⎬ε ⎠ ∂xi⎪⎭tε 22εk(3.68)

et aussi en écriture vectorielle, la trace d’un tenseur (somme des éléments de la diagonaleprincipale) étant notée Tr :V .grad k =V .grad ε = C( 2 D ⊗ grad V )⎧⎛tν t Tr+ div ⎨⎜ν+ grad k⎬− Cµσ⎟kε 1Cµk Tr⎩⎝ν⎞⎠2⎪⎧⎛ ν t ⎞ ⎪⎫ε( 2 D ⊗ grad V ) + div ⎨⎜ν+ grad ε ⎬ − Cε2σ⎟k⎪⎩ ⎝Sur une paroi, les conditions aux limites admises sont :ε⎫⎭⎠kν2t⎪⎭(3.69)k = 0 ; ∂k/ ∂y= 0 ; ε = 0(3.70a)A titre d’exemple, voici les constantes adoptées dans le « modèle standard » pour unjet axisymétrique ou une couche limite :C 0,09 ; σ k = 1 ; C 1 = 1,44 ; = 1,3 ; C 2 = 1,92(3.70b)µ = ε σ εε3.4.2.2. – PROCÉDURE DE RÉSOLUTIONAu total, le modèle standard requiert la résolution de six équations dynamiques.Schématiquement, l’algorithme de résolution se déroule comme suit, du moins enconvection forcée, lorsque les équations dynamiques et thermique sont découplées :1.- Choisir des valeurs de départ k 0 , ε 0 , d’où l’on tire au moyen de (3.60), la viscositéturbulente de départ ν t0 .2.- Avec cette viscosité, résoudre les équations dynamiques (3.18a) et (3.27) pour obtenir unchamp de vitesses moyennes.3.- Résoudre les équations couplées (3.68) en k et ε.4.- Recalculer ν t par (3.60) et revenir à 2.5.- Réitérer l’opération jusqu’à la convergence.6.- Résoudre l’équation d’énergie (3.40).3.4.3. – Variantes du modèle k - ε standardLe schéma de base, dont les grandes lignes viennent d’être présentées, ne marche pasdans toutes les situations. Faute de mieux, il a donné naissance à un nombre considérable devariantes et de sous-variantes (beaucoup d’entre elles ne se distinguent que par la valeur desconstantes) destinées à améliorer ses performances dans telle ou telle catégorie d’application.Nous n’en donnerons que les idées directrices.

3.4.3.1. – MODÈLES À BAS NOMBRE DE REYNOLDSUn défaut du modèle k - ε standard est qu’il surévalue le frottement et le flux dechaleur dans les écoulements de couche limite avec gradient de pression adverse.Les modèles dits (improprement) « à bas Reynolds » essaient de corriger cetinconvénient. Ils consistent à introduire des termes correctifs pour mieux tenir compte deseffets de parois. Ceux-ci prennent généralement la forme de fonctions d’amortissement,notées f µ et f 2 .La première, f µ , est appliquée à la viscosité turbulente, qui devient :2kν t = Cµf µ(3.71)εPar ricochet, dans l’équation en ε, le facteur du premier terme C ε1 C µ k, qui s’écrivaitaussi en raison de (3.60) :εCε 1 Cµk = Cε1 ν tkdevient de ce fait : C f kC ε 1 µ µLa seconde, f 2 , est appliquée au dernier terme de l’équation en ε.Formellement, dans (3.68) l’équation en k est donc inchangée tandis que l’équation enε est corrigée comme suit :Vi∂ε∂xi= Cε 1Cµfµk⎛⎜∂V⎝∂xij+∂V∂xij⎞⎟⎠∂V∂xij+∂∂xi⎪⎧⎛⎨⎜ν+⎪⎩ ⎝ν t ⎞ ∂ε⎪⎫− Cσ⎟ ⎬ε ⎠ ∂xi⎪⎭ε 2f22εk(3.72)Quant à ces fonctions d’amortissement f µ et f 2 , elles ont été ajustées (pour ne pas direbricolées) à l’aide d’un nouveau paramètre, le « nombre de Reynolds turbulent » R t défini par :2kR t = (3.73)ν εL’appellation inattendue de « Reynolds turbulent » trouve une justification partiellegrâce aux échelles de turbulence (§ 3.6.4) mais elle est malencontreuse, car R t n’a rien à voiravec le nombre de Reynolds Re de l’écoulement.Parmi les diverses fonctions d’amortissement qui ont été proposées, citons seulementcomme exemples :−2,5( 1 + Rt / 50f = e) 2µ (Jones et Launder) (3.74a)f22Rt−36= 1 − 0,22 e(Hanjalic) (3.74b)Mais pourquoi appelle–t–on ces modèles « bas Reynolds » ? C’est que, d’après (3.60)et (3.73) :

2k 1 ν tR t = =(3.74c)ε C f νν µ µAvec la dernière formule, on vérifie facilement que les valeurs numériques nedépassent guère 100, et sont donc bien inférieures à celles de Re.Bref, tout ceci repose sur un échafaudage qui laisse un sentiment d’insatisfaction, tantdu point de vue sémantique que physique, mais avec une justification de poids : les résultatssont meilleurs que ceux du modèle standard.3.4.3.2. – MODÈLE « k - ε RNG »Basée sur une technique mathématique appelée renormalisation (d’où l’acronymeRNG : Re – Normalization Group), cette variante se caractérise en pratique, dans l’équationen ε, par un coefficient C ε2 dépendant de k/ε , donc variable. Ceci permet d’amortir laturbulence dans les régions à fort taux de déformation (turbulence surévaluée par le modèlestandard).La qualité des résultats est améliorée pour l’écoulement en aval d’une marche, leszones de décollement – recollement et les écoulements tourbillonnaires.3.4.3.3. - MODÈLE « k - ε RÉALISABLE »Le concept de « réalisabilité » introduit par Lumley signifie que le modèle doitrespecter des situations asymptotiques. Par exemple, k et ε ne doivent jamais être négatifs.Ces contraintes entraînent une adaptation de l’équation en ε, de la forme :∂ε⎛ ⎞ ⎪⎧ν ε ⎪⎫εε ⎜∂ ∂V2Vij⎟∂Vi∂ ⎛ ⎞ ∂⎨⎜tVi = C1+ + ν + ⎬ − ε⎪⎩ σ⎟ C∂2(3.75)xi⎝∂xj ∂xi⎠∂xj ∂xi⎝ ε ⎠ ∂xi⎪⎭ k + ν εoù C 1 est une fonction de k/ε.Ce modèle paraît bien adapté aux jets circulaires, couches limites avec fort gradient depression adverse, écoulements à forte courbure et écoulements tourbillonnaires.3.4.3 4. - MODÈLE AUX TENSIONS DE REYNOLDS (RSM)Dans le modèle aux tensions (ou contraintes) de Reynolds (Reynolds Stress Model =RSM), l’équation en k est remplacée par le système d’équations (3.47) en v i v j (qui représentephysiquement, au facteur ρ près, un bilan de quantité de mouvement turbulente). Comme il ya 6 composantes v distinctes (vu la symétrie du tenseur de Reynolds), donc 6 équations, lei v jmodèle k - ε à deux équations devient ici un modèle « vi v j- ε » à 7 équations dynamiques.

Rappelons les équations (3.47), avec les indices i et j :V . grad vivj= − viv− 2νgrad v+ ν divgrad Vij− vv.grad vgrad V( grad v v ) − div v v vijjjiij(LÉONARD, par Turk et de Groot)1 ⎛ p' p' ⎞⎜∂ ∂− v j + v ⎟iρ xix⎝∂ ∂ j ⎠(3.76)Dans la version Launder – Reece – Rodi :a) - les deux premiers termes sont conservés sans modificationb) - le dernier terme (corrélation triple) est modélisé d’une manière analogue à (3.53), mais entenant compte du caractère tensoriel des v par l’introduction d’un tenseur gradient duchamp des vitesses turbulentes, analogue ài v jgrad V (voir ch.1):div v⎧⎫i v j v = − div ⎨DSgrad v . v⎬(3.77a)⎩⎭avec un coefficient de diffusion:kDS = CSε(3.77b)soit sous forme cartésienne :∂ ⎛⎞⎜ k ∂ viv jdiv v = −⎟i v j v CSvkvl(3.77c)∂x⎜⎟k ⎝ε ∂xl⎠c) – les termes en ν sont négligésd) – il faut bien se tenir à la rampe pour admettre que le terme de corrélation pression –vitesse devient (toujours pour un fluide isochore):C ⎛ ∂1 εV j ∂V⎞⎜i− viv j + C2⎟vivk+ v j vk(3.77d)k⎝ ∂xk∂xk⎠

En fin de compte, en regroupant, le nouveau système déduit de (3.76) est de la forme :Vk∂ v vi∂xkj= −C1εvkivj+( C − 1)2⎛⎜viv⎝k∂V∂xjk+ vjvk∂V∂xik⎞⎟−⎠∂∂xk⎛⎜C⎜⎝Skvεkvl∂ viv j⎞⎟∂x⎟l ⎠(3.78)D’autre part, l’équation en ε est aussi un peu arrangée pour faire apparaître lescorrélationsv i v j : εε C 1 ( − viv j )2∂Vi∂ ⎛ k ε ⎞V .grad⎜∂ ε= ε+ C viv ⎟ε j − Cε2(3.79)k ∂xj ∂xi ε x⎝∂ j ⎠kavec pour constantes :1,8 ; C = 0,6 ; C = 0,22 ; C = 1,45 ; C = 0,18 ; C 1,92C1 = 2Sε 1εε 2 =Ce modèle a été construit pour mieux décrire les cellules contra – rotatives, mais àcause du nombre d’équations à résoudre il est assez gourmand en temps de calcul.3.4.4. – Modèle « k – oméga » (k - ω)Concurrent du modèle k - ε, le modèle k - ω fait appel aux mêmes idées directrices,mais remplace l’équation en ε par un bilan de vorticité turbulente.Rappelons d’abord quelques notions présentées dans le chapitre 1 (§ 1.2.1 ♦ et 1.4.1).Dans un écoulement bidimensionnel, le vecteur tourbillon 2 Ω = rotVa pour composantes(0, 0, Ω ), où Ω (oméga majuscule) est appelée vorticité de l’écoulement. Cette vorticité, quis’exprime en s – 1 , est solution d’une équation de bilan dans laquelle la pression ne figure pas(équation 1.81).

Dans un écoulement bidimensionnel turbulent, on peut considérer la vorticitéinstantanée comme la somme d’une moyenne Ω et d’une fluctuation de vorticité ω (omégaminuscule), ou vorticité turbulente. L’équation de bilan (3.11) pour une fluctuation c etl’équation de bilan de2c (Annexe 3.A.6) s’appliquent donc à ω.Plus généralement, si l’écoulement est tridimensionnel, le vecteur tourbillon possèdetrois composantes non nulles : 2 Ω = ( Ω , Ω Ω )1 2 ,3, chacune d’elles subissant unefluctuation instantanée ω i (i = 1, 2, 3).Introduisons alors une fluctuation quadratique moyenne de vorticité :2ω = ω ω (s - 2 )iiEn remplaçant c par ω dans le bilan deV .grad ω2= − 2 ω v . grad Ω − 2 D+ Dωidiv grad ω(il n’y a pas de source volumique2i− div ω ω v2c (équation (5), annexe 3.A.6), il vient :Ω'q I pour la vorticité).igrad ω .grad ωLes différents termes subissent un traitement analogue à ceux de l’équation en ε.iii(3.80a)Mais il faut en outre postuler une relation entre ε, k et ω , directement ou sous laforme d’une hypothèse sur la longueur de mélange l (dans 3.57a). La forme retenue (Wilcox1992) est :l =k(3.80b)2ωd’où, avec (3.57a) :t k /2ν = ω(3.80c)et, en conservant (3.60) :V .grad ωε µ2= C k ω(3.80d)Dans sa forme la plus simple, l’équation en ω s’écrit :2⎛22 V V j ⎞i Vi⎪⎧t ( ) ⎪⎫2C ⎜∂ ∂⎟∂ ∂ ⎛ ν ⎞ ∂ ω= 1− C 2 ⎜⎛⎟⎞ω ω + + ⎨⎬x j xix j x⎜ν+⎟ω ω⎝∂ ∂⎠∂ ∂ i∂xi⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎝ σ ω ⎠ ⎪⎭avec Cω 1 = 1, 11 ; Cω 2 = 0, 15 et σ ω = 2 .23 / 2(3.81a)L’équation en k est la même que dans le modèle k - ε, mais on fait apparaître ω dansle dernier terme, ce qui donne :Vi∂k∂xi=⎛ ∂V∂V⎞ ∂V⎪⎧⎛⎪⎩ ⎝ν ⎞ ∂k⎪⎫⎠ ⎪⎭i j itν ⎜t + ⎟ + ⎨ ν ⎬ − Cµx j xix j x⎜ +i σ⎟∂ ∂∂ ∂k ∂xi⎝⎠∂kω2(3.81b)

Le modèle k - ω repose peut-être sur des bases un peu plus physiques que le modèle2k −ε , puisque le bilan de ω est obtenu de façon analogue au bilan de k, mais il est toutaussi artificiel dans le traitement des termes de ce bilan. Néanmoins, il semble donner demeilleurs résultats dans les écoulements autour d’obstacles de forme complexe.3.4.5. – Les taux de turbulence♣Dans une description statistique de la turbulence, on peut considérer que l’un des2paramètres essentiels est la variance c d’une fluctuation c. C’est en effet la grandeur la plussimple permettant de caractériser l’amplitude des fluctuations de C(t). Elle présente en outrel’avantage d’être relativement plus accessible à la mesure que les covariances c v j puisqu’onl’obtient aisément à partir d’un enregistrement local de la grandeur C(t). De plus, nous avonsvu que l’on peut établir des équations de bilans pour les différentes grandeurscinétique de turbulence k et la vorticité turbulente ω en font partie).2c (l’énergiePour évaluer ces variances par rapport aux caractéristiques moyennes de l’écoulement,on introduit un « taux de turbulence I c de la grandeur C(t) » en posant :2cIc = C(3.82a)♦ Les taux de turbulence usuels sont :- le « taux de turbulence thermique »2θIθ =(3.82b)T − T°où T° est une température de référence.- les « taux de turbulence dynamiques » :j2jvI j = (3.82c)VEn fait, I j est couramment dénommée, de façon quelque peu impropre intensité deturbulence dans la direction j. Elle peut varier de quelques pour cent en soufflerie jusqu’àplus de 30% dans les écoulements atmosphériques.♥On parle de « turbulence homogène » lorsque les2i i =2v j sont sensiblement uniformesdans chaque direction j (autrement dit ∂ v / ∂x0 ou faiblement variable). Alors, l’énergiecinétique de turbulence k est également uniforme dans l écoulement puisque k = v v / 2(définition 3.35).jj

♠Un paramètre assez représentatif est « l’intensité globale de turbulence » :I =2u2+ v2+ w=v j v j=2 k(3.82d)VV VLa « turbulence de grille » est une turbulence « commandée », donc contrôlable,obtenue au moyen d’une grille oscillante qui vibre perpendiculairement à son plan, selon ladirection de l’écoulement. Elle est le plus souvent réalisée dans une soufflerie, pour disposerd’un écoulement amont uniforme. Ses caractéristiques sont déterminées par la maille et latrame de la grille, et par sa fréquence et son amplitude de vibration.Dans ces conditions, l’écoulement moyen est unidimensionnel. Le modèle k-ε standards’applique (sauf très près des parois) et donne des solutions analytiques dans les cas les plussimples.Un cas limite est celui d’une grille immobile (turbulence passive). L’expériencemontre alors que les termes de diffusion du modèle k-ε peuvent être négligés. Il reste doncseulement dans (3.68), en appelant x la direction de l’écoulement :dkU = − εdx(3.83a)2dεεU = − Cε2dx kOn vérifie que ce système possède une solution de la forme :k1C−− ε 2C 2 − 1A C 2 − 1= A xε; = U xεCε2 − 1ε (3.83b)où A dépend de la grille.La production d’énergie cinétique turbulente est nulle, et il y a donc décroissance de klorsqu’on s’éloigne de la grille, en raison de la dissipation.On notera que la viscosité turbulente (négligée dans le calcul mais néanmoins nonnulle) est d’après (3.60) :C2 ε 2k Cν t = C ≈ xε 2µ−−21≈ x−0,080,92εL’exposant de x étant petit, ν t décroît très lentement, et peut être considérée commesensiblement constante.3.5. – DESCRIPTION NON LOCALE DE LA TURBULENCE3.5.1. – Limites de la théorie statistique localeAu début de ce chapitre, en présentant les données expérimentales, nous avons évoquéla structure spatiale de la turbulence caractérisée par un enchevêtrement de tourbillons plus oumoins éphémères et de dimensions très variables.

Mais la théorie statistique locale ne fait pas apparaître explicitement cet aspect deschoses. Plus précisément, le phénomène se trouve doublement édulcoré par la descriptionutilisée.♣D’une part, la méthode ne permet pas de savoir si les fluctuations en deux pointsvoisins sont corrélées : la structure spatiale de la turbulence se trouve ainsi masquée.En effet, l’existence d’une corrélation entre les fluctuations de vitesse en deux points Aet B signifie qu’une même « bouffée » de turbulence englobe les deux points. La dimensionde ce tourbillon dans la direction AB est donc en moyenne supérieure à la distance AB. Sans laconnaissance de telles corrélations, on ne peut accéder à ce qu’on appelle « l’échellespatiale » de la turbulence.♦D’autre part, en rabotant ce qui est de nature instationnaire, le passage aux valeursmoyennes camoufle les relations qui peuvent exister entre les fluctuations en un point donné àdifférents instants.Car si, en un point A, les fluctuations en deux instants voisins t et t + τ sont corrélées,c’est que la durée de vie du tourbillon qui contient A est supérieure à τ . La méthode nepermet donc pas non plus d’accéder directement à « l’échelle des temps » de la turbulence.♥Les considérations qui précèdent ont des implications pratiques non négligeables. Aupoint de vue expérimental, tout d’abord, sur les dimensions des sondes et sur leur position.En schématisant un peu, il est clair que si les deux extrémités d’une sonde se trouventen deux points non corrélés, la mesure effectuée n’aura aucune valeur locale ; de même, si letemps de réponse de la chaîne de mesure est supérieur à la durée de vie d’un tourbillon, on nepourra évidemment pas mesurer la valeur instantanée d’une fluctuation.En outre, lorsqu’on procède à une résolution numérique des équations de bilans, il estimportant de connaître les ordres de grandeur des dimensions et des durées de vie destourbillons, pour ajuster au mieux le maillage ∆x, ∆t.♠Implications pratiques également pour la modélisation ; outre ses effets sur unemeilleure analyse des mécanismes turbulents, la connaissance des « échelles de turbulence »et des covariances c v peut guider le choix de lois phénoménologiques pour les diffusivitésturbulentes a t , ν t …ou pour certains termes des équations en k , ε , ω , et donc contribuer àaméliorer les résultats des modèles.3.5.2. – Coefficients de corrélation entre grandeurs fluctuantes3.5.2.1 – CORRÉLATIONS ENTRE LES FLUCTUATIONS DE VITESSE♣Coefficients d’intercorrélationConsidérons deux points A et B dans un écoulement ; soient v iA et v iB les fluctuationsde vitesse en A et B dans la direction i.Pour caractériser en moyenne l’interaction entre v i en A à l’instant t et v i en B au mêmeinstant t, on introduit le « coefficient d’intercorrélation de v iA et v iB », noté R i (AB), qui est unnombre sans dimension défini par :viAviBR i ( AB)= (3.84)v v2iA2iB

A chacune des trois directions de coordonnées correspond un coefficient R i( i = 1,2 ou 3 ) qui dépend à la fois de la direction AB et de la distance r qui sépare A et B.Généralement, la direction AB est choisie pour coïncider avec une direction de coordonnée j.On symbolisera alors par r j la direction et la distance AB, et l’on notera pour plus de clarté :R AB)= R ( A,r )(3.85a)i ( i jD’une façon générale, les coefficients d’intercorrélation sont des fonctionsdécroissantes de r j au voisinage de A. En A, c’est-à-dire pour r = 0 , on a dans tous les casd’après la définition (3.84) :R i ( A,0) = 1(3.85b)et ailleurs (Annexe 3.A.2) :R ( A,≠ 0) < 1(3.85c)i r jDeux exemples de variations sont donnés sur les figures 3.3 et 3.4 pour descoefficients de la forme R 1 (A, r 1 ) et R 1 (A, r 2 ).Bien entendu, quand r → ∞ , on doit avoir R ( A,) → 0 puisque au-delà d’uneji r jcertaine distance les particules fluides en A et B n’appartiennent plus à une même bouffée deturbulence ; il ne peut donc y avoir de corrélation entre leurs paramètres fluctuants.jFIG. 3.3. – Coefficient d’intercorrélation de v 1A et v 1B dans la direction 1 :variation en fonction de r 1FIG. 3.4. – Coefficient d’intercorrélation de v 1A et v 1B dans la direction 2 :exemple de variation en fonction de r 2

♦Coefficients d’autocorrélationDonnons-nous maintenant un point A et un intervalle de temps τ .Afin de caractériser en moyenne la relation entre la fluctuation v iA en A à l’instant t etla même grandeur v iA à l’instant t + τ , on définit un « coefficient d’autocorrélation de v i en Asur la durée τ » :viA(t).v ( t + τ )Ri( A,τ ) = (3.86)viA2iAEn chaque point A, les ( A,τ ) sont au nombre de trois (i = 1, 2 ou 3). Ce sont desR inombres sans dimension, fonctions de la variable τ.De même que les R i (A,R j ), les coefficients d’autocorrélation R i (A,τ) sont des fonctionsdécroissantes de τ (fig. 3.5). Pour τ = 0, on a toujours R i (A, 0) = 1 d’après la définition (3.86).En outre, R i ( A,τ ) → 0 lorsque τ → ∞ : il n’y a plus alors de corrélation entre v iA (t)etv iA ( t + τ ) .FIG. 3.5. – Coefficient d’autocorrélation de v iA sur la durée τ :variation en fonction de τ♥Coefficient de corrélation spatio-temporelEnfin, il est parfois utile d’introduire un « coefficient de corrélation spatio-temporel »des fluctuations de v i en A et B sur une durée τ , pour relier la fluctuation v iA en A à l’instant tet la fluctuation v iB en B à l’instant t + τ . On la note ( AB,τ ) , ou conformément à laconvention (3.85a), R ( A,, τ ) :R ( A,riji r jviA(t)viB( t + τ ), τ ) = (3.87)v v2iA2iBL’intérêt de ce paramètre est le suivant : Si l’on place deux sondes pour mesurer v iaux points A et B, on observe que R ( A,, τ ) est maximum pour un intervalle de tempsi r joptimum τ m qui est le temps nécessaire à une perturbation de v i pour se propager d’unesonde à l’autre (fig. 3.6). Ainsi, on peut évaluer expérimentalement la célérité d’uneperturbation et son amortissement.R i

FIG. 3.6 – Coefficient de corrélation spatio-temporel de v iA (t)et v iB (t + τ).Exemple de variation en fonction de τ3.5.2.2. – GÉNÉRALISATION À L’ENSEMBLE DES GRANDEURS FLUCTUANTESPour ne pas trop embrouiller l’exposé, nous avons présenté les définitions desdifférents coefficients de corrélation en ne retenant que les fluctuations de vitesse. Mais il vade soi que tout ce qui a été dit là s’étend aux autres grandeurs fluctuantes. Les diversescorrélations physiquement intéressantes s’expriment au moyen des quatre coefficients sansdimension ci-dessous :♣ Coefficient d’intercorrélation de c en A et B :c cA BRc ( AB)= Rc( A,rj) =(3.88a)c c2A2B♦ Coefficient d’intercorrélation de c 1 et c 2 en A :c c1 2R c1c ( A ) = (3.88b)22 2c c12Le plus souvent, c 1 ou c 2 est une fluctuation de vitesse v iA .♥ Coefficient d’autocorrélation de c en A sur une durée τ :c ( t ) c ( t + τ )A AR ( A, τ ) = (3.88c)C2cA♠ Coefficient de corrélation spatio-temporel de c en A et B sur une durée τ :c ( t)c ( t + τ )A BRc( A,rj, τ ) = (3.88d)c2c2AB

En convection thermique (resp. massique), ces différentes grandeurs permettent derepérer les corrélations entre les fluctuations de température θ (resp. les fluctuations deconcentration), ou entre ces dernières et une fluctuation de vitesse v i .3.5.2.3. – DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS RLes termes v v , v2 , v θ , θ2, etc., qui interviennent dans les différentsiAiBiAiAAAcoefficients R, sont déterminés par calcul statistique à partir des enregistrementsexpérimentaux des valeurs instantanées v iA (t), θ (t)…Il en résulte une certaine imprécision dans les résultats, à laquelle il est assez difficilede remédier. En particulier, on obtient parfois (surtout pour les R i (A, r i ), c’est-à-dire dans lesens longitudinal, cf. définition (3.85a) et fig. 3.3) des coefficients de corrélation qui netendent pas vers zéro lorsque r i (ou τ) devient grand, ce qui n’est guère justifiablephysiquement. Nous en reparlerons à propos des macro-échelles de turbulence.3.6. – ECHELLES DE TURBULENCE3.6.1. – Approche physiquePour présenter la notion d’échelle de turbulence il est commode de raisonner d’abordsur la structure spatiale du champ des vitesses, qui constitue l’aspect le plus important duproblème, puis de généraliser ensuite à d’autres grandeurs fluctuantes.Les structures turbulentes sont, comme nous l’avons déjà vu, de tailles très variables etconstamment évolutives. C’est dans les grandes structures que s’échange l’essentiel del’énergie cinétique (ou de la quantité de mouvement), tandis que dans les petites structuresc’est la dissipation visqueuse qui est dominante.Pour un écoulement donné, les dimensions des tourbillons sont comprises entre deuxbornes : au-delà d’une certaine taille, la viscosité ne peut plus assurer la cohérence d’untourbillon, celui-ci perd alors son individualité et devient instable ; en deçà d’une tailleminimale, c’est l’énergie cinétique qui devient insuffisante pour assurer sa survie, face auxeffets de la viscosité qui tendent à homogénéiser l’écoulement. Les ordres de grandeur desdimensions correspondantes sont appelés « échelles dynamiques spatiales de turbulence », ouplus simplement « échelles dynamiques des longueurs ».Quant à l’évolution des structures turbulentes, elle peut être comparée à une sorte decascade. Un grand tourbillon, que sa taille rend instable, franchit successivement diverséchelons de la plus grande à la plus petite échelle, en se scindant à chaque étape en plusieurstourbillons plus petits. Au cours de ces opérations de fractionnement, son énergie cinétique setrouve évidemment partagée entre les nouveaux tourbillons auxquels il a donné naissance.Le rapport entre les plus grandes et les plus petites échelles dynamiques peut dépasserun facteur 100. Entre ces deux extrêmes, pour certaines dimensions optimales, il arrive que lestourbillons fassent preuve d’une relative stabilité et bénéficient ainsi d’une plus grandelongévité.On appelle « turbulence développée » ou « établie » une turbulence dans laquelle leséchelles porteuses d’énergie et celles où se fait la dissipation sont nettement séparées.

Les mêmes considérations sont applicables aussi à la durée de vie des structuresturbulentes. Elles conduisent à définir des « échelles dynamiques des temps ».Dans l’ordre décroissant, les échelles de turbulence sont appelées macro-échelles,petites échelles et enfin micro-échelles.3.6.2. – Macro-échelles3.6.2.1. – MACRO-ÉCHELLES DYNAMIQUES DES LONGUEURS♣Macro-échelles statistiquesLa connaissance des coefficients de corrélation doit en principe permettre d’estimer leséchelles de turbulence. Mais malheureusement on ne dispose pas pour cela d’un critèreindiscutable fourni par la théorie. Il faut donc avoir recours à des définitions conventionnelles.• Échelles intégralesLa convention la plus usuelle consiste à calculer la grandeur∫ ∞0L = R ( A, r ) dr(3.89)i,jijjappelée échelle intégrale des longueurs dans la direction j pour les fluctuations v i . Soninterprétation géométrique est évidente, l’aire sous-tendue par la courbe Ri ( A, rj) étantégale à l’aire du rectangle de hauteur 1 et de base L i,j (fig. 3.7).FIG. 3.7. – Échelle intégrale des longueurs L i,j et échelle expérimentale L EjSi l’on s’en tient à l’ordre de grandeur, l’échelle intégrale L ,j colle habituellementassez bien avec l’échelle moyenne des grands tourbillons. Cependant, son évaluation n’est pastoujours aisée, en particulier dans les cas déjà signalés (§ 3.5.2.3) où R i ne tend pas vers zéro(ou tend trop lentement) car il faut alors décider jusqu’à quelle valeur de r j on intègre dansl’expression (3.89).

• Échelles expérimentalesOn pourrait aussi simplifier la procédure, et admettre que l’échelle des grandstourbillons est la distance L Ej au-delà de laquelle le coefficient d’intercorrélation R i (A,r j )devient inférieur à une valeur R im considérée comme un minimum significatif (fig. 3.7).Le choix de ce minimum R im est évidemment un peu arbitraire et requiert une certainepratique. Mais il permet aussi d’évacuer l’incidence de diverses erreurs systématiques, enparticulier lorsque R i ne tend pas vers zéro pour les grandes valeurs de r j .Les échelles expérimentales L Ej sont supérieures aux échelles intégrales L i,j etcorrespondent plutôt aux plus grandes des structures turbulentes. Mais cette divergence n’estpas très gênante puisqu’on ne peut de toute façon atteindre que des ordres de grandeur.A cet égard, quelle que soit la définition retenue, et sauf contre-indication manifeste,on adoptera de préférence pour macro-échelle pratique L (ou L E ) en chaque point la plusgrande des valeurs L i,j (ou L Ej ) (i ou j = 1, 2 ou 3 selon la direction considérée).♦Macro-échelles phénoménologiquesPour introduire des échelles caractéristiques de la turbulence, une procédure tout à faitdifférente consiste à examiner les mécanismes physiques par le biais de leur équation auxdimensions (ceci ne doit pas être confondu avec la similitude). Nous en avons déjà rencontrédeux exemples qui concernent l’expression de la diffusivité turbulente dans le modèle pseudolaminaire,sur lesquels nous allons revenir maintenant.• Premier point de vue : on s’intéresse à la quantité de mouvementLe transport de quantité de mouvement par les fluctuations de vitesse a été assimilé àun mécanisme de diffusion, caractérisé par une diffusivité turbulente ν t , et l’hypothèse dePrandtl (3.32) stipule que ν t est proportionnelle au gradient de vitesse transversal, soit :ν = X ∂U/ ∂y(3.90a)tAu point de vue dimensionnel, X est obligatoirement le carré d’une longueur, d’où :ν = l 2 ∂U/ ∂y(3.90b)tformule dans laquelle l a été appelée longueur de mélange.Sachant que la diffusion turbulente de quantité de mouvement est essentiellementassurée par les grandes structures, il est alors licite d’interpréter l comme une macro-échellede diffusion turbulente de la quantité de mouvement.On doit remarquer que cette approche convient mieux à proximité des parois (où legradient de vitesse est élevé) que dans l’écoulement général, où le gradient de vitessemoyenne tend vers zéro.• Second point de vue : on s’intéresse à l’énergie cinétiqueLe raisonnement est à peu près le même, mais on privilégie cette fois unrapprochement entre la viscosité turbulente et l’énergie cinétique de turbulence : c’estl’hypothèse de Prandtl-Kolmogorov (3.36a) que nous écrivons simplement ici :ν L k 1/ 2(3.90c)t =

L’équation aux dimensions correspondante montre que L est homogène à une longueur,qui présente alors le sens d’une macro-échelle de diffusion de l’énergie cinétique deturbulence.Cette deuxième approche a une validité plus large que la précédente, car elle est mieuxadaptée à la description des écoulements loin des parois, où l’énergie cinétique de turbulenceatteint sa valeur maximale.• Selon le point considéré dans l’écoulement, les ordres de grandeur de l ou L peuventaller de l’échelle sub-millimétrique (près d’une paroi) à l’échelle décamétrique (voirehectométrique) dans les écoulements atmosphériques.3.6.2.2. – MACRO-ÉCHELLES DYNAMIQUES DES TEMPS♣Les raisonnements qui conduisent à la définition de macro-échelles dynamiques destemps sont analogues aux précédents, en remplaçant le coefficient d’intercorrélation R i (A, r j )par le coefficient d’autocorrélation R i (A, τ).On atteint de cette façon, en ordre de grandeur, la durée moyenne de vie des grandstourbillons.Les définitions (3.6.2.1 ♣) transposées aux corrélations temporelles vont donc nousdonner :• Une échelle intégrale des temps pour la fluctuation v i en A :∫ ∞i0τ = R ( A, τ ) dτ(3.91a)Iidont la signification géométrique est identique à celle de L i,j (fig. 3.7).• Une échelle expérimentale des temps τ Ei telle que pour τ > τ Ei , on ait R i (A, τ)inférieur à un minimum significatif donné R i min .Les problèmes soulevés par ces deux définitions sont absolument les mêmes que pourles échelles des longueurs. Là encore, la plus grande des échelles τ Ii ou τ Ei sur les troisdirections d’espace (i = 1, 2, 3) pourra être adoptée comme macro-échelle pratique des tempspour les fluctuations de vitesse en A.♦La notion de macro-échelle phénoménologique s’étend aussi au temps. Remarquonsen effet que dans (3.90b) le quotient :l21= = τl(3.91b)ν ∂U/ ∂ytest homogène à un temps, qui s’interprète donc dans la logique « phénoménologique » commeune échelle des temps de la diffusion turbulente.La même remarque s’applique en partant de (3.90c) où :L2L= = τ L(3.91c)ν k1/2t

Certains auteurs identifient macro-échelles des temps et durées moyennes de vie desgrosses structures. Disons plus prudemment que leurs ordres de grandeur sont comparables.3.6.2.3. – MACRO-ÉCHELLES THERMIQUESA côté des structures turbulentes dynamiques associées au mouvement du fluide, onpeut également mettre en évidence d’autres structures, liées à la fluctuation d’une grandeur C.En thermoconvection, particulièrement, des structures thermiques prennent naissance : ellessont associées aux fluctuations θ du champ de température, et ne coïncident pas de façonsystématique avec les structures dynamiques.Les dimensions extrêmes des structures thermiques et leurs durées de vie (ou du moinsleurs ordres de grandeur) seront les échelles thermiques de l’écoulement. Peuvent être ainsidéfinies : macro-échelles thermiques des longueurs et macro-échelles thermiques des temps.♣Par exemple, la « macro-échelle statistique thermique des longueurs en A dans ladirection j » est par définition :avec♦∫ ∞0Lθ = Rθ( A, r ) dr(3.92a)j2A2Bjjθ A θ BRθ ( A,r j ) = (3.92b)θ θTout naturellement, si l’on fait référence aux hypothèses (3.42, 3.43) concernant ladiffusion turbulente de chaleur, on aboutira à une « macro-échelle phénoménologique dediffusion thermique turbulente» l θ préalablement appelée « longueur de mélange thermique ».∂UEtant donné que t = l2∂Uν et a t = l θ l , on voit que :∂y∂yν t l= = Prtatlθoù Pr t est le nombre de Prandtl turbulent (3.45).(3.92c)♥ Quant à la macro-échelle thermique statistique des temps, elle aura pour expression :τθ j=∫ ∞θ0R ( A, τ ) dτavec d’après (3.88c) :θ ( t ) θ ( t + τ )A ARθ( A, τ ) = (3.92d)2θ3.6.2.4. – UTILITÉ DES MACRO-ÉCHELLESALes applications des macro-échelles de turbulence intéressent principalement lemodèle pseudo-laminaire et la résolution numérique des équations.

Comme il a déjà été dit plus haut, une propriété importante des écoulements turbulentsréside dans le fait que la diffusion turbulente est essentiellement le fait des grandes structures.Par exemple, ce sont les grands tourbillons qui transportent l’essentiel de l’énergie cinétiquede turbulence, et qui assurent donc sa diffusion.En conséquence, l’estimation d’une diffusivité turbulente, qui est l’essence du modèlepseudo-laminaire, devra être effectuée sur la base d’une échelle de longueur qui soitcaractéristique des grandes structures.Pour ce qui concerne la résolution numérique des équations intégrales de bilans, lesgrandes échelles de turbulence constituent un guide précieux pour l’estimation du domained’étude , et de la durée totale sur laquelle on opère. Ainsi, le choix d’un domaine dedimensions inférieures à l (ou L) conduirait à des résultats non significatifs puisque le calculserait limité à l’intérieur d’un grand tourbillon. Il en irait de même pour une simulationnumérique dont la durée serait inférieure à l’échelle de temps des grands tourbillons.3.6.3 – Micro-échelles3.6.3.1. – CARACTÈRES DES PETITES STRUCTURESSi les grandes structures réalisent l’essentiel du transport turbulent des diversesgrandeurs physiques, les petites structures assurent quant à elles l’essentiel de la dissipation.Prenons, par exemple, le cas des plus petits tourbillons. A l’intérieur de ceux-ci, lemouvement est de type visqueux, c’est-à-dire gouverné par la viscosité moléculaire. Enconséquence, le concept de viscosité turbulente n’a plus sa place à cette échelle et il fautrevenir localement aux équations du mouvement laminaire. Et lorsqu’un petit tourbillondisparaît, c’est que toute son énergie cinétique propre (qui est, en quelque sorte, le support deson individualité) a été dissipée par viscosité.De même, dans les petites structures thermiques, la diffusion turbulente disparaît et ilne subsiste plus que la diffusion thermique moléculaire, caractérisée par la diffusivitéthermique du fluide.3.6.3.2. – MICRO-ÉCHELLES STATISTIQUESLa description non-locale de la turbulence se prête mal à l’évaluation des microéchelles.Il faut en effet pour cela s’appuyer sur les valeurs des coefficients de corrélation auvoisinage de l’origine, c’est-à-dire là où ils varient faiblement (fig. 3.3 à 3.5), ce qui entraîneévidemment des problèmes de précision des mesures, et aussi de traitement des données : surquoi se baser exactement pour proposer une définition ?L’idée la plus généralement retenue consiste à chercher l’intersection avec l’axe desabscisses de la parabole osculatrice à la courbe R A,r ) ou R i ( A,τ ) (c’est-à-dire lai ( jparabole de même ordonnée et de même courbure que la fonction R à l’origine). L’abscisse dupoint d’intersection est la « micro-échelle de Taylor ».Au point de vue mathématique, il n’y a rien à dire ; mais physiquement on ne voit pastrès bien à quoi raccorder les valeurs obtenues. Nous laisserons donc cette définition de côté.3.6.3.3. – MICRO-ÉCHELLES PHÉNOMÉNOLOGIQUES

L’approche phénoménologique consiste à reprendre le raisonnement du § 3.6.2.1.♦,en l’adaptant : si dans les petites structures, l’énergie cinétique k est dissipée par la viscositémoléculaire, on admet, par analogie avec (3.90c) :ν = k 1/ 2(3.93a)l kLa longueur l k définie par cette relation est une micro-échelle de dissipation del’énergie cinétique turbulente, appelée « échelle de Kolmogorov ».On ne peut pas dire que l’échelle de Kolmogorov est la dimension moyenne des pluspetits tourbillons, mais elle en donne assez fidèlement l’ordre de grandeur, qui est le plussouvent de 10 − 2à 10 − 1mm.Au point de vue thermique maintenant, les plus petites structures sont celles dontl’énergie interne est entièrement dissipée par diffusion thermique moléculaire. L’analogieavec les structures dynamiques permet de déterminer leurs échelles moyennes (notées l T ) parla relation :a = l k 1/ 2(3.93b)TLe rapport entre les micro-échelles dynamiques et thermiques traduit le couplage entrediffusion thermique et diffusion de quantité de mouvement, exprimé par le nombre de Prandtl :lk / lT= ν / a = Pr(3.93c)3.6.3.4. – MICRO-ÉCHELLES ET SIMILITUDE♣Une autre voie pour aborder les échelles de turbulence consiste à raisonner en termesde similitude (voir Ch. 2). Revenons pour cela à la définition du terme de dissipation ε (3.52) :∂vj ∂vjε = ν(3.52)∂xk∂xkNous avons vu que, dans le cadre du modèle pseudo-laminaire, on a également(relation 3.57c) :ε = C k 3/ 2 / l(3.57c)µavec C µ sans dimension, l = longueur caractéristique et k = énergie cinétique de turbulence= v / 2 .j v jPour appliquer la similitude à une équation de bilan telle que (3.50) (bilan de k), ondoit faire un choix de valeurs de référence l°, ε°, v°, k° …. En ce qui concerne ε°, on setrouve face à une alternative :- soit, d’après (3.52) :v°v°ε ° = ν(3.94a)l°l°où v° est une vitesse de référence pour les fluctuations ;- soit, d’après (3.57c) :

ε ° = ( k ° )3/ 2/ l°(3.94b)Plaçons-nous dans le cas de la turbulence homogène, où k varie peu dansl’écoulement : on prendra donc naturellement k° = k. En outre, vu la définition de k, il sembleacceptable de choisir comme vitesse de référence pour les fluctuations:v ° = ( k°) 1/ 2= k1/2(3.95a)v° étant souvent désignée comme une échelle de vitesse de la turbulence.La nécessaire cohérence des deux expressions de ε° entraîne :22⎛ v°⎞ ⎛ k 2 ⎞ k 3/ 2ν ⎜ ⎟ = ν ⎜1/⎟ =⎝ l°⎠ ⎝ l°⎠ l°d’où la longueur l° compatible avec les autres grandeurs de référence :l°=νk1/2=ν≡v°l k(3.95b)Par une autre voie, on retrouve donc ici l’échelle de Kolmogorov l k (3.93a).Ajoutons ici une propriété qui retient souvent l’attention des auteurs. En éliminant kentre les relations (3.94b) et (3.95b), on obtient :♦l k⎛ 3 ⎞⎜ν= ⎟⎝ ε ° ⎠1 / 4(3.95c)Enfin, lorsqu’on écrit (3.50) sous forme adimensionnelle, en respectant la procédureétablie au chapitre 2, on voit apparaître devant le terme ν ( div grad k)un critère de similitudeΓk= V ° l° /ν , où V° est la vitesse de référence pour l’écoulement moyen.Si l’on admet l’intensité globale de turbulence I (3.82d) à peu près constante dansl’écoulement, k1/ 2et V sont dans un rapport lui-même constant. On peut donc considérer quev° est représentative de l’écoulement d’ensemble, et il n’est pas illicite alors de choisir :V ° = v°= k 1/ 2(3.95d)d’où :Γk = V ° l° / ν = 1(3.95e)!!! Cette propriété, considérée parfois comme un postulat et parfois comme un hasard,signifie simplement que, avec les grandeurs de référence choisies, la similitude vis-à-vis de ladiffusion visqueuse d’énergie cinétique turbulente est automatiquement assurée à l’échelle 1lorsqu’on est en turbulence homogène.D’autre part, l’absence de structures turbulentes de dimensions inférieures à l k enmoyenne a pour conséquence, au voisinage d’une paroi, l’existence d’une sous - couchevisqueuse dont l’épaisseur est en ordre de grandeur au moins égale à l k . Nous retrouveronscette couche visqueuse au chapitre 5.♥ Quant à la micro-échelle des temps associée à l k , c’est bien entendu :

lkνtk= =(3.96a)v°kqui représente (en ordre de grandeur) la longévité moyenne des plus petites structuresdynamiques turbulentes. Celle des plus petites structures thermiques sera caractérisée à partirde (3.93b) par :lTatT = =(3.96b)v°k3.6.3.5. – IMPORTANCE DES MICRO-ÉCHELLESLes micro-échelles de turbulence présentent un intérêt essentiellement pratique. D’unepart, elles donnent des indications précieuses pour le dimensionnement des sondes de mesuredans un dispositif expérimental. En effet, on conçoit que si une sonde possède des dimensionsplusieurs fois supérieures à celles des petites structures, les mesures qu’elle fournira nepourront prétendre à une valeur vraiment locale. D’un autre côté, les micro-échelles delongueur et de temps permettent aussi d’estimer les dimensions minimales du maillage àutiliser dans une résolution numérique.3.6.4. – A propos du nombre de Reynolds turbulentNous avons rencontré sur notre route un nombre sans dimension dénommé « nombrede Reynolds turbulent » (§ 3.4.3.1.) défini par les relations (3.73) et (3.74c) :2k 1 ν tR t = =ε C f νν µ µAvec l’aide de l’hypothèse (3.90c) et de la définition (3.95c), R t s’écrit encore :R 1 L k1/21 v Lt ==°(3.97)C fC f νµµν µ µEn faisant abstraction de la fonction d’amortissement f µ , on constate que R t estconstruit comme un critère de similitude relatif à la diffusion turbulente de quantité demouvement, c’est-à-dire comme un « nombre de Reynolds ». Mais vu que la fonctiond’amortissement est elle-même dépendante de R t , et qu’elle constitue un élément clé desmodèles dits « à bas Reynolds », la terminologie en usage introduit un élément de confusionet s’avère inadaptée. Il aurait mieux valu donner un autre nom à ce paramètre.3.6.5. – Simulation des grandes structures (SGS)(en langage international : LES = Large Eddy Simulation)La simulation des grandes structures turbulentes est une approche intermédiairehybride qui consiste à découpler, par des techniques numériques, le calcul de l’écoulementaux macro-échelles et aux micro-échelles.La justification de ce type d’approche réside dans l’idée suivante, déjà évoquée : lesgrands tourbillons produits par l’écoulement moyen sont difficiles à modéliser ; ilstransportent cependant la majeure partie de l’énergie cinétique turbulente. Il faut donc depréférence les traiter directement, sans hypothèses simplificatrices. Par contre, les petits

tourbillons sont relativement plus faciles à prendre en compte, car ils sont dominés par laviscosité moléculaire.Cette technique semble bien adaptée aux écoulements dans lesquels les macroéchelleset les micro-échelles sont assez dissemblables, comme par exemple dans le bâtimentet son proche environnement.3.6.6. – Simulation numérique directe (SND)(en langage international : DNS = Direct Numerical Simulation)Comme son nom l’indique, la simulation numérique directe consiste à résoudredirectement les équations de bilans en espace et en temps. C’est évidemment l’idéal auquelrêve tout mécanicien des fluides. Sauf que ce genre de calcul se révèle si complexe et siexigeant en capacité et en temps d’ordinateur qu’il reste encore réservé à des petits domainesn’excédant guère 10 2 cm 3 . Il semble malgré tout que l’avenir soit là, à condition en particulierd’élaborer des techniques numériques de filtrage qui permettent d’accéder correctement et aumoindre coût, soit au mouvement moyen, soit à des détails locaux.3.7 – PRODUCTION D’ENTROPIE TURBULENTELes équations de bilans, qui ont été adaptées dans ce chapitre au traitement statistiquedes grandeurs turbulentes, avaient évidemment pour but la détermination des champs moyensde vitesses et de température. Mais la turbulence se traduit aussi par une production spécifiqued’entropie, qu’il est intéressant d’examiner maintenant.Revenons donc au bilan d’entropie (1.74) dans lequel n’ont été conservés que lestermes dominants en convection thermique :∂(ρ s)Φ λ⎛ λ ⎞+ div ( ρ sV ) = + ( grad T )2 + div⎜grad T ⎟(3.98a)∂tT T2⎝ T ⎠soit, pour un fluide isochore :∂(ρ s)Φ λ⎛ λ ⎞+ ρV.grad s = + ( grad T )2 + div⎜grad T ⎟(3.98b)∂tT T2⎝ T ⎠Pour la suite, il sera plus commode d’écrire cette équation sous forme cartésienne, endéveloppant la fonction de dissipation Φ :∂s∂sµ ⎛ ⎞⎜∂V∂Vi j⎟∂Viλ ⎛ ∂T∂T⎞ ∂ ⎛ λ ∂T⎞ρ + ρVi= + +⎜⎟ +⎜⎟ (3.98c)∂t∂xi T⎝∂xj ∂xi⎠∂xj T2⎝ ∂xi∂xi⎠ ∂xi⎝ T ∂xi⎠Comme pour toute autre grandeur turbulente, on considère que la valeur instantanée del’entropie est la somme d’une valeur moyenne s et d’une fluctuation s’ :s ( t)= s + s'(3.99)En introduisant maintenant les grandeurs fluctuantes (rappelons que θfluctuation de température), et en passant à la moyenne, il vient :est la

ρ ( Vi+ vi∂(s + s'))∂xiµ ⎛⎜∂(Vi+ vi)=T + θ⎝∂xj++λ( T + θ )∂∂xi2∂(T + θ )∂x∂(V j + v+∂x⎛ λ ∂(T + θ ) ⎞⎜⎟⎝ T + θ ∂xi⎠i∂(T + θ )∂xiij) ⎞⎟∂(Vi+ vi)⎠∂xjLe résultat va donc faire surgir des termes contenant seulement les grandeursmoyennes de l’écoulement, et de nombreuses corrélations. Le calcul est basé sur les règlesrappelées dans l’annexe 3.A.2, et ne présente aucune difficulté particulière (les termes en1/(T + θ ) et en 1/(T + θ )2font l’objet d’un développement limité à l’ordre 1). Nous endonnons simplement le résultat, après avoir laissé de côté les corrélations qui paraissentnégligeables en ingénierie classique (pour plus de détails, on se reportera par exemple à J.HERPE, thèse, 2007) :Vi∂ s∂xi=µ ⎛⎜∂VT⎝∂xλ ⎧ ∂T+T2⎨⎩∂xi∂+∂xiij∂V+∂x∂T∂x⎞⎟∂V⎠∂x⎛ λ ∂T⎞⎜ −T x⎟⎝ ∂ i ⎠ijiij∂θ∂θ⎫+ ⎬∂xi∂xi⎭∂ ( vµ ⎛⎜∂vi+T⎝∂xji∂xs')i+∂v∂xji⎞⎟∂v⎠∂xij( a), ( b)( c), ( d)( e), ( f )(3.100)Les termes (e) et (f) sont des divergences, et caractérisent donc la diffusion d’entropieturbulente (le dernier provient du membre de gauche, comme dans 3.9). La créationd’entropie turbulente est représentée par (b) et (d). On retrouve enfin dans (a) et (c) laproduction d’entropie de l’écoulement moyen.Comme on a souvent le choix, en ingénierie, entre plusieurs géométries, et qu’ondispose d’une certaine marge dans les conditions aux limites, l’évaluation des termes del’équation (3.100) ouvre la voie à l’optimisation entropique d’un écoulement turbulent.

ANNEXES AU CHAPITRE 33.A.1. – TURBULENCE ET NON-LINÉARITÉ3.A.1.1. – ORIGINE DES SOLUTIONS TURBULENTESQuand on examine la structure d’un écoulement turbulent (§ 3.1) et que l’on regardeles équations de bilans qui sont censées le décrire (1.27, 1.37, 1.56), on est en droit de sedemander si des évolutions d’apparence aussi insaisissable peuvent être solutions d’équationsaux dérivées partielles dont la forme semble très classique. En particulier, ce qui paraît àpremière vue le plus surprenant, c’est que des phénomènes instationnaires puissent prendrenaissance dans un système dont les conditions aux limites sont maintenues stationnaires.La réponse à ces interrogations réside dans une propriété structurelle majeure decertaines équations de bilans : leur non-linéarité. Les méthodes analytiques sont actuellementinsuffisantes pour obtenir les solutions complètes de ces équations, mais la résolutionnumérique de diverses équations différentielles non linéaires a montré dans certains cas uncomportement chaotique des solutions, de même nature que ce que l’on rencontre enturbulence. Avec des problèmes simplifiés, on a pu également accéder à partir des équationsde quantité de mouvement à des solutions numériques caractéristiques de la turbulence.Voyons d’abord où se situe la non-linéarité dans les équations générales.3.A.1.2. – QU’EST-CE QU’UNE ÉQUATION LINÉAIRE ?Il n’est peut-être pas superflu de rappeler en quoi consiste la linéarité (ou la nonlinéarité)dans les systèmes différentiels que nous avons à manipuler.Soient X et Y deux fonctions de x, y, z, t. Considérons l’équation fonctionnelleF ( X , Y ) = G(x,y,z,t)(1)Cette équation sera linéaire en X et Y si, en posant : X = α X 1 + β X 2 (où α et β sontdes constantes arbitraires) le premier membre devient :F α X + β X , Y)= α F(X , Y ) + β F(X , )(2)( 1 212 Yet de même avec Y.Dans le cas où G = 0, on dit que l’équation est linéaire homogène en X et Y.Enfin, si la propriété (2) n’est pas vérifiée, l’équation est non-linéaire.3.A.1.3 – LES ÉQUATIONS DE BILANS SONT-ELLES LINÉAIRES ?Examinons maintenant les trois principales équations de bilan local, en regardant sielles satisfont où non à la propriété de linéarité. Pour alléger le raisonnement, nous nouslimiterons au cas d’un écoulement de fluide isochore et sans forces extérieures.

♣En ce qui concerne l’équation de continuité,div V = 0il est clair qu’elle répond à la condition de linéarité. Il n’y a donc pas de problème de ce côté.♦Avec les hypothèses adoptées, et en la présentant sous la forme (1), l’équation dequantité de mouvement (1.37b) s’écrit :∂VF( V ) = ρ + ρ V.grad V − µ ∆V= − grad p *(3)∂tPosons : V = α V 1 + β V2(α , β constantes). On voit immédiatement que l’on a :F( V ) ≠ α F(V1 ) + β F(V2)et que la propriété (2) n’est pas vérifiée. L’équation de quantité de mouvement est donc nonlinéaire.Ceci est dû à l’expression ρ V. grad V qui est un produit de termes contenant V . Ondit alors que la non-linéarité est quadratique.♥Le problème est un peu plus compliqué avec l’équation d’énergie. Sous sa forme(1.56), elle devient ici :∂Tρ C p + ρ C p V. grad T = Φ + div ( λ grad T )(4)∂tTout d’abord, si la fonction de dissipation Φ peut être négligée devant les autrestermes, et si les paramètres λ, C p et µ sont indépendants de la température, on voit que (4) estlinéaire en T. En effet, la vitesse est indépendante du champ de température quand µ estconstant, et elle est déterminée par l’équation de quantité de mouvement, de telle sorte que (4)est de la forme :∂TF( T ) = ρ C p + ρ C p V.grad T − div ( λ grad T)= 0∂tet satisfait visiblement à la condition (2).Mais si V est fonction de T (ce qui arrive lorsque µ dépend fortement de latempérature, mais également en convection naturelle ou mixte), alors la linéarité de l’équationd’énergie est détruite.Enfin, la prise en compte de la fonction de dissipation Φ dans (4) entraîneautomatiquement la non-linéarité de cette équation puisque Φ, qui a pour expression :⎛ V V j ⎞⎜∂ ∂i ∂ViΦ = µ + ⎟x j x⎝∂ ∂ i ⎠∂xjcontient des termes quadratiques.♠En conclusion, même dans la situation la plus simple où nous nous sommes placés,l’une des équations (quantité de mouvement) est d’une structure fondamentalement nonlinéaire.De plus, la non-linéarité s’étend souvent à l’équation d’énergie, et de toute façon lestrois équations se trouvent non-linéaires si le fluide n’est pas isochore.

3.A.1.4. – LES CONSÉQUENCES DE LA NON-LINÉARITÉHistoriquement, la première interprétation des conséquences de la non-linéarité qui aeu cours est celle-ci : dans tout écoulement de fluide, il se produit accidentellement desinstabilités de caractère aléatoire. Si elles tendent à se résorber rapidement, on ne lessoupçonne pas et elles n’ont aucune influence : l’écoulement est laminaire (§ 3.3.1). Sinon,elles se développent, et c’est ce qui donne à l’écoulement son caractère turbulent. Or ons’aperçoit que lorsque le nombre de Reynolds Re est supérieur à la valeur critique Re c , leterme non-linéaire de l’équation (3) a pour effet d’amplifier systématiquement ces instabilités.Cependant, on admet maintenant qu’il n’est pas nécessaire de recourir à cette notiond’instabilité comme cause, ou comme explication, du mouvement turbulent. En effet,l’exploration numérique des systèmes dynamiques montre qu’un comportement d’allurechaotique peut naître spontanément au sein d’un système physique décrit par des équationsnon-linéaires.D’ailleurs, une analyse plus fine montre que ce chaos n’est pas total, et qu’il existe unestructure cohérente dans un écoulement turbulent. La transition laminaire-turbulent n’est pasune frontière entre mouvement ordonné et mouvement désordonné, mais constitue le passaged’une structure très ordonnée à une structure moins ordonnée. Ce passage est conditionné parl’importance des termes non-linéaires vis-à-vis des termes visqueux, c’est-à-dire par la valeurde Re.Il faut aussi souligner que la réalisation de structures turbulentes n’est pas le monopoledes systèmes gouvernés par des équations non-linéaires. En effet, des équations linéairespeuvent fort bien admettre des solutions turbulentes, pourvu que les conditions aux limitessoient elles-mêmes de type turbulent, c’est-à-dire représentées par des fonctions pseudoaléatoires(J. Bass, 1984).Enfin, on n’omettra pas le fait que, dans le traitement statistique de la turbulence, cesont les termes non-linéaires qui sont à l’origine des grandeurs cv , v v … La raison en estque, dans l’opération de passage à la moyenne, ils sont l’objet d’une perte d’information(mais pas les autres termes : on ne perd pas d’information en moyennant une fonctionlinéaire !!), ce qui se traduit concrètement par l’apparition de nouvelles inconnues qui sontles corrélations.Toujours est-il que le problème de la turbulence est l’un des plus complexes de laphysique ; malgré les espoirs que l’on peut mettre dans la simulation numérique directe,l’approche statistique reste indispensable pour un certain temps encore.iij3.A.2. – CALCUL DES GRANDEURS MOYENNES DANS UN ÉCOULEMENTTURBULENT3.A.2.1. – PROBLÈMES SOULEVÉS PAR LA DÉFINITION DE LA MOYENNEPour toute densité volumique C(t) dépendant du temps, on définit une moyenne Centre les instants t 0 et t 0 + τ par :1t0= =∫ + τC ( t ) C C( t ) dt(1)τ t0expression qui généralise la définition (3.1) relative à la vitesse moyenne.

En fait, il faudrait écrire :C ( t)= C(t0,τ )(2)car cette moyenne dépend évidemment de l’intervalle de temps choisi : c’est une moyennemobile, mal définie au sens mathématique.Un prolongement assez naturel de cette notion consiste à considérer que la fonctionC(t) est la somme de sa moyenne et d’une fluctuation c(t) autour de la moyenne :C ( t)= C(t0,τ ) + c(t)(3)où t [ t 0 , t +τ ]∈ 0Rien n’interdit de réitérer l’opération de moyenne (1) sur l’égalité (3). Sachant queC( t 0 , τ ) est indépendant de t, il vient :C ( t)= C(t0,τ ) + c(t)et compte tenu de (2), la conséquence est :c ( t)= 0(4)t 0 , t 0 +τ est nulle.La moyenne de la fluctuation sur l’intervalle [ ]Malgré tout, il y a une difficulté, car d’après sa définition (3), c(t) est une fonctionimplicite des bornes de l’intervalle de calcul, c’est-à-dire de t 0 et de τ . La moyenne et safluctuation sont donc toutes les deux dépendantes de l’intervalle de temps utilisé.Cependant, le problème se simplifie si l’on considère une classe particulièred’écoulements pour lesquels C (t)est un opérateur stationnaire, c’est-à-dire indépendant de ladurée d’intégration τ (pratiquement, ceci implique en particulier que l’on puisse choisir τassez grand par rapport à la durée moyenne des fluctuations). Alors :C ( t 0 , τ ) = C = cte(5)et la fluctuation c(t) devient indépendante de l’intervalle τ (la propriété (4) restantévidemment vérifiée) .De tels écoulements sont dits permanents (ou stationnaires) en moyenne. Pour lesréaliser, il est nécessaire (mais non suffisant) d’imposer des conditions aux limitesindépendantes du temps.En ce qui concerne les écoulements qui ne répondent pas à la définition (5), leproblème reste entier. Tout ce qui suit concerne donc exclusivement les écoulementspermanents en moyenne.REMARQUE – Sachant que l’on a toujours : C (t) = ρ γ (γ densité massique de la grandeurconsidérée), en écoulement isochore où ρ = ρ = cte , il vient :C = ρ γ ; c = ρ γ ' (γ ’ = fluctuation de γ )γ ' =03.A.2.2. – ÉQUATION À TRAITERRappelons que l’équation sur laquelle vont principalement avoir lieu les calculs demoyenne est l’équation (3.6) :

∂( C + c )+ div∂t{( C + c )(V + v )} = q + div{ D grad ( C c )}I c +où V est le vecteur vitesse moyenne, et v le vecteur fluctuation de vitesse.En développant, on obtient :∂C∂c+ + div ( CV + cV + Cv + cv)= qI + div{ Dc( grad C + grad c)}∂t∂tLa méthode consiste à prendre la moyenne des deux membres de cette équation.(6)3.A.2.3. – MOYENNE D’UNE DÉRIVÉE PAR RAPPORT AU TEMPS♣ D’après la définition (5) des écoulements permanents en moyenne :∂C= 0∂t(7)c 1t0∫ + ττ t0∂∂t∂c∂t1τ♦ =dt = { c( t + τ ) − c( t )} → 0 si τ → ∞0 0, (c’est – à - dire enpratique si τ est pris assez grand). On a donc :∂c= 0(8)∂t3.A.2.4. – MOYENNE D’UNE DÉRIVÉE PAR RAPPORT AUX COORDONNÉES D’ESPACESoit une fonction X = X(t, x i ).Par définition de la moyenne :∂X1t0∫ + τ∂X=dt∂xiτ t0∂xiLes opérateurs∫ et ∂ portent sur des grandeurs indépendantes et peuvent être∂xipermutés :∂X ∂ ⎧1t0⎫ ∂ X= ⎨ X dt⎬=∂xi∂xi⎩∫ + ττ t0 ⎭ ∂xiOn a donc :div X = div X pour un vecteur Xgrad X = grad X pour un scalaire X (9)En particulier :div CV = div CV = div CV ( C,V = ctes)div cV= div cV = 0 ( V = cte,c = 0)div Cv = 0 (même raison)

div cv = div cvdiv ( Dc grad C)= div ( Dcgrad C)(car C = cte)div ( D grad c)= div ( D grad c)= 0cc3.A.2.5 – ÉQUATION AUX VALEURS MOYENNESLe passage aux valeurs moyennes dans l’équation (6) donne finalement :div CV + div cv = qI +div ( D grad C)cDans cette relation apparaît la covariance c v des fluctuations c et v (§ 3.2.1♠). Enparticulier, si c = ρv i (quantité de mouvement) on rencontrera dans l’équation des termes env2i , cette dernière grandeur étant la variance de v i .3.A.2.6 – FONCTIONS ET COEFFICIENTS DE CORRÉLATION♣Fonctions et coefficients d’intercorrélationSoient deux points A(x i , x j , x k ) et B(x i , x j + r j , x k ). On appelle fonctiond’intercorrélation des fluctuations c en A et B la fonction :F( A,rj ) = c A(t)cB( t)(10)Si A est confondu avec B (r j = 0), on a :( A,0) c2AF = = variance de c ADans un écoulement permanent en moyenne, où C = cte pour toute grandeur C, lafonction d’intercorrélation ne dépend pas du temps.Le coefficient d’intercorrélation de c en A et B est un nombre sans dimension définipar :cAcBR c(A, rj) = (11)2 2c c♦ABFonctions et coefficients d’autocorrélationConsidérons maintenant un point A et deux instants t et t+τ .On désigne par fonction d’autocorrélation des fluctuations c A sur une durée τ lagrandeur :F( A,τ ) = c A ( t)c A(t + τ )(12)Cette fonction caractérise en quelque sorte la « mémoire locale » du phénomènefluctuant.Dans un écoulement permanent en moyenne, la fonction d’autocorrélation estindépendante du temps.On définit un nombre sans dimension appelé coefficient d’autocorrélation de c A sur ladurée τ par l’expression :

♥c A(t)c ( t + τ )Rc( A,τ ) = (13)cA2APropriétés des coefficients de corrélationNous allons montrer que :R ( A,0) = 1cR ( A,rcj) ≤ 1La première proposition est évidente puisque pour r j = 0 on a c B = c A , d’oùR c ( A,0) = 1 d’après la définition (11).Pour établir la seconde propriété, formons l’expression :donné.Quel que soit λ, on a :( c A + λ cB)2 ≥ 0doncsoit :nul :( c λ c ) 2 ≥ 0λA+ B2 c2+ 2 +2Bλ c A cBcA≥0cA+ λ c avec λ ∈Ce trinôme du second degré en λ est positif ou nul si son discriminant est négatif ou( cAAcBB)22− c( c c ) ≤2Ad’où R ( A,) ≤ 1c r jc2Ac2Bc2B≤ 0On démontrerait de même que :( A,τ = 0) = 1R cR c( A,τ ) ≤ 1B3.A.3 – ÉCOULEMENTS TURBULENTS À MASSE VOLUMIQUE VARIABLE3.A.3.1. – PROBLÉMATIQUEPour toute densité volumique C dépendant du temps, on a :C = ρ γoù γ est la densité massique de l’entité physique considérée.Si l’écoulement n’est pas isochore, ρ est variable, et les fluctuations de pression et detempérature vont induire des fluctuations de ρ.La grandeur C soumise à bilan est donc maintenant le produit de deux grandeursfluctuantes, ce qui entraîne quelques difficultés, comme nous allons le voir.Dans ce paragraphe, nous désignerons la moyenne par le symbole , et la fluctuationpar ‘.Trois démarches peuvent être tentées.

3.A.3.4. – MÉTHODE « II »Pour s’affranchir des difficultés rencontrées dans les méthodes « 0 » et « I », A. Favrea proposé d’adopter un moyen terme en posant :⎪⎧ρ γ = ρ γ + ρ ~ γ ; ρ ~ γ = 0⎨(6)⎪⎩ ρ = ρ + ρ'; ρ'= 0On a donc sacrifié l’une des relations (3), en l’occurrence celle qui porte sur γ , enintroduisant à la place une « pseudo-fluctuation » ~ γ définie par la première équation (6), àsavoir :~ ρ γγ = γ −(7)ρLa moyenne de cette grandeur n’est généralement pas nulle car on a :ρ γ≠ γρd’où :~ ρ γγ = γ − ≠ 0ρou bien, en combinant les règles (6) :ρ ~ γ = 0 = ( ρ + ρ')~ γ = ρ ~ γ + ρ '~ γet à nouveau :~~ ρ'γγ = − ≠ 0ρQuoi qu’il en soit, les relations (6) sont compatibles entre elles, et n’entraînent plusaucune contradiction. Les équations de bilans aux grandeurs moyennes s’en trouventsimplifiées.Malgré tout, il faut quand même reconnaître un caractère un peu artificiel à cetteprocédure, la seule méthode réellement consistante avec l’esprit de la théorie statistique étantla méthode « 0 ».

3.A.7 – ÉQUATION DE BILAN POUR LA DISSIPATION ε2 D c grad c :On part encore de l’équation (3.11) dans laquelle on place le terme∂c'+ div( C v + c V ) = q I∂t+ div{ cv + Dcgrad c − cv}div C v à gauche :Appliquons l’opérateur gradient à chaque membre, puis multiplions scalairement par(1)2 Dc= 2 D∂cgrad c .grad +∂t( a )cgrad c . grad q( d)'I2 Dc+ 2 Dgrad c .grad div ( Cv + cV )c( b )grad c .grad div( cv +( f)( c )Dcgrad c − cv )( g )( h )(2)On calcule terme à terme, et on prend ensuite la moyenne :!!∂2( a ) = Dc ( grad c )(3a)∂tLa moyenne de ∂ / ∂test nulle (3.A.2.3) :( a ) = 0(3b)!! ( b ) 2 Dc grad c .grad ( C div v + v .grad C )= , soit d’après (3.18) := 2 D c grad c .grad ( v .grad C )(4a)ou avec une autre écriture qui fait apparaître les composantes:∂c∂ ⎛ ∂C⎞( b ) = 2 Dc⎜vk⎟∂xj ∂xj ⎝ ∂xk⎠jj2∂c∂ C ∂c∂vk∂C= 2 Dcvk+ 2 Dc(4b)∂x∂x∂x∂x∂x∂xjjkkj(b 1 ) (b 2 )et en moyenne :2∂c∂ C ∂c∂vk∂C( b ) = 2 Dcvk+ 2 Dc(4c)∂x∂x∂x∂x∂x∂xjjjkk!! ( c ) = 2 Dc grad c .grad ( c divV + V .grad c )et sachant que div V = 0 ,( c ) = 2 Dcgrad c .grad ( V .grad c )

= 2 Dc= 2 Dc∂c∂xVet au bout du compte:kj∂∂x∂c∂xjj⎛⎜ V⎝jk2∂ c∂x∂x∂c⎞x⎟∂ k ⎠k+ 2 Dc∂c∂xj∂c∂xk∂V∂xkj( c )=DcVk∂∂xk⎛⎜∂c⎝∂xj⎞⎟⎠2+2 Dc∂c∂xj∂c∂xk∂V∂xkj(5a)L’opération de moyenne∂ ⎛ c c ⎞( c ) DcV ⎜∂ ∂=⎟k+ 2 D∂xk x j x⎝∂ ∂ j ⎠va introduire ici une nouvelle grandeur :c∂c∂xj∂c∂xk∂V∂xkj∂c∂cε c = Dcgrad c .grad c = Dc(5b)∂x∂xjjAlors :( c ) = Vk∂εc∂xk+ 2 Dc∂c∂xj∂c∂xk∂V∂xexpression dans laquelle on reconnaît le gradient de ε c :kj( c )∂c∂c∂Vk= V .grad ε c + 2 D(5c)c∂xj ∂xk∂xj(c 1 ) (c 2 )!!( d ) = 2 D grad c .grad(6)c q ' I!! f ) = 2 D grad c .grad ( div cv )( c( f ) = 2 Dc grad c .grad ( div cv ) = 0(7)car le second gradient est déjà une moyenne, tandis que, c étant une fluctuation, grad c = 0(cf. 3.A.2.3).!! g ) 2 D grad c .grad ( div D grad c )( cc= (8a)∂c∂ ⎪⎧∂ ⎛ ∂c⎞⎪⎫= 2 Dc⎨⎜ Dc⎟⎬∂xj ∂xj ⎪⎩ ∂xk⎝ ∂xk⎠⎪⎭(la notation vectorielle n’est pas bien adaptée ici).

En permutant les dérivations par rapport aux coordonnées j et k et en admettant queD c = cte :⎪⎧2∂c∂ ∂ c ⎪⎫( g ) = 2 Dc⎨Dc⎬∂xj ∂xk⎪⎩∂xj ∂xk⎪⎭ce qui peut s’écrire aussi :22 2∂ ⎛ c c ⎞2 c c( g ) D ⎜∂ ∂∂ ∂= c 2 D⎟c− 2 Dc∂xk x j x j x⎝∂ ∂ ∂ k ⎠∂xj ∂xk∂xj ∂xket enfin :2 2∂ ⎛ c c ⎞2 c c( g ) D ⎜ ∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ ∂= c ⎢Dc⎥⎟− 2 Dc∂x⎜k xkx j x ⎟⎝∂ ⎢⎣∂ ∂ j ⎥⎦⎠∂xj ∂xk∂xj ∂xk(8b)Par passage à la moyenne, cette manipulation fait apparaître la grandeur ε c définie par(5b) ci-dessus :( g ) = Dc∂ ⎛ ∂εcx⎜∂ k ⎝ ∂xk( g )1⎞⎟ − 2 D⎠2c∂ c∂x∂xj2k( g∂ c∂x∂x2)j2k(8c)!! h ) − 2 D grad c .grad div cv( c= (9a)Puisque div v = 0 (§ 3.3.3.1) :( h ) = − 2 Dc= − 2 D= − 2 Dccgrad c .grad ( v .grad c )∂c∂x⎪⎧⎨v⎪⎩jk∂∂x∂c∂xjj⎛⎜v⎝k∂c∂x∂ c∂x∂xj2kk⎞⎟⎠∂c+∂xj∂c∂x∂ ⎛ c c ⎞ c c vkDcv ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂= −⎟k− 2 Dc∂xk x j x⎝∂ ∂ j ⎠∂xj ∂xk∂xjLe premier terme se transforme un peu :∂ ⎛ c c ⎞ ⎛ c c ⎞ ⎛ c c ⎞ vkv ⎜∂ ∂⎟∂⎜∂ ∂kv⎜∂ ∂ ∂=⎟⎟k −∂xk x j xj ∂xk x j xj x j x⎝∂ ∂⎠ ⎝∂ ∂⎠ ⎝∂ ∂ j ⎠∂xk∂vkoù = div v = 0 . Finalement, en passant directement à la moyenne :∂xk( h )= − Dc∂ ⎛⎜∂cvk∂xk ⎝∂xj( h )1∂c∂xj⎞⎟ − 2 D⎠ck∂c∂x∂v∂xj( hkj⎪⎫⎬⎪⎭∂c∂x2k)∂v∂xkj(9b)

C’est fini ; il n’y a plus qu’à regrouper. L’équation de départ (2) se présente comme unbilan de ε c si on laisse seul à gauche le terme de transport V .grad ε de (5c):cVk∂ε∂xck= − 2 Dcvk∂c∂xj∂∂xj2C∂xk− 2 Dc∂c∂xj∂v∂xkj∂C∂xk( b1), ( b2)− 2 Dc∂c∂xj∂c∂xk∂V∂xkj( c2)+2 Dc∂c∂xj'I∂q∂xj( d)(10)+Dc∂∂xk⎛ ∂εc ⎞⎜ − 2 Dx⎟⎝ ∂ k ⎠2c∂ c∂x∂xj2k∂ c∂x∂xj2k( g1), (g2)− 2 Dc∂c∂xj∂c∂xk∂v∂xkj−Dc∂∂xk⎛⎜v⎝k∂c∂xj∂c⎞⎟∂xj ⎠( h2), (h1)Dernière étape : on choisit c = v i (donc C = Vi) et D c = ν, d’où ε c = ε (dissipation,définie par 3.52), puis on somme sur i. De plus, dès à présent, nous allons éliminer le terme(d), dont le calcul montre qu’il est négligeable en convection forcée (mais pas en convectionnaturelle ou mixte car il contient la flottabilité).On obtient donc en fin de compte un bilan de dissipation :Vk∂ε∂xk= − 2νvk∂v∂xij∂∂x2jVi∂xk∂v− 2ν∂xij∂v∂xkj∂V∂xik( b1), ( b2)∂vi− 2ν∂x∂+ ν∂xkj∂v∂xik∂V∂xk⎛ ∂ε⎞⎜ − 2x⎟ ν⎝ ∂ k ⎠j2∂∂xj2vi∂xk∂∂x2jvi∂xk( c2( g1)), (g2)(11)∂vi− 2ν∂xj∂v∂xik∂v∂xkj∂− ν∂xk⎛⎜v⎝k∂v∂xij∂v∂xij⎞⎟⎠( h2), (h1)

Bilan dequantité demouvementSources devolumeNaturedes sourcesForces de pesanteurForces d’Archimède(ou de flottabilité)Termesde l’équationcorrespondantsρ gρ−ρ∞ −∞ρgCritères de similitudeog L ⎧écoulements⎫Γ g =o 2⎨⎬(V ) ⎩àsurface libre⎭Γ = 1 (écoulements en charge)1) Cas général0 0 0g β ∆T LΓ β =0 2(V )Nombres sans dimension usuelsNombre de Froude :o2(V )Fr =og L1=ΓNombre de Richardson :Ri = Γ βg2) Convection libreΓ = 1βSources desurfaceForces de pressionForces de viscosité(diffusion de quantité demouvement)− grad p Γ p = 1div τ1) Référence aux gradientsτ pΓ τ =o o 2ρ (V )2) Référence au champ de vitesseνΓ ν =0 0V L3) Convection libreΓ ν =l0ν0 2 0 3 / 2( g β ∆T ) 1 /( L )0Coefficient de frottement pariétal :1τ pC f = Γ τ =0 0 22ρ (V )Nombre de Reynolds1 V0 L 0Re = =0Γ ν νNombre de Grashof :01 g β ∆T( LGr = =20 2Γ ν ( νl )0)3TABLEAU 1

Bilan demasseSources devolumeNaturedes sources- Création ouannihilation d’unconstituant A dans uneréaction chimiqueTermesde l’équationcorrespondantsq IA: taux de productiondu constituant A (ou de laphase A)IACritères de similitudeΓ =qρoIAoALVooNombres sans dimension usuels- Transformationpartielle d’un fluide parchangement de phaseSources desurface⎛ ρ ⎞⎜ ρ⎟⎝D AA grad ρ ⎠1 ) Référence auxqApΓ Ap =o oρ Vdiv2) Référence au champ deAgradientsNombre de Sherwood :ok L ShSh = avecoD Re ScA= ΓApk = coefficient de convectionmassiqueνSc = nombre de Schmidt =DooAconcentrationΓADoAo oD=V L1Re Sc= ΓADTABLEAU 2

Biland’énergie Nature des sources Termesde l’équationSources devolumeChaleur mise en jeu dansune réaction chimique,émission ou absorption derayonnement, effet Jouleetc.Energie de pressioncorrespondantsPuissancevolumiqueP(x, y, z, t)(P >0 ou

Rayonnement3) Convection libreΓ =ala0 2 0 3 / 2( g β ∆T) 1/( L )− divϕ 1) Convection forcée ou mixter2 34 n σ TmΓ r =o oρ C V2) Convection libreΓ =rlTABLEAU 3opρ Cp4 n( g02σ Tβ ∆T3moLo1/ 2)Nombre de Boussinesq :01 g β ∆T( LBo = =20 2Γ ( aal )Nombre de Rayleigh :Ra = 1 /Γ a2lPrNombre de Nusselt :Nu = h L o / λo0)3

INDEX ALPHABÉTIQUE DES MATIÈRESAAdhérence à la paroi, 1.1.3.2 ;Affinité (hypothèse d’),Analyse d’échelle, 2.A.2.- dimensionnelle, 2.A.2.Bilan d’une grandeur extensive, 1.3.1.Bilan intégral, 1.3.1 ; 2.A.4.Bilans statistiques, 3.2.Charge, perte de charge,Coefficients de corrélation, 3.5.2.Coefficient de convection massique, 2.5.3.1.- de convection thermique, 2.5.3.2.- de corrélation, 3.A.2.6.- de frottement, 2.4.3.3.- de perte de charge en ligne,- de perte de charge singulière,- de poussée thermique, 2.5.2.2.- de traînée,Conductivité thermique, 1.3.5.1 ; 1.3.6.3 ;Contraintes, 1.2.3 ; 1.2.4 ; 1.2.5 ; 3.3.4.3.Contrainte pariétale, 1.2.5 ;Contraintes (ou tensions) de Reynolds, 3.3.4 ;3.4.1.2♦ ; 3.4.3.4.Convection libre, 2.4.3.4 ; 2.4.5.4 ; 2.5.3.3.- mixte, 2.4.3.2 ; 2.4.3.5 ; 2.5.2.Coordonnées cylindriques, 1.4.3 ; 1.A.5 ;Corrélations, covariance, 3.2.1 ; 3.4.1.1.Couche limite dynamique,- épaisseur,- hypothèses,Couplage (paramètres de - ), 2.5.1 ; 2.5.2.Critères de similitude, 2.3.2 ; 2.4 ; 2.5.2.1.BCDDébit, 1.3.2.1 ;Déformations, 1.2.1 ; 1.2.4.Dérivée particulaire, 1.A.1.Diamètre hydraulique,Diffusion, 1.3.6 ; 2.4.4 ; 2.4.5.3 ; 2.5.3.- turbulente, 3.2.1 ; 3.3.4.3 ; 3.6.2.1.Diffusivité moléculaire, 1.3.6.2.Diffusivité thermique, 1.3.5.2 ; 1.3.6.3.- turbulente, 3.3.2 ; 3.3.3.2 ; 3.3.5 ; 3.4.1.3 ;3.4.2.Dilatation volumique, 1.2.2.Dissipation turbulente, 3.4.1 ; 3.4.2 ; 3.4.3.EEchelle de Kolmogorov, 3.6.3.Ecoulement de Couette, 1.1.3 ;Ecoulements établis,Ecoulements à masse volumique variable, 1.2.4 ;3.A.3.Ecoulement permanent (stationnaire) en moyenne,3.2.1 ; 3.A.2.1 ; 3.A.3.2.Ecoulements à surface libre, 2.4.3.2 ; 2.4.3.5 ;Energie cinétique turbulente, 3.3.4.4 ; 3.4.1.2.Energie interne, 1.3.5.Enthalpie, 1.3.5.2 ; 2.4.5.1.Entropie, 1.3.7 ; 1.A.4 ; 2.A.3; 3.7.Epaisseur de déplacement,- de quantité de mouvement,Equation de Bernoulli, 1.3.4.3 ;- de Bernoulli généralisée, 1.3.4.2 ;- de Blasius,- d’état, 1.5 ; 2.4.6.- d’Euler, 1.3.3.1.- de Falkner-Skan,- de Karman,Equations de Navier-Stokes, 1.3.3.2 ;Equilibrage d’un circuit,Exergie, 1.3.7 ; 2.A.3.Facteurs de formeFermetures, 3.2.3.Fluide newtonien, 1.2.4 ; 1.3.4.2.Fonction de courant, 1.4.2 ; 1.4.3 ;Fonction de dissipation, 1.3.4.2 ; 1.3.5.1 ; 2.4.5.2 ;2.5.1.4 ; 2.5.2.3 ; 3.4.1.3 ; 3.A.1.Formule de Blasius,Formule de Colebrook,Grandeurs de référence, 2.3.1 ; 2.4.3.3 ; 2.4.4.3 ;2.4.5.3 ; 2.5.3 ; 2.A.4.FGHHydrostatique (loi de l’- ), 1.3.3.2.Hypothèse de Prandtl-Kolmogorov, 3.4.1.3 ; 3.6.2.1.

IIntensité de turbulence, 3.4.5.Jets turbulents,JLLinéarité, 3.3.1 ; 3.A.1.Loi de Darcy, 1.3.6.4.- de Fick, 1.3.6.2.- de paroi,- en puissanceLongueur caractéristique d’une canalisation, 2.A.4.- de mélange, 3.3.4.3 ; 3.3.4.5 ; 3.3.5.2 ;3.4.4 ; 3.6.2.1 ; 3.6.2.3.MMéthode de Blasius,- de Cross,- de Pohlhausen,- différentielle,- intégrale,Milieux poreux, 1.3.6.4.Modèle de Couette,- bas - Reynolds, 3.4.3.1.- k - ε, 3.4.2 ; 3.4.3.- k – l, 3.4.1.- k - ω, 3.4.4.- de Van Driest,Moyennes, 3.2.1 ; 3.A.2.NNombre d’Archimède, 2.4.3.2.- de Boussinesq, 2.4.5.4.- de Brinkman, 2.5.2.3.- d’Eckert, 2.4.5.2 ; 2.5.1.4.- d’Euler, 2.4.3.3.- de Froude, 2.4.3.2.- de Grashof, 2.4.3.4.- de Lewis, 2.5.1.2.- de Mach, 2.4.6.- de Nusselt, 2.5.3.2.- de Péclet, 2.4.5.3 ; 2.5.1.3.- de Prandtl, 2.5.1.3.- - turbulent, 3.3.5.2.- de Rayleigh, 2.5.3.3.- de Reynolds, 2.2.1.2 ; 2.2.2 ; 2.4.3.3 ;2.6.1 ; 3.3.1.- - turbulent, 3.4.3.1 ; 3.6.2.3 ; 3.6.4.- de Richardson, 2.4.3.2.- de Schmidt, 2.4.4.3 ; 2.5.1.1.- de Sherwood, 2.5.3.1.- de Stanton, 2.4.5.3,- de Strouhal, 2.4.2 ; 2.6.1.Nombres sans dimension, 2.6.1 ; 2.6.4.Point de fonctionnement d’un circuit,Pompes,Potentiels chimiques, 1.3.7.2.Poussée d’un jet,Pression dynamique, 1.3.4.4 ; 2.4.3.2.- motrice, 1.3.3.2 ; 1.3.6.4.- statique, 1.2.4 ; 1.3.4.4.- totale, 1.3.4.4.Rayonnement, 1.3.5 ; 1.3.7 ; 2.4.5 ; 2.5.2.4.Régimes d’écoulement, 2.2.Rugosité,RANS, 3.2.1.PRSSimilitude, 2.2.3.2 ; 2.3.2.Singularité, perte de charge singulière,Sources (surfaciques ou volumiques), 1.3 ; 1.A.1 ;2.3 ; 2.4 ; 3.4.1 ; 3.4.2 ; 3.7.Sous – couche visqueuse, 3.6.3.4.TTaux de déformation, 1.2.1.- de production d’entropie, 1.3.7.2 ; 1.A.4.- de turbulence, 3.4.5.Tenseur des contraintes, 1.2.3 ; 1.2.4 ; 1.3.3.1 ;1.3.4.1 ;- des quantités de mouvement, 1.3.3.1 ;1.3.6.5 ; 1.A.2 ; 1.A.3.- de Reynolds, 3.3.4.1.- gradient du champ des vitesses, 1.2.1 ;1.3.3 ; 1.3.6.5 ; 1.A.2.Théorème d’Euler,- de l’énergie cinétique, 1.3.4.1.- de Vaschy – Buckingham, 2.A.2.Tourbillon (vecteur), 1.2.1 ; 1.4.1 ; 1.4.3.Turbulence développée, 3.6.1.- homogène, 3.4.5.- de grille, 3.4.5.Viscosité cinématique, 1.1.3.3 ; 1.3.6.5.V

- dynamique, 1.1.3.2 ; 1.2.4.- turbulente, 3.3.4.Vitesse de frottement,Vitesse de mélange (débitante),Vorticité, 1.4 ; 3.4.4.

ÉLÉMENTS DE BIBLIOGRAPHIERien n’est jamais perdu tant qu’ilreste quelque chose à trouverPierre DACAide-mémoire du thermicien. Elsevier, 1997.BASS J. – Fonctions de corrélation, fonctions pseudo-aléatoires et applications. Masson, 1984.BEJAN A. – Convection heat transfer. 2è Edition, John Wiley, 1995.BEJAN A. – Entropy generation through heat and fluid flow. John Wiley, 1994.BERGÉ P., POMEAU Y., VIDAL Ch. – L’ordre dans le chaos : vers une approche déterministe de laturbulence. Hermann, 1984.BOUTTES J. – Mécanique des fluides. Ellipses, 1988.BRADSHAW P., Ed. – Turbulence. Coll. Topics in Applied Physics, vol. 12. Springer-Verlag ,1978.CADIERGUES R. – Le calcul numérique des écoulements et transferts turbulents. Promoclim E, 11,p.45 et p.115, 1980.CANDEL S. – Mécanique des fluides. Dunod, 1990.CEBECI T., BRADSHAW P. – Physical and computational aspects of convective heat transfer.Springer-Verlag, 1984.COMOLET R. – Mécanique expérimentale des fluides. Masson, 1976.COUSTEIX J. – Couche limite laminaire. CEPADUES, Paris, 1988.COUSTEIX J. – Turbulence et couche limite. CEPADUES, Paris, 1989.FAVRE A., KOVASNAY L., DUMAS R., CAVIGLIO J., COANTIC H. – La turbulence enmécanique des fluides. Gauthier-Villars, 1976.FORTIER A. – Mécanique des fluides et transferts de chaleur et de masse par convection. Masson,1975.GERMAIN P. – Mécanique. Coll. Ecole Polytechnique. Ellipses, 1986.GLANSDORFF P., PRIGOGINE I. – Structure, stabilité et fluctuations. Masson, 1971.GOTH Y., FEIDT M., LAURO F., BAILLY A. – Transferts de chaleur et pertes de charge enécoulement monophasique eau-eau dans les tubes corrugués. Rev. Gen. Therm. Fr, N°294-295, 1986.GOSSE J. – Guide technique de thermique. Dunod, 1981.GUYON E., HULIN J.-P., PETIT L. – Hydrodynamique physique. InterEditions, CNRS, Paris, 1991.HERPE J. – Caractérisation des performances des surfaces d’échange basée sur l’évaluationnumérique du taux de production d’entropie. Thèse Université de Valenciennes, France, 2007.HUNT J.C., Ed. – Turbulence and diffusion in stable environments. Clarendon Press, 1985.IDEL’CIK I. E. – Mémento des pertes de charge. Eyrolles, 1986.INCROPERA F.P., DE WITT D.P. – Fundamentals of heat and mass transfer. John Wiley, 1985.KAKAÇ S., YENER Y. – Convective heat transfer. CRC Press, Boca Raton, Floride, 1995.KAVIANY M. – Principles of convective heat transfer. Springer-Verlag, 1994.KAYS W.M., CRAWFORD M.E. – Convective heat and mass transfer. Mac Graw-Hill, 1980.LANDAHL M.T., MOLLO-CHRISTENSEN E. – Turbulence and random processes in fluidmechanics. Cambridge University Press, 1986.LANDAU L., LIFCHITZ E. – Mécanique des fluides. Ed. de Moscou, 1971.LEFEBVRE J. – Mesure des débits et des vitesses des fluides. Masson, 1985.LEONTIEV A. – Théorie des transferts de chaleur et de masse. Editions de Moscou, 1985.MIDOUX N. – Mécanique et rhéologie des fluides en génie chimique. Tec. Et Doc., Lavoisier, 1985.PADET J. – Fluides en écoulement. Méthodes et modèles. 1 ère édition. Masson, 1991.

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