FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

1.3.4. – Bilan d’énergie mécanique1.3.4.1. – FORME GÉNÉRALELe bilan d’énergie mécanique n’est en fait qu’un sous-produit du bilan de quantité demouvement. Il est cependant très utilisé, l’un de ses avantages étant le caractère scalaire del’équation qui l’exprime. Il constitue en outre une étape indispensable pour établir le biland’énergie interne (§ 1.3.5).On part de l’équation (1.32) de bilan local :∂(ρV)∂t+div P= ρ F+divTMultiplions scalairement les deux membres par V :∂(ρV)V . + V .div P = ρ F .V + V .divT∂t(1.39a)Le calcul des produits scalaires, que l’on trouvera dans l’annexe 1.A.3, conduit àl’équation suivante :( V σ )22∂⎛V⎞ ⎛V⎞⎜ ⎟i ij Vidiv⎜V⎟ ∂∂= F .V + − ijt ⎜ρ2 ⎟+⎜ρ2 ⎟ρσ(1.39b)∂∂xj ∂xj⎝ ⎠ ⎝ ⎠avec sommation sur les indices répétés pour les deux derniers termes.Si l’on compare cette relation à l’équation générale de bilan local (1.24), on constatequ’elle exprime un bilan local d’énergie cinétique ( C = ρ V / 2 , en J/m 3 ). Les termes dusecond membre représentent les sources d’énergie cinétique, qui sont les puissances desforces appliquées (W/m 3 ), à savoir :- puissance des forces de volume : ρ F . V- puissance des forces de surface, c'est-à-dire des contraintes, exprimée par une divergence∂(Viσ ij )(relation 1.23) : div V .T =∂xj- puissance locale des forces intérieures, ou puissance de déformation, due à la déformation dechaque élément de volume sous l’effet des contraintes : σ ∂V / ∂x. Dans un champ devitesse uniforme (mouvement en bloc), ce terme est nul.Intégrons maintenant (1.39b) sur le domaine :⎛⎞⎛⎞22∂(Vσ )∂Viσ ijD 2D 2DD ∂xjD ∂xj∂∫ ⎜⎜ V⎟⎟ +=+−∫ ⎜⎜ V⎟⎟i ijρ dτdiv ρ .V dτρ F .V dτdτ∫ ∫ ∫∂t⎝⎠⎝⎠ij2ij