FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

ce qui peut encore s’écrire, puisque z est indépendant de t dans un repère fixe :∂(ρgz)ρ g .V = − div( ρgzV ) −∂tet :∂(ρgz)ρ g .V dτ= − ρgzV .n dS −dτ(1.44b)∫ ∫ ∫ ∂t♠DSDEn reportant les expressions (1.41), (1.43) et (1.44b) dans le théorème de l’énergiecinétique (1.40), on obtient après regroupement des termes la formule de Cotton-Fortier, ouéquation de Bernoulli généralisée :∫=D∫⎛⎜ρgzt ⎜+⎝∂∂V τ nSiijjVρ2dS−2∫⎞⎟⎟dτ+⎠S∫SpV .n dS +⎛⎜⎜ρgz+⎝∫D2Vρ2p divV dτ−⎞⎟⎟V .n dS⎠∫Φ dτD(1 .45a)(on écrit aussi Bernouilli : l’orthographe des noms propres n’était pas encore stabilisée au18ème siècle !)Lorsqu’il existe des surfaces solides mobiles à l’intérieur de (c’est le cas pour lespompes, turbines, hélices…), elles fournissent au fluide (ou reçoivent de lui) une puissancetotale W (W > 0 ou < 0). Il s’agit d’une source d’énergie supplémentaire, et on ajoutera W ausecond membre de (1.45a).On observera que l’équation de Bernoulli généralisée (1.45a) se présente comme un2bilan de l’énergie mécanique ρ gz + ρV/ 2 (énergie potentielle + énergie cinétique), dontles sources sont les termes du second membre.Enfin, sous forme locale, cette équation (1.45a) ou (1.40) devient :∂⎛⎜⎜ρgz∂t⎝2V+ ρ2⎞ ⎛⎟ ⎜⎟+ div⎜ρgz⎠ ⎝2V+ ρ2⎞⎟⎟V⎠=∂(Vτ )i∂xjij− div pV+pdivV− Φ(1.45b)1.3.4.3. – ÉQUATION DE BERNOULLINous examinons ici un cas particulier considéré comme référence : celui d’unécoulement permanent de fluide parfait isochore (ρ = cte, ∂ / ∂t= 0 , µ = 0).On montre en cinématique des fluides que dans un écoulement permanent, lestrajectoires sont confondues avec les lignes de courant. En tout point M, le vecteur vitesseV ( M ) est donc tangent à la trajectoire qui passe par M.