FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

∂U∂t∂V∂t∂W∂t+ V .grad U+ V .grad V+ V .grad W1 ∂p*= −ρ ∂x1 ∂p*= −ρ ∂y1 ∂p*= −ρ ∂z+ ν ∆U+ ν ∆V+ ν ∆W(1.37c)L’introduction de la pression motrice p* offre l’appréciable avantage de rendre leséquations scalaires (1.37c) indépendantes de l’orientation des axes par rapport à l’horizontaleet à la verticale, et donc de décrire de manière identique tous les écoulements, quelle que soitleur direction vis –à- vis de la pesanteur.Cependant, pour des raisons bien compréhensibles, la plupart du temps on choisit x ety comme directions horizontales, et z pour la direction verticale ascendante. Dans cesconditions, on remarquera que :g= −grad gzAlors, d’après (1.37a) :gradp*= grad ( p + ρgz)(1.38a)ce qui donne l’expression de la pression motrice p* (à une constante près) :p*= p + ρgz(1.38b)Quant aux équations (1.37c), qui sont alors appelées « équations de Navier – Stokes »,elles prennent la forme :∂U∂U∂U∂U1 ∂p+ U + V + W = − + ν ∆U∂t∂x∂y∂zρ ∂x∂V∂V∂V∂V1 ∂p+ U + V + W = − + ν ∆V∂t∂x∂y∂zρ ∂y∂W∂W∂W∂W1 ∂p+ U + V + W = − g − + ν ∆W∂t∂x∂y∂zρ ∂z(1.38c)En coordonnées cylindriques, les équations de Navier – Stokes sont données à la findu présent chapitre, dans les annexes.Enfin, si nous revenons au cas d’un fluide immobile ( V = 0 , cf. 1.36b) on arrive à la« loi de l’hydrostatique » :grad p* = 0 soit p * = p + ρ gz = cte(1.38d)