FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

mais I étant le tenseur unité, div I = 0 et il reste :div p I = grad p .♥ Dans le second terme, on admettra d’abord µ = cte, d’où : div µ D = µ div D .ou encore :1 ⎛ ⎞Compte tenu du fait que ⎜∂V∂Vi jε = + ⎟ij(relation 1.9), on obtient :2⎝∂xj ∂xi⎠( )⎟ ⎟ ⎞⎜⎜ ⎛ ∂ ∂= +∂⎟⎟ ⎞⎜⎜ ⎛2∂ε2∂2ij ∂ V Vi j V Vijdiv D = =1 +1i∂x2∂ ∂2j 2∂ ∂⎝∂xjxix j 2⎠ ⎝∂xjxix j⎠1( )⎟ ⎞⎜ ⎛div D = +∂idiv grad VidivV.2 ⎝∂xi⎠Par conséquent :2 µ div D = µ ( div grad V + grad divV )soit en définitive (relation 1.33c) :div T = − grad p + µ ∆ +( V grad divV )♠ Si µ ≠ cte :∂∂ ⎡ ⎛ ⎞⎤( )⎢ ⎜∂V∂Vi jdiv 2µD+ ⎟i= ( µ ε ij ) = µ⎥∂x∂ ⎢jx j ⎣ ⎝∂xj ∂xi⎠⎥⎦∂ ⎛ V ⎞ ∂V⎜∂ i ∂ j= µ ⎟ + µ , que nous noterons :∂xj x⎝∂ j ⎠∂xj ∂xi= (I) i + (II ) iLes choses sont claires pour le premier terme :( I ) i = div µ grad V iElles le sont moins pour le second, que nous aurons intérêt à détailler :∂ ⎛ ∂Vj ⎞ ∂Vj ∂µ( II ) i = µ ⎜ ⎟ +∂xj x⎝ ∂ i ⎠ ∂xi∂xjce que la commutativité de l’opérateur dérivation permet d’écrire :∂ ⎛ ∂Vj ⎞ ∂Vjt( II ) ⎜ ⎟∂µ⎛⎞i = µ+ = µ ( grad divV )i+ ⎜ grad V . grad µ ⎟∂xi x⎝∂ j ⎠∂xi∂xj⎝⎠où t désigne la matrice transposée (permutation des indices i et j)d’où finalement :t( µ grad V ) + µ grad divV + grad V . µ2 div µ D = divgradi