FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

ANNEXES AU CHAPITRE 11.A.1. – LES BILANS SUR UN DOMAINE MOBILE ET LE CONCEPT DE DÉRIVÉEPARTICULAIREIl est de tradition de présenter les équations de bilans en mécanique des fluides à l’aided’un concept que nous n’avons pas utilisé : la dérivée particulaire.Pour le définir, reprenons le raisonnement suivi au paragraphe 1.3.1 lorsque nousavons établi la forme générale d’une équation de bilan, en y introduisant toutefois unedifférence importante : le domaine sera maintenant supposé mobile. Deux éventualités sontalors à considérer.♣ Domaine animé du même mouvement que le fluidePlaçons-nous dans l’hypothèse où il n’y a pas de diffusion massique dans le fluide.Nous choisissons à l’instant initial un domaine fluide ∆, et nous suivons dans leurmouvement les molécules qu’il contient.La frontière Σ de ∆ va donc ici se déplacer et se déformer en fonction du mouvementdes molécules qu’elle entoure, cependant que ∆ va renfermer toujours les mêmes molécules.Cette procédure est connue sous le nom de description lagrangienne, par opposition àla description eulérienne qui utilise un domaine fixe.A chaque instant, la quantité totale K de la grandeur physique contenue dans ∆ a pourvaleur :K=∫C dτ∆comme dans 1.3.1, mais cette fois ∆ est mobile. Aussi, pour la distinguer de la dérivée∂KDKclassique , la variation de K par unité de temps est-elle notée ici et appelée dérivée∂tDtparticulaire.En description eulérienne du mouvement ( fixe), le bilan fait intervenir quatregrandeurs (§ 1.3.1) :∂K∂C- la variation de K : = dτ;∂t∫D∂ t- le flux Φ S à travers la surface S, dû au mouvement du support matériel ;- les sources surfaciques Q S ;- les sources volumiques Q I ,et l’équation s’écrit :∂K= Q I − Q S − Φ S(1)∂tEn description lagrangienne du mouvement, il n’y a plus de flux à travers Σ dû aumouvement du support matériel puisque Σ se déforme en suivant ce mouvement. Il reste doncdans le bilan :