FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

3.3.4.3 – SCHÉMAS DYNAMIQUES♣Considérations physiquesL’une des principales difficultés en turbulence est de décrire l’écoulement auvoisinage des parois, et c’est particulièrement là que la condition (3.30) se révèle inadaptée.D’une manière générale, en physique, quand l’hypothèse d’un paramètre constantn’est plus tenable, l’étape suivante consiste à postuler qu’il dépend d’une grandeurcaractéristique du phénomène étudié, et on commence souvent par le plus simple, à savoir unedépendance linéaire.Dans le cas présent, il y a potentiellement deux candidats pour cette fonction : legradient transversal de vitesse, et la distance à la paroi.Sachant qu’un fluide est un milieu à la fois visqueux et très déformable, on conçoitaisément que si la contrainte de cisaillement τ (et donc le gradient de vitesse ∂ U / ∂y) devienttrop grande dans l’écoulement, les filets fluides auront tendance à s’incurver (fig. 3.2). C’estl’amorce d’un tourbillon, et par conséquent de la turbulence si l’amortissement est insuffisant.La diffusion turbulente devrait donc augmenter avec ∂ U / ∂y.Mais de plus, le développement d’un tourbillon sera évidemment limité par une tropgrande proximité de la paroi, ou favorisé lorsqu’on s’éloigne de celle-ci (fig. 3.2). La diffusionturbulente devrait donc augmenter aussi avec la distance y à la paroi.FIG. 3.2. – Amorces de tourbillons : représentation très schématique♦Hypothèse de Prandtl (1925)Historiquement, la première étape a été franchie par Prandtl, en admettant que laviscosité turbulente est proportionnelle à la valeur absolue du gradient transversal de vitesse(le signe du gradient ne change a priori rien au phénomène lui-même), ce qui s’écrit :∂Uν t = l2(3.32)∂yDans cette expression, le coefficient de proportionnalité l possède la dimension d’unelongueur, que Prandtl a appelé longueur de mélange en raison d’une analogie – pas trèsconvaincante – avec la notion de libre parcours moyen en physique statistique.Mais ceci ne fait que déplacer le problème, sans vraiment le résoudre. Si les résultatsexpérimentaux étaient compatibles avec la condition l = cte, la longueur de mélange pourrait