FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

On pose habituellement :T = − p n + τ(1.16a)ou sous forme tensorielle :T = − p I + τ ⎫⎪⎬σ = − + ⎪ij pδij τ ij⎭(1.16b)Le tenseur τ défini par (1.16b) est le tenseur des contraintes de viscosité ; le vecteurτ est le vecteur contrainte visqueuse au point M.♦ Dans la plupart des cas usuels que l’on peut rencontrer, le terme η divV . I est soit nul(fluide isochore), soit très petit devant 2µ D . La loi de comportement se réduit alors à :T = − pI + 2µD soit : τ = 2µ D(1.17)d’où, d’après (1.9) :τij1 ⎛⎜∂V= 2 µ ε ij = 2µ2⎝∂xij+∂V∂xij⎞⎟⎠⎛ ⎞⎜∂V∂Vi jτ + ⎟ij = µen N / m 2 (ou Pa) (1.18)⎝∂xj ∂xi⎠On reconnaît dans (1.18) une généralisation de la relation (1.3) établie pour unécoulement unidimensionnel.♥ Lorsque η divV . I n’est pas négligeable, c’est-à-dire dans les écoulements à massevolumique fortement variable, on admet assez souvent la relation de Stokes : η = - (2/3)µ .Alors :τij⎛⎜∂Vi= µ⎝∂xj+∂V∂xij−23∂V∂xii⎞⎟⎠En toute rigueur, cette relation issue de la théorie cinétique des gaz n’est applicablequ’aux gaz monoatomiques. Elle reste acceptable pour les gaz diatomiques, mais η estbeaucoup plus grand que µ avec les gaz triatomiques (CO 2 , NO 2 ).