FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

U=∂Ψ∂y;V= −∂Ψ∂x(1.82)Cette fonction de courant satisfait l’équation de continuité puisque :divV=∂U∂x+∂V∂y=2∂ Ψ−∂x∂y2∂ Ψ≡ 0∂y∂xD’autre part, la vorticité Ω s’exprime aisément en fonction de Ψ :Ω =∂V∂x−∂U∂y= −2∂ Ψ−2∂x2∂ Ψ= − ∆Ψ2∂yIl est donc parfaitement licite de remplacer l’équation de continuité par l’équation cidessus,réécrite en ne gardant que les deux termes extrêmes :Ω + ∆Ψ = 0(1.83)Le système à résoudre est alors composé des équations (1.81) et (1.83):( Ω V )∂Ω+ div∂tΩ + ∆Ψ = 0= ν ∆ΩLa résolution donne successivement Ω, puis Ψ, et enfin U et V.1.4.3. – Écoulements axisymétriquesLes écoulements à symétrie cylindrique constituent une autre famille d’écoulementsbidimensionnels, pour lesquels la méthode précédente s’applique avec quelques nuances.Dans n’importe quel plan diamétral x, r (x : direction axiale, r : direction radiale, vecteurvitesse ( U , V )V = ), l’équation de continuité et les équations de Navier-Stokes s’écrivent :∂U∂x∂U∂t∂V∂t+1 ∂(rV )= 0r ∂r⎛ 2 2∂U∂U1 ∂p*⎜∂ U ∂ U+ U + V = − + ν +∂x∂rρ ∂x2 2⎝ ∂x∂r+⎛ 2 2∂V∂V1 ∂p*⎜∂ V ∂ V+ U + V = − + ν +∂x∂rρ ∂r2 2⎝ ∂x∂r+1r1r∂U⎞⎟∂r⎠∂V∂r−V ⎞⎟2r⎠(1.84)(1.85a)(1.85b)Le vecteur tourbillon a maintenant pour composantes :