FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

où P = ρ V ⊗ V est le tenseur des quantités de mouvement, de composantes :P = ρV V (en Pa)ijijsoit encore :⎛ 2⎞⎜U UV UW⎟⎜2P = ρ VU V VW ⎟(1.30b)⎜⎟2WU WV W⎝⎠L’expression du bilan intégral (1.25) est alors :r( r rT dS∂t∂ ρV) rdτ+ P .n dS = ρ F dτ+∫ ∫ ∫ ∫DSDS(1.31)où les termes du second membre représentent la somme des forces extérieures à : résultantedes forces de volume et résultante des actions de contact sur .r rLorsque les seules forces de volume en jeu sont les forces de pesanteur ( F = g ), leurrésultante est le poids du fluide contenu dans :r rρ g dτ= m g∫ Dr rPassant maintenant au bilan local de quantité de mouvement, et sachant que T = T . n ,on obtient à partir de (1.31), si le champ de vitesse V r est continu :r∂(ρ V )r+ div P = ρ F + divT(1.32)∂tavec, d’après l’Annexe 1.A.2 :div Pr r r= grad V . ρ V + V div( ρ V )(1.33a)expression où l’on retrouve le tenseur gradient du champ des vitesses grad Vr (1.7). Lesrtermes div P et grad V . ρVsont des vecteurs, le second ayant pour composantes :⎛⎞⎜ρV .grad U⎟grad V . ρ V = ⎜ ρV .grad V ⎟(1.33b)⎜⎟ρV .grad W⎝⎠(dans le deuxième membre, l’usage est de mettre V en premier, ce qui est permis par lacommutativité du produit scalaire).Si la viscosité dynamique µ varie peu (µ ≈ cte), l’expression deelle (Annexe 1.A.2) :div T s’écrit quant àrdivT = − grad p + µ ( ∆V+ grad divV )(1.33c)