FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

3.A.7 – ÉQUATION DE BILAN POUR LA DISSIPATION ε2 D c grad c :On part encore de l’équation (3.11) dans laquelle on place le terme∂c'+ div( C v + c V ) = q I∂t+ div{ cv + Dcgrad c − cv}div C v à gauche :Appliquons l’opérateur gradient à chaque membre, puis multiplions scalairement par(1)2 Dc= 2 D∂cgrad c .grad +∂t( a )cgrad c . grad q( d)'I2 Dc+ 2 Dgrad c .grad div ( Cv + cV )c( b )grad c .grad div( cv +( f)( c )Dcgrad c − cv )( g )( h )(2)On calcule terme à terme, et on prend ensuite la moyenne :!!∂2( a ) = Dc ( grad c )(3a)∂tLa moyenne de ∂ / ∂test nulle (3.A.2.3) :( a ) = 0(3b)!! ( b ) 2 Dc grad c .grad ( C div v + v .grad C )= , soit d’après (3.18) := 2 D c grad c .grad ( v .grad C )(4a)ou avec une autre écriture qui fait apparaître les composantes:∂c∂ ⎛ ∂C⎞( b ) = 2 Dc⎜vk⎟∂xj ∂xj ⎝ ∂xk⎠jj2∂c∂ C ∂c∂vk∂C= 2 Dcvk+ 2 Dc(4b)∂x∂x∂x∂x∂x∂xjjkkj(b 1 ) (b 2 )et en moyenne :2∂c∂ C ∂c∂vk∂C( b ) = 2 Dcvk+ 2 Dc(4c)∂x∂x∂x∂x∂x∂xjjjkk!! ( c ) = 2 Dc grad c .grad ( c divV + V .grad c )et sachant que div V = 0 ,( c ) = 2 Dcgrad c .grad ( V .grad c )