FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

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lkνtk= =(3.96a)v°kqui représente (en ordre de grandeur) la longévité moyenne des plus petites structuresdynamiques turbulentes. Celle des plus petites structures thermiques sera caractérisée à partirde (3.93b) par :lTatT = =(3.96b)v°k3.6.3.5. – IMPORTANCE DES MICRO-ÉCHELLESLes micro-échelles de turbulence présentent un intérêt essentiellement pratique. D’unepart, elles donnent des indications précieuses pour le dimensionnement des sondes de mesuredans un dispositif expérimental. En effet, on conçoit que si une sonde possède des dimensionsplusieurs fois supérieures à celles des petites structures, les mesures qu’elle fournira nepourront prétendre à une valeur vraiment locale. D’un autre côté, les micro-échelles delongueur et de temps permettent aussi d’estimer les dimensions minimales du maillage àutiliser dans une résolution numérique.3.6.4. – A propos du nombre de Reynolds turbulentNous avons rencontré sur notre route un nombre sans dimension dénommé « nombrede Reynolds turbulent » (§ 3.4.3.1.) défini par les relations (3.73) et (3.74c) :2k 1 ν tR t = =ε C f νν µ µAvec l’aide de l’hypothèse (3.90c) et de la définition (3.95c), R t s’écrit encore :R 1 L k1/21 v Lt ==°(3.97)C fC f νµµν µ µEn faisant abstraction de la fonction d’amortissement f µ , on constate que R t estconstruit comme un critère de similitude relatif à la diffusion turbulente de quantité demouvement, c’est-à-dire comme un « nombre de Reynolds ». Mais vu que la fonctiond’amortissement est elle-même dépendante de R t , et qu’elle constitue un élément clé desmodèles dits « à bas Reynolds », la terminologie en usage introduit un élément de confusionet s’avère inadaptée. Il aurait mieux valu donner un autre nom à ce paramètre.3.6.5. – Simulation des grandes structures (SGS)(en langage international : LES = Large Eddy Simulation)La simulation des grandes structures turbulentes est une approche intermédiairehybride qui consiste à découpler, par des techniques numériques, le calcul de l’écoulementaux macro-échelles et aux micro-échelles.La justification de ce type d’approche réside dans l’idée suivante, déjà évoquée : lesgrands tourbillons produits par l’écoulement moyen sont difficiles à modéliser ; ilstransportent cependant la majeure partie de l’énergie cinétique turbulente. Il faut donc depréférence les traiter directement, sans hypothèses simplificatrices. Par contre, les petits
tourbillons sont relativement plus faciles à prendre en compte, car ils sont dominés par laviscosité moléculaire.Cette technique semble bien adaptée aux écoulements dans lesquels les macroéchelleset les micro-échelles sont assez dissemblables, comme par exemple dans le bâtimentet son proche environnement.3.6.6. – Simulation numérique directe (SND)(en langage international : DNS = Direct Numerical Simulation)Comme son nom l’indique, la simulation numérique directe consiste à résoudredirectement les équations de bilans en espace et en temps. C’est évidemment l’idéal auquelrêve tout mécanicien des fluides. Sauf que ce genre de calcul se révèle si complexe et siexigeant en capacité et en temps d’ordinateur qu’il reste encore réservé à des petits domainesn’excédant guère 10 2 cm 3 . Il semble malgré tout que l’avenir soit là, à condition en particulierd’élaborer des techniques numériques de filtrage qui permettent d’accéder correctement et aumoindre coût, soit au mouvement moyen, soit à des détails locaux.3.7 – PRODUCTION D’ENTROPIE TURBULENTELes équations de bilans, qui ont été adaptées dans ce chapitre au traitement statistiquedes grandeurs turbulentes, avaient évidemment pour but la détermination des champs moyensde vitesses et de température. Mais la turbulence se traduit aussi par une production spécifiqued’entropie, qu’il est intéressant d’examiner maintenant.Revenons donc au bilan d’entropie (1.74) dans lequel n’ont été conservés que lestermes dominants en convection thermique :∂(ρ s)Φ λ⎛ λ ⎞+ div ( ρ sV ) = + ( grad T )2 + div⎜grad T ⎟(3.98a)∂tT T2⎝ T ⎠soit, pour un fluide isochore :∂(ρ s)Φ λ⎛ λ ⎞+ ρV.grad s = + ( grad T )2 + div⎜grad T ⎟(3.98b)∂tT T2⎝ T ⎠Pour la suite, il sera plus commode d’écrire cette équation sous forme cartésienne, endéveloppant la fonction de dissipation Φ :∂s∂sµ ⎛ ⎞⎜∂V∂Vi j⎟∂Viλ ⎛ ∂T∂T⎞ ∂ ⎛ λ ∂T⎞ρ + ρVi= + +⎜⎟ +⎜⎟ (3.98c)∂t∂xi T⎝∂xj ∂xi⎠∂xj T2⎝ ∂xi∂xi⎠ ∂xi⎝ T ∂xi⎠Comme pour toute autre grandeur turbulente, on considère que la valeur instantanée del’entropie est la somme d’une valeur moyenne s et d’une fluctuation s’ :s ( t)= s + s'(3.99)En introduisant maintenant les grandeurs fluctuantes (rappelons que θfluctuation de température), et en passant à la moyenne, il vient :est la
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Octobre 1990
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2.2.2. - Expérience de la plaque p
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NOMENCLATUREJe suis exténué. Ce m
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1.1.3. - Viscosité des fluides : a
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peu à l’encontre du sens commun,
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∂Vi∂Vi∂ViVi′ = Vi+ dx + dy
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diagonaux de D caractérisent l’
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T = T . n ( n normale extérieure
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On pose habituellement :T = − p n
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Vy 0 =La paroi étant imperméable,
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qSEn ce qui concerne q r S , on int
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où P = ρ V ⊗ V est le tenseur d
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∂U∂t∂V∂t∂W∂t+ V .grad U
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L’application du théorème flux-
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ce qui peut encore s’écrire, pui
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Le long d’un tube de courant él
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où λ désigne la conductivité th
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.Examinons brièvement les principa
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D’après le second principe de la
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tourbillonOn reconnaît dans la gra
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ΦΣ=∫CVrΣ.n dΣSoit δK la vari
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Alors :div T= −gradp+divt( µ gra
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de viscosité », ce qui est plus o
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Les trois types d’écoulements mi
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Cette interprétation conduit tout
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Deux remarques s’imposent à prop
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plaque plane, l’expérience montr
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♥Quant au critère de similitude
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et donc à un autre critère de sim
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Ceci donne une expression simplifi
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Intéressons-nous à deux sources 1
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kΓ Ap =(2.87)oVMais traditionnelle
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De même, à la place de Γ ϕ l (2
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g β ∆TLc) Ri =oV Vétant homogè
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