FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

c’est-à-dire que la diffusion turbulente soit négligeable sans que c v soit nul pour autant. Celaest possible si c v est quasi uniforme : il y a bien diffusion turbulente, mais son bilan local estnul en moyenne. Ce type d’écoulement est un cas très particulier, qui rentre dans le cadre dela turbulence homogène (§ 3.4.5).!!! Signalons enfin un point de terminologie : les moyennes utilisées dans ce chapitre (quisont au point de vue mathématique des moyennes « mal définies », cf. annexe 3.A.2) sontsouvent appelées moyennes de Reynolds, et dans la littérature anglo-saxonne leur applicationaux équations de quantité de mouvement est désignée par Reynolds Averaged Navier – Stokes,en abrégé RANS.3.2.2. – Équation de bilan pour les fluctuationsNous pouvons maintenant établir une équation qui s’interprétera comme un bilan localde la grandeur fluctuante c. Pour cela, développons l’équation (3.6) en séparant, dans lessources de volume q I , la moyenne q I et la fluctuation q ' I (soit : q ' I = q I+ q I ).Sachant que ∂C / ∂t= 0 (écoulement permanent en moyenne), il vient :∂c'+ div( CV + Cv + cV + cv ) = q q I div{ Dcgrad ( C c )}tI+ ++(3.10)∂Soustrayons membre à membre l’équation aux valeurs moyennes (3.8a) et l’équationprécédente. On obtient :∂c+ div ( Cv + cV + cv − cv)= q' I + div ( Dcgrad C)∂tSoit encore, pour faire ressortir le bilan local de c :∂c'+ div c V = q I∂t+ div{ Dcgrad c + cv − cv − Cv}(3.11)3.2.3. – Le principe des fermetures en un pointMalgré ses avantages, la méthode statistique adoptée ne règle pas toutes les difficultés,loin de là. En prenant la moyenne des termes dans l’équation (3.6), nous cherchions àremplacer les termes fluctuants par des grandeurs indépendantes du temps. Cet objectif estréalisé, sauf que nous avons fait apparaître une nouvelle inconnue, la covariance c v , sansavoir augmenté le nombre d’équations. Le système est devenu « ouvert ».Pour le « fermer », il faudra donc établir une relation supplémentaire (vectoriellepuisque v c est un vecteur) pour chaque entité physique scalaire transportée (les composantesde la quantité de mouvement étant considérées comme telles). Ces relations portent le nom de« fermetures ».Malheureusement, rien dans la théorie ne permet d’établir de telles fermetures. D’unefaçon ou d’une autre, celles-ci reposeront donc sur des modèles phénoménologiques, voirequelquefois sur des hypothèses franchement empiriques.Toutes les fermetures relatives au modèle statistique local de la turbulence sontappelées fermetures en un point.