FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

3.3.3.2. – BILAN DE MASSE SUR UN CONSTITUANT ADans un mélange isochore, si l’on ne s’intéresse qu’à un constituant A (§ 1.3.2.2), ona : C = ρ A (moyenne), c = ρ' A (fluctuation), et l’équation de bilan aux valeurs moyennes (3.9)devient :{ DAgrad ρ A − ρ A v } 'div ρ V = q + div(3.20)AIAD A étant la diffusivité moléculaire de A dans le mélange, etqIAla valeur moyenne dessources volumiques de A (rappelons au passage que, lorsque div V = 0 , on a aussi :div ( ρ A V ) = V.grad ρ A ).En application de (3.15), admettons que :− ρ ' v = D grad ρ(3.21)AAtAOn introduit ainsi un coefficient D A t qui est la diffusivité turbulente du constituant Adans le mélange. D’où :AIA{(D D grad ρ }div ( ρ V ) = q + div + )(3.22)AAtPour un écoulement pleinement turbulent, on aura en général D At >> D A .A3.3.4. – Diffusion turbulente de quantité de mouvement3.3.4.1. – VISCOSITÉ CINÉMATIQUE TURBULENTEPassons maintenant au bilan local de quantité de mouvement. Notre point de départreste l’équation générale aux valeurs moyennes (3.9) :divCV= qI+ div{ Dcgrad C − cv}En conservant l’hypothèse du fluide isochore (soit : ρ ≡ ρ ) :C = ρ V j (composante de ρ V suivant la direction j)c = ρ v j (fluctuation)D c = ν (viscosité cinématique)Les forces extérieures F ne subissent pas de fluctuations ; la pression p a une valeurmoyenne p : d’où l’équation aux valeurs moyennes pour la quantité de mouvement (§.1.3.6.5,eq. 1.70b) :∂ pdiv ( V j ρV) = ρ F j − + div { ν grad ρVj − ρ v j v } ( j = 1 à 3) (3.23)∂xjLes composantes τ' jk = − ρ v j vkdu vecteur − ρ v v j qui intervient ci-dessus sontconnues sous le nom de tensions (ou contraintes) de Reynolds. Elles jouent le même rôle queles tensions visqueuses τ ij, mais elles expriment la diffusion de quantité de mouvement àl’échelle de la turbulence.