FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

C’est fini ; il n’y a plus qu’à regrouper. L’équation de départ (2) se présente comme unbilan de ε c si on laisse seul à gauche le terme de transport V .grad ε de (5c):cVk∂ε∂xck= − 2 Dcvk∂c∂xj∂∂xj2C∂xk− 2 Dc∂c∂xj∂v∂xkj∂C∂xk( b1), ( b2)− 2 Dc∂c∂xj∂c∂xk∂V∂xkj( c2)+2 Dc∂c∂xj'I∂q∂xj( d)(10)+Dc∂∂xk⎛ ∂εc ⎞⎜ − 2 Dx⎟⎝ ∂ k ⎠2c∂ c∂x∂xj2k∂ c∂x∂xj2k( g1), (g2)− 2 Dc∂c∂xj∂c∂xk∂v∂xkj−Dc∂∂xk⎛⎜v⎝k∂c∂xj∂c⎞⎟∂xj ⎠( h2), (h1)Dernière étape : on choisit c = v i (donc C = Vi) et D c = ν, d’où ε c = ε (dissipation,définie par 3.52), puis on somme sur i. De plus, dès à présent, nous allons éliminer le terme(d), dont le calcul montre qu’il est négligeable en convection forcée (mais pas en convectionnaturelle ou mixte car il contient la flottabilité).On obtient donc en fin de compte un bilan de dissipation :Vk∂ε∂xk= − 2νvk∂v∂xij∂∂x2jVi∂xk∂v− 2ν∂xij∂v∂xkj∂V∂xik( b1), ( b2)∂vi− 2ν∂x∂+ ν∂xkj∂v∂xik∂V∂xk⎛ ∂ε⎞⎜ − 2x⎟ ν⎝ ∂ k ⎠j2∂∂xj2vi∂xk∂∂x2jvi∂xk( c2( g1)), (g2)(11)∂vi− 2ν∂xj∂v∂xik∂v∂xkj∂− ν∂xk⎛⎜v⎝k∂v∂xij∂v∂xij⎞⎟⎠( h2), (h1)