FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

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Chapitre 1BASES PHYSIQUES ET THÉORIQUESBILANS ET LOIS DE COMPORTEMENTFelix qui potuit rerum cognoscere causasVIRGILEPRÉAMBULESur ce chapitre repose une bonne partie des développements ultérieurs, et il y sera faitconstamment référence par la suite.Après avoir examiné les aspects physiques du phénomène de viscosité, on présented’abord les éléments essentiels de la mécanique des milieux continus, en insistant sur lasignification des termes introduits et sur le calcul pratique des contraintes dans un fluidenewtonien.Pour établir les équations fondamentales de transferts, qui expriment des bilans, nousélaborons une équation générale de bilan intégral sur un domaine fixe et fini, d’où découleune équation générale de bilan local. L’une et l’autre s’appliquent ensuite à toutes lesgrandeurs physiques extensives. Cette démarche permet de bien identifier les termes detransport par la matière, les sources de surface et les sources de volume. Elle évite égalementle recours à la notion de dérivée particulaire, qui est présentée seulement en annexe avec lesbilans sur un domaine mobile.L’équation générale est adaptée successivement aux bilans de masse, de quantité demouvement et d’énergie interne (bilans primaires), à partir desquels on établit des bilansdérivés : bilans d’énergie cinétique, d’énergie mécanique, d’enthalpie et de vorticité. Onsouligne la distinction entre sources de volume (ou volumiques) et sources de surface (ousurfaciques), qui éclaire la signification et le rôle de certains termes dans les bilans dérivés.Nous avons accordé une place particulière aux phénomènes de diffusion, qui setraduisent dans les équations de bilans par des sources de surface. Plutôt que de les disséminerdans le chapitre, nous avons préféré grouper dans un même paragraphe : diffusion massique,diffusion thermique, diffusion en milieux poreux et diffusion de quantité de mouvement.Enfin, nous avons tenu à faire figurer ici les bilans d’entropie (bilan primaire) etd’exergie (bilan dérivé) qui sont en principe indispensables à toute étude d’optimisation, maisque l’on trouve trop rarement en dehors des ouvrages de thermodynamique.1.1. – PRINCIPALES CARACTÉRISTIQUES DES MILIEUX FLUIDESOn reconnaît aux fluides trois propriétés essentielles : ils sont continus, trèsdéformables et visqueux. Examinons-en attentivement les implications.
1.1.1. – Continuité des milieux fluidesUn milieu matériel est dit continu lorsque toutes ses propriétés sont des fonctionscontinues de l’espace et du temps (champ de contraintes, température, vitesse, loi decomportement etc.). Toutefois, un milieu peut être continu par morceaux, ceux-ci étantséparés par des surfaces de discontinuité (cas d’un contact entre milieux différents).On adopte habituellement deux hypothèses simplificatrices :- hypothèse d’homogénéité. – Certaines propriétés du milieu sont indépendantes descoordonnées spatiales (chaleur massique, conductivité thermique…);- hypothèse d’isotropie. – Certaines propriétés sont identiques dans toutes les directions.La définition des milieux continus implique de considérer des éléments de volumed très grands à l’échelle moléculaire et très petits à l’échelle macroscopique usuelle.Ceci est conforme à la plupart des conditions expérimentales, la précision des mesuresde longueur variant de 10 -2 mm à 1 mm. Parmi les exceptions, on notera les écoulementsmacromoléculaires, les écoulements aux très petites échelles, certains écoulementspolyphasiques, les écoulements de gaz raréfiés et les écoulements dans les microcanaux.A ce propos, on rappellera que, au début des années 1900, le mathématicien allemandDavid Hilbert avait proposé une liste de 23 problèmes qui constituaient à son avis les plusimportants à résoudre au cours du 20 ème siècle. Le sixième problème concernait le passage dela description moléculaire à la description statistique, et de la description statistique à ladescription macroscopique. A ce jour il n’a pas encore trouvé de solution complète.En mécanique des fluides, un élément de volume d répondant aux spécificationsprécédentes est appelé particule fluide. La température, la masse volumique, et la vitesse sontuniformes sur d à chaque instant.1.1.2. – Déformabilité des fluidesLa mobilité des fluides est une donnée perceptible par nos sens. Elle suppose unematière déformable, susceptible de prendre la forme de l’enceinte qui la contient.Alors que, dans les solides, des forces importantes provoquent des déformations trèspetites, dans les fluides des forces faibles entraînent des déformations importantes.En outre, le volume massique v, et par conséquent la masse volumique ρ = 1/v desfluides dépendent en général de p et de T.Les cas où cette dépendance est faible sont particulièrement intéressants : il peut s’agirsoit d’un fluide isochore, pour lequel la masse volumique dépend très peu de la pression et dela température, soit d’un écoulement isochore, où les variations de pression et de températuresont assez petites pour avoir peu d’incidence sur ρ, soit des deux à la fois (cf. Annexe 1.A.1).Pratiquement, dans leur majorité, les écoulements thermoconvectifs peuvent êtreconsidérés comme isochores, et par la suite nous utiliserons de préférence l’expression fluideisochore pour désigner toute situation où la masse volumique du fluide est assimilable à uneconstante.
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plaque plane, l’expérience montr
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0++( 0A ρρ ρ ) = Agrad ρ1grad
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Ceci donne une expression simplifi
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ADoΓ ν ν= ScΓ=(2.73)DoA2.5.1.2.
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Intéressons-nous à deux sources 1
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kΓ Ap =(2.87)oVMais traditionnelle
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De même, à la place de Γ ϕ l (2
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g β ∆TLc) Ri =oV Vétant homogè
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ANNEXES AU CHAPITRE 22.A.1. - TABLE
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Il faut tout d’abord convenir de
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2. Les sources d’exergie sont ré
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Pour le choix de ° et S°, deux v
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Bien que n’étant pas utilisées
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Il faut donc, pour disposer d’out
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c’est-à-dire que la diffusion tu
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3.3.3.2. - BILAN DE MASSE SUR UN CO
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∂U− u v = ν t∂yet (3.27) dev
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être déterminée expérimentaleme
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3.3.5. - Diffusion turbulente de ch
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V.grad θ vj= − vjv.grad T − θ
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3.4.1.3. - RÉSOLUTION DE L’ÉQUA
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2kε = Cµν tMais cette fois, il n
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et aussi en écriture vectorielle,
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2k 1 ν tR t = =(3.74c)ε C f νν
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En fin de compte, en regroupant, le
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Le modèle k - ω repose peut-être
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Mais la théorie statistique locale
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♦Coefficients d’autocorrélatio
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En convection thermique (resp. mass
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• Échelles expérimentalesOn pou
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Certains auteurs identifient macro-
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ρ ( Vi+ vi∂(s + s'))∂xiµ ⎛
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En fait, il faudrait écrire :C ( t
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div cv = div cvdiv ( Dc grad C)= di
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= 2 Dc= 2 Dc∂c∂xVet au bout du
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C’est fini ; il n’y a plus qu
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Bilan demasseSources devolumeNature
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Rayonnement3) Convection libreΓ =a
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IIntensité de turbulence, 3.4.5.Je
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ÉLÉMENTS DE BIBLIOGRAPHIERien n
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