FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

ε ° = ( k ° )3/ 2/ l°(3.94b)Plaçons-nous dans le cas de la turbulence homogène, où k varie peu dansl’écoulement : on prendra donc naturellement k° = k. En outre, vu la définition de k, il sembleacceptable de choisir comme vitesse de référence pour les fluctuations:v ° = ( k°) 1/ 2= k1/2(3.95a)v° étant souvent désignée comme une échelle de vitesse de la turbulence.La nécessaire cohérence des deux expressions de ε° entraîne :22⎛ v°⎞ ⎛ k 2 ⎞ k 3/ 2ν ⎜ ⎟ = ν ⎜1/⎟ =⎝ l°⎠ ⎝ l°⎠ l°d’où la longueur l° compatible avec les autres grandeurs de référence :l°=νk1/2=ν≡v°l k(3.95b)Par une autre voie, on retrouve donc ici l’échelle de Kolmogorov l k (3.93a).Ajoutons ici une propriété qui retient souvent l’attention des auteurs. En éliminant kentre les relations (3.94b) et (3.95b), on obtient :♦l k⎛ 3 ⎞⎜ν= ⎟⎝ ε ° ⎠1 / 4(3.95c)Enfin, lorsqu’on écrit (3.50) sous forme adimensionnelle, en respectant la procédureétablie au chapitre 2, on voit apparaître devant le terme ν ( div grad k)un critère de similitudeΓk= V ° l° /ν , où V° est la vitesse de référence pour l’écoulement moyen.Si l’on admet l’intensité globale de turbulence I (3.82d) à peu près constante dansl’écoulement, k1/ 2et V sont dans un rapport lui-même constant. On peut donc considérer quev° est représentative de l’écoulement d’ensemble, et il n’est pas illicite alors de choisir :V ° = v°= k 1/ 2(3.95d)d’où :Γk = V ° l° / ν = 1(3.95e)!!! Cette propriété, considérée parfois comme un postulat et parfois comme un hasard,signifie simplement que, avec les grandeurs de référence choisies, la similitude vis-à-vis de ladiffusion visqueuse d’énergie cinétique turbulente est automatiquement assurée à l’échelle 1lorsqu’on est en turbulence homogène.D’autre part, l’absence de structures turbulentes de dimensions inférieures à l k enmoyenne a pour conséquence, au voisinage d’une paroi, l’existence d’une sous - couchevisqueuse dont l’épaisseur est en ordre de grandeur au moins égale à l k . Nous retrouveronscette couche visqueuse au chapitre 5.♥ Quant à la micro-échelle des temps associée à l k , c’est bien entendu :