FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

∂( C + c )+ div∂t{( C + c )(V + v )} = q + div{ D grad ( C c )}I c +où V est le vecteur vitesse moyenne, et v le vecteur fluctuation de vitesse.En développant, on obtient :∂C∂c+ + div ( CV + cV + Cv + cv)= qI + div{ Dc( grad C + grad c)}∂t∂tLa méthode consiste à prendre la moyenne des deux membres de cette équation.(6)3.A.2.3. – MOYENNE D’UNE DÉRIVÉE PAR RAPPORT AU TEMPS♣ D’après la définition (5) des écoulements permanents en moyenne :∂C= 0∂t(7)c 1t0∫ + ττ t0∂∂t∂c∂t1τ♦ =dt = { c( t + τ ) − c( t )} → 0 si τ → ∞0 0, (c’est – à - dire enpratique si τ est pris assez grand). On a donc :∂c= 0(8)∂t3.A.2.4. – MOYENNE D’UNE DÉRIVÉE PAR RAPPORT AUX COORDONNÉES D’ESPACESoit une fonction X = X(t, x i ).Par définition de la moyenne :∂X1t0∫ + τ∂X=dt∂xiτ t0∂xiLes opérateurs∫ et ∂ portent sur des grandeurs indépendantes et peuvent être∂xipermutés :∂X ∂ ⎧1t0⎫ ∂ X= ⎨ X dt⎬=∂xi∂xi⎩∫ + ττ t0 ⎭ ∂xiOn a donc :div X = div X pour un vecteur Xgrad X = grad X pour un scalaire X (9)En particulier :div CV = div CV = div CV ( C,V = ctes)div cV= div cV = 0 ( V = cte,c = 0)div Cv = 0 (même raison)