FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

∂Vi∂Vi∂ViVi′ = Vi+ dx + dy + dz (i = x, y, z)∂x∂y∂zce qui s’écrit, sous forme matricielle :⎛ ∂U∂U∂U⎞⎜⎟⎛U'⎞ ⎛U⎞ ⎜ ∂x∂y∂z⎟ ⎛ dx⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂V∂V∂V⎟ ⎜ ⎟⎜ V' ⎟ = ⎜ V ⎟ + ⎜⎟ ⎜dy⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂x∂y∂z⎟ ⎜ ⎟⎝W'⎠ ⎝W⎠⎜ ∂W∂W∂W⎟⎝ dz ⎠⎝ ∂x∂y∂z⎠En introduisant le tenseur gradient du champ des vitessess’écrit :♦(1.6)grad V , la relation (1.6)V ( M' , t ) = V( M , t ) + grad V .dOM(1.7)Pour bien séparer les différentes causes du mouvement relatif des deux particules, ilest commode de décomposer le tenseurd’un tenseur antisymétrique ω , en remarquant que :grad V en une somme d’un tenseur symétrique D et∂V∂xij=1 ⎛⎜∂V2⎝∂xij+∂V∂xij⎞⎟ +⎠1 ⎛⎜∂V2⎝∂xij−∂V∂xij⎞⎟⎠(1.8)On pose :εωijij1 ⎛⎜∂Vi=2⎝∂xj1 ⎛⎜∂Vi=2⎝∂xj∂V+∂xij∂V−∂xi⎞⎟⎠j⎞⎟⎠(1.9)toujours avec i,j = x, y, z.Les termes ε ij et ω ij sont les composantes des tenseurs D et ω , et la relation (1.7)devient :V(M′,t ) = V( M , t ) + D .dOM + ω .dOM(1.10)La vitesse de la particule située en M’ est donc la somme de trois termes représentantrespectivement un mouvement de translation d’ensemble des particules fluides, unmouvement dû à la déformation du fluide et un mouvement de rotation.