FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

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2. Les sources d’exergie sont répertoriées dans l’équation (1.78b). Prenons pour commencerla source volumique :⎛ Te⎞qI = Φ ⎜1− ⎟⎝ T ⎠De même que précédemment, on doit avoir :qet aussi :.o +I = qIqIoo + o +++ ∆TT − ∆TTeo + T −= Φ Φo ++qI= Φ Φ∆TTTIl est logique de prendre, comme dans (2.52) :2oo o o⎛V⎞qI= Φ = µ ⎜ ⎟oL⎝ ⎠Le critère de similitude correspondant s’écrit :qΓ =CΓoIoLVoooo⎛V= µ ⎜o⎝ L⎞⎟⎠o oν V= = Γo o Φ νC p ∆TL2oρ C=EcRepLo∆ToVOn retrouve le même critère de similitude que dans les bilans d’énergie et d’entropie,relativement à la dissipation Φ.3. Une autre source volumique d’exergie, à savoirchaleur conductif. Dans ce cas :qoIoo T ⎛e T ⎞⎜∆= λ ⎟ eto2 oTL⎝ ⎠Alors, en remplaçant∆TΓ I =ToTeo2oρ Cλpo2oIq et C° :VoLooΓI=T+eTλTqCoIoe2LVoo( grad T )2, est due au flux deLe choix de T e comme température de référence T° semble naturel : T e = T°. Celadonne, après simplification :o oo∆Tλ ∆T1Γ I == = Γo o o o oλ sT ρ C V L T PepPour la même nature de source, le critère de similitude est le même que dans le biland’entropie (§ ♣ précédent).⎧ ⎛ Te⎞ ⎫4. Avec le flux d’exergie (source surfacique) div ⎨λ⎜1− ⎟ grad T ⎬ , on retombe sur un⎩ ⎝ T ⎠ ⎭critère de similitude égal à 1/Pe (le lecteur fera le calcul lui-même).
♥En conclusion, pour les sources communes (dissipation, flux surfacique), les critèresde similitude sont les mêmes avec l’entropie ou l’exergie qu’avec l’enthalpie. Pour les sourcesspécifiques aux bilans d’entropie et d’exergie (dues au flux conductif), le critère de similitude1/Pe doit être corrigé relativement au niveau de température absolue, et devient :∆TToo1Pe.2.A.4. – GRANDEURS GÉOMÉTRIQUES DE RÉFÉRENCE DANS UN BILANINTÉGRALDans le paragraphe 2.3, nous avons introduit les critères de similitude enadimensionnant l’équation de bilan local pour une grandeur extensive C. Que se passerait-il sil’on adaptait le raisonnement à l’équation de bilan intégral sur un domaine , de frontière ?En régime permanent, l’équation (1.22) s’écrit :∫∫C V . n dS = q dτ−SDI∫SqS.n dSPour toute grandeur X figurant dans l’équation, , on choisit une valeur de référence X°,et on pose X + = X / X°. A priori, on doit faire intervenir ici deux grandeurs de référencegéométriques : ° (surface de référence) et ° (volume de référence).Le domaine d’intégration n’est évidemment pas modifié par le changement devariables, et l’équation de bilan adimensionnée est maintenant :o + o+o + o +C C V V . n S dS = q∫∫I qI ° dτ + o+o +− qSD ∫S qS. n S dSSDivisons par C° V° S° pour assurer la similitude à l’échelle 1 vis-à-vis du terme detransport :∫C V . n dS =S++CoqVoIoSo °∫+D Iq dτ+oqS−oC VLes critères de « similitude intégrale » sont donc :- pour la source volumique :oIoqΓI= °o oC V S- pour la source surfacique :ΓS=CoqSo oVo∫Sq+s.n dSEn conséquence,1) Γ S est le même que dans le bilan local (cf . 2.4, 2.5) ; il y a donc équivalence entresimilitude locale et similitude globale pour les sources surfaciques.2) Pour que Γ I soit égal au Γ I local (2.5), il faut prendre :L° = ° / S° , d’où Γ =IqoIoLooC VLa condition d’équivalence entre similitude locale et similitude intégrale est donc :L° = ° / S°
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