FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

3.4. – MODÈLES LOCAUX BASÉS SUR DES ÉQUATIONS D’APPOINTLes différentes variantes du modèle pseudo – laminaire que nous avons examinéespossèdent beaucoup de qualités, entre autres une relative simplicité. Toutefois, les résultatsqu’elles fournissent ont un caractère partiel, catégoriel, et ce qui est plus grave, ils sont parfoispeu satisfaisants, en particulier lorsqu’on se trouve en présence de gradients de pression.Des modèles plus élaborés se révèlent donc nécessaires. Dans le cadre de la théoriestatistique locale de la turbulence, ces modèles font appel à des équations supplémentaires debilans portant sur certaines grandeurs moyennes. La méthode générale consistant à écrire desbilans statistiques de grandeurs transportables a été initiée par A. Favre (1965).Les équations « d’appoint » les plus utilisées sont l’équation en k (énergie cinétique deturbulence) et l’équation en ε (dissipation).3.4.1. – Modèle à une équation dynamique d’appoint ou modèle k – lLe modèle k – l fait intervenir à la fois l’hypothèse de Prandtl – Kolmogorov (3.36)reliant la viscosité turbulente ν t à k, et la résolution de l’équation de bilan de k. Celle-ci seradéduite d’une équation plus générale que nous allons d’abord présenter.3.4.1.1. – ÉQUATIONS DE BILANS POUR LES CORRÉLATIONS♣Au prix de quelques calculs un peu laborieux mais parfaitement classiques, on peutétablir une relation générale de bilan pour les corrélations c v j (le détail de ces calculs figureen Annexe 3.A.4).La méthode est la suivante : on part de l’équation aux fluctuations (3.11) que l’onadapte au cas de la quantité de mouvement. Puis (3.11) est multipliée par v j tandis quel’équation de quantité de mouvement (3.23) est multipliée par c. On additionne membre àmembre les deux nouvelles équations ainsi obtenues, et l’on en prend la moyenne.Voici le résultat de l’opération exprimé sous forme vectorielle (en coordonnéescartésiennes, vois Annexe 3.A.4) et valable pour des écoulements isochores, permanents enmoyenne (d’où ∂ ( c v j ) / ∂t= 0 , § 3.2.1 ♥) où D c et ν sont sensiblement constants :V . grad c vj= − vjv .grad C− c v .grad Vj( a )+ vjq'Ic−1 ∂p'cρ ∂xj( b )− ( Dc+ ν ) grad c .grad vj( c )(3.46)+Dcdiv( vjgrad c ) + ν div( cgrad vj)( d)− div c vjv( e )avec : p’ fluctuation de pression ; q' Ic fluctuation de la source locale de C.Nous n’avions pas a priori les moyens d’écrire le bilan local de la grandeur c v j . Maisla relation (3.46) se présente bien comme un tel bilan. Au premier membre on trouve en effet :