FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

Deux remarques s’imposent à propos des définitions précédentes. Premièrement,puisqu’on ne peut pas diviser un vecteur par un autre, la référence d’une grandeur vectorielleest obligatoirement un scalaire. Deuxièmement, le choix d’une même longueur de référenceL° dans les trois directions de l’espace paraît à première vue une nécessité logique, mais il y ades exemples (comme les entrées de canalisations) où ce choix est physiquement inapproprié.Nous en parlerons au chapitre 6 (§ 6.5).Remplaçons maintenant x, y, z, t, C, q In , V etdans l’équation (2.1). On a en particulier :∂C∂t=Ctoo∂C∂to++o++∂ CV C V ∂( C V )=(et de même pour y et z).∂xo +L ∂xL’équation (2.1) s’écrit donc :qSmen fonction des nouvelles variablesCtoo∂C∂t+++CoLVoodiv C+V+=∑où tous les coefficients sont de dimension [C] [t] - 1 .nqoInq+In−∑mqoSmoLdiv q+Sm(2.3)Nous pouvons rendre cette relation complètement adimensionnelle en multipliant lesdeux membres par L o /C o V o , qui est de dimension [t][C] – 1 . L’opération présente en particulierl’avantage d’isoler le terme de transport :+div C + V . On obtient ainsi :toLoVo∂C∂t+++div C+V+=∑nqCoInoLVooq+In−∑mCoSmo oqVdiv q+Sm(2.4)Bien entendu, tout ceci n’a de sens que si les grandeurs de référence C°, L° …. sontdes constantes.Les groupements sans dimension qui sont apparus dans l’équation (2.4) présentent ungrand intérêt. Nous les noterons respectivement Γ t , Γ In , Γ Sm :oL ⎫Γt=o o⎪t V ⎪o oq ⎪In LΓ In =o o⎬(2.5)C V ⎪oq ⎪SmΓSm= ⎪o oC V ⎪⎭d’où l’écriture définitive de l’équation générale adimensionnelle de bilan local :+∑∑∂C++++Γ t + div C V = Γ −+In qInΓ Sm div qSm(2.6)∂tnm