FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

∂V⎛i V Vi j ⎞⎜∂ ∂ ∂ViΦ = τ ij = µ + ⎟(1.42)∂xj x j x⎝∂ ∂ i ⎠∂xjest appelée « fonction de dissipation ». Elle représente la puissance locale des forces deviscosité dans le fluide, en W/m 3 (cf. § 1.3.5.1).Rappelons au passage la convention de sommation sur les indices répétés : (1.42) doitse lire :⎛ ⎞⎜∂V∂Vi j⎟∂ViΦ = ∑ µ +(1.42a)⎝∂xj ∂xi⎠∂xji,jEn particulier, dans un écoulement unidimensionnel (écoulement de Couette, §1.3.3.2et chap. 6) on a : U = U(y), V=W=0, d’où :2⎛ ∂U⎞Φ = µ ⎜ ⎟(1.42b)⎝ ∂y⎠relation également valable dans les écoulements de couche limite (chap. 3 et 4).Le second principe de la thermodynamique postule que Φ est positive, ce que l’onconstate toutes les fois qu’elle est calculable.Le terme d’où émerge cette fonction de dissipation étant précédé du signe moins dansla relation de bilan (1.40), cela signifie qu’elle représente une énergie mécanique perdue(« dissipée ») du fait de la viscosité. Elle réapparaîtra dans le bilan d’énergie interne (§1.3.5.1)sous les apparences d’une source volumique de chaleur. Pour se référer à un exemple connu,c’est avec Φ que Mr Joule a chauffé son célèbre calorimètre. La propriété Φ > 0 exprimel’irréversibilité de cette transformation d’énergie mécanique en chaleur.Intégrons sur ; il vient :∂Vσ Φ dτ(1.43)∂xi∫ij dτ= − p divV dτ+∫ ∫D jD D♥ Puissance des forces de volume :Dans le champ de pesanteur, on sait que si z est la direction verticale ascendante(§1.3.3.1) :g= − grad gz(1.44a)Ecrivons :ρ g .V = − ρ grad gz .V = − div( ρgzV) +soit, d’après la relation de continuité (1.27) :∂ρρ g .V = − div( ρgzV ) − gz∂tgzdiv ρV