FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

ρ ( Vi+ vi∂(s + s'))∂xiµ ⎛⎜∂(Vi+ vi)=T + θ⎝∂xj++λ( T + θ )∂∂xi2∂(T + θ )∂x∂(V j + v+∂x⎛ λ ∂(T + θ ) ⎞⎜⎟⎝ T + θ ∂xi⎠i∂(T + θ )∂xiij) ⎞⎟∂(Vi+ vi)⎠∂xjLe résultat va donc faire surgir des termes contenant seulement les grandeursmoyennes de l’écoulement, et de nombreuses corrélations. Le calcul est basé sur les règlesrappelées dans l’annexe 3.A.2, et ne présente aucune difficulté particulière (les termes en1/(T + θ ) et en 1/(T + θ )2font l’objet d’un développement limité à l’ordre 1). Nous endonnons simplement le résultat, après avoir laissé de côté les corrélations qui paraissentnégligeables en ingénierie classique (pour plus de détails, on se reportera par exemple à J.HERPE, thèse, 2007) :Vi∂ s∂xi=µ ⎛⎜∂VT⎝∂xλ ⎧ ∂T+T2⎨⎩∂xi∂+∂xiij∂V+∂x∂T∂x⎞⎟∂V⎠∂x⎛ λ ∂T⎞⎜ −T x⎟⎝ ∂ i ⎠ijiij∂θ∂θ⎫+ ⎬∂xi∂xi⎭∂ ( vµ ⎛⎜∂vi+T⎝∂xji∂xs')i+∂v∂xji⎞⎟∂v⎠∂xij( a), ( b)( c), ( d)( e), ( f )(3.100)Les termes (e) et (f) sont des divergences, et caractérisent donc la diffusion d’entropieturbulente (le dernier provient du membre de gauche, comme dans 3.9). La créationd’entropie turbulente est représentée par (b) et (d). On retrouve enfin dans (a) et (c) laproduction d’entropie de l’écoulement moyen.Comme on a souvent le choix, en ingénierie, entre plusieurs géométries, et qu’ondispose d’une certaine marge dans les conditions aux limites, l’évaluation des termes del’équation (3.100) ouvre la voie à l’optimisation entropique d’un écoulement turbulent.