FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

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Ceci donne une expression simplifiée du critère de similitude :2p3mo4 n σ TΓ r = (2.59b)oρ C V2.4.5.4. – CAS OÙ IL N’Y A PAS DE V 0 EXPÉRIMENTALEn convection libre, on retrouve le problème déjà soulevé avec l’équation de quantitéde mouvement (§ 2.4.3.4), la seule vitesse expérimentale que l’on puisse prendre pourréférence, celle du fluide loin des parois, étant nulle.Nous avons vu que la difficulté était tournée en choisissant :V0= ( g β ∆T0L0)1/ 2Les termes Φ et V .grad p sont habituellement négligeables en convection libre. Lessources concernées sont donc :♣La puissance thermique PLe critère Γ P devient :p00 2( L ) 1/( )3 / 2PΓ Pl = (2.60)01/ 2 0ρ C ( g β ) ∆T♦La diffusion thermiqueLe critère Γ a = 1/Pe = a 0 /V 0 L 0 est remplacé par :al0 2 0 3 / 2( g β ∆T) 1/( L )0aΓ = (2.61a)Ce nombre sans dimension n’est pas utilisé. On rencontre parfois l’inverse de soncarré (qui est donc également un critère de similitude) sous l’appellation de nombre deBoussinesq Bo :020 2al ( a )031 g β ∆T( L )Bo = =(2.61b)ΓQuant au nombre de Stanton, il se transforme en :ϕ pΓ ϕ l = (2.62)00 1 / 2 0 3 / 2ρ C ( g β L ) ( ∆T)presté lui aussi inconnu et anonyme. Appelons-le nombre de Stanton modifié St*.♥Le rayonnementLes écarts de température étant relativement faibles en convection libre, on peut partirde la forme linéarisée (2.59b) du critère de similitude Γ r , qui devient donc ici :
p23mo4 n σ TΓ rl = (2.63)oo 1/ 2ρ C ( g β ∆TL )2.4.5.5. – ÉCRITURE ADIMENSIONNELLE DE L’ÉQUATION D’ÉNERGIE1. – Base de départTout d’abord, dans le bilan d’énergie, le terme de transport se décompose ainsi :div( ρ hV ) = h div ρV+ ρVgrad hEn régime permanent : div ρ V = 0 . Sachant que h = ρ C p T, l’équation (2.47a) seréduit à :p( grad T ) div qrρ C V .grad T = P + Φ + V .grad p + div λ +(2.64)Compte tenu des différents coefficients qui viennent d’être définis, et en adoptant desréférences au champ de température, la transposition adimensionnelle de (2.64) aura la formegénérale :V+.grad T+= ΓP( ou Γ+ Γ ( ou Γavec bien entendu T + = T /∆T 0 ,aPl) Pal+)div+ ΓΦνΦ++ Γep+ ++( λ grad T ) − Γ ( ouΓ)divϕ+ 0P = P / PVr+.grad prl+r(2.65), Φ + = Φ /Φ 0 (Φ 0 donnée par 2.52) et+0ϕ r = ϕ r / ϕ .Compte tenu de la terminologie en usage pour les nombres sans dimension, nousdonnons ci-dessous les écritures habituellement rencontrées dans la littérature.2. – Formulation habituelle avec référence au champ de température♣Convection mixte ou forcée++ + Ec +V .grad T = Γ P P + Φ +Re1 + +++ div( λ grad T ) − ΓrdivϕrPeEc V+.gradp+(2.66)♦Convection libre+++ 1 + ++V .grad T = Γ Pl P + div( λ grad T ) − Γ1/ 2rl divϕr(2.67)Bo3. – Avec référence au gradient de températureoù1 + +Le terme de diffusion de la chaleur div ( grad T )+ϕ = ϕ / ϕ p(§ 2.4.5.3 ♣).Peλ est remplacé par+St divϕ ,
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