FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

qSEn ce qui concerne q r S , on introduit une densité de flux des sources sur en posant :r r= q .n . On a donc comme pour Φ S (1.21a) : q S > 0 à la sortie et < 0 à l’entrée.SNotons Q S le flux total des sources sur et Q I le débit total des sources de volume :r rQ ==∫ S ∫S q S .n dS ; Q I qD I dτ(1.21b)Compte tenu des conventions de signes précédentes, si q rS ou V r est dirigé versl’intérieur de , Q S ou Φ S est compté négatif, mais contribue à augmenter K, ce qui impliquedK > 0 (et inversement). Dans le bilan algébrique de la grandeur K sur pendant un tempsélémentaire dt, Q S et Φ S doivent donc être affectés du signe moins :∂KdK = dt = QIdt − QSdt − Φ S dt(1.21c)∂tIl est intéressant de grouper d’un côté la variation de K et le terme de transport, del’autre les sources. Compte tenu de (1.20b) et (1.21b), la formulation générale du bilan de Ksur s’établit donc ainsi :∂∂tr rr rτ q .n dS(1.22)C d + CV .n dS = q −∫ ∫ ∫ ∫I dτD S D S SNotons dès à présent que, puisque la frontière du domaine a été choisie fixe, on a :∂∂CC dτ= dτ∂t∫D∫D∂tet cette formulation sera retenue dans la suite.Le théorème connu sous le nom de « flux – divergence » permet de transformer lesintégrales sur en intégrales sur , et (1.22) devient :∂Crrdτ+ div( CV )dτ= q dτ− div q∫ ∂ ∫ ∫ ∫S dτ(1.23)tDDD ICette équation étant valable ", si C est continue, alors :D∂C∂t+rdiv( CV ) = qr− divI q S(1.24)Rappelons que :C = densité volumique de la grandeur considéréeq I = débit volumique des sources dans q rS = vecteur densité de flux des sources sur L’équation (1.22) représente un bilan intégral sur un domaine de dimensions finieset de frontière fixe, qui répond en général aux besoins de l’ingénieur. Quant à la relation(1.24), elle exprime un bilan local, ou différentiel.