FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

L’application du théorème flux-divergence permet d’aboutir au bilan intégrald’énergie cinétique, encore appelé en mécanique théorème de l’énergie cinétique :∫D∂⎛⎜ V∂ ⎜ρt 2⎝2⎞⎟⎟dτ+⎠=∫D∫S2Vρ2ρ F .V dτ+. V .n∫SV σ nidSijjdS−∫Dσij∂V∂xijdτ(1.40)(avecF = g si les seules forces de volume sont les forces de pesanteur).1.3.4.2 – APPLICATION AUX FLUIDES NEWTONIENSSi le fluide est newtonien, σ ij est de la forme :σ = + (1.16b). Nous leij − pδij τ ijreportons dans les deux derniers termes de (1.40), en rappelant que T = T . n et queτ = τ . n .♣ Puissance des forces de surface. D’après (1.16a) :T .V= −pn.V+ τ .VSur l’ensemble de la surface , cette puissance a pour valeur :∫SViσ ij n j dS = − pV .n dS + V∫ ∫i τ ij n j dS(1.41a)SSCas particulierEn présence de parois imperméables fixes, la puissance des forces de surface est nulle.On a en effet sur de telles parois :i) V ⊥ n ,d’où V .n = 0 en tout point (1.41b)⎧Vi= 0 si le fluide est visqueux⎫⎪⎪ii) ⎨ ( adhérence à la paroi ) ⎬ d' où Viτ ij = 0⎪ij 0 si le fluide est parfait ⎪⎩τ=⎭(1.41c)♦ Puissance des forces intérieures :∂Vi∂Vi∂Viσ ij = − pδij + τ ij = − p divV + Φ∂x∂x∂xjLa fonction Φ qui vient d’apparaître :jj