FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

ANNEXES AU CHAPITRE 33.A.1. – TURBULENCE ET NON-LINÉARITÉ3.A.1.1. – ORIGINE DES SOLUTIONS TURBULENTESQuand on examine la structure d’un écoulement turbulent (§ 3.1) et que l’on regardeles équations de bilans qui sont censées le décrire (1.27, 1.37, 1.56), on est en droit de sedemander si des évolutions d’apparence aussi insaisissable peuvent être solutions d’équationsaux dérivées partielles dont la forme semble très classique. En particulier, ce qui paraît àpremière vue le plus surprenant, c’est que des phénomènes instationnaires puissent prendrenaissance dans un système dont les conditions aux limites sont maintenues stationnaires.La réponse à ces interrogations réside dans une propriété structurelle majeure decertaines équations de bilans : leur non-linéarité. Les méthodes analytiques sont actuellementinsuffisantes pour obtenir les solutions complètes de ces équations, mais la résolutionnumérique de diverses équations différentielles non linéaires a montré dans certains cas uncomportement chaotique des solutions, de même nature que ce que l’on rencontre enturbulence. Avec des problèmes simplifiés, on a pu également accéder à partir des équationsde quantité de mouvement à des solutions numériques caractéristiques de la turbulence.Voyons d’abord où se situe la non-linéarité dans les équations générales.3.A.1.2. – QU’EST-CE QU’UNE ÉQUATION LINÉAIRE ?Il n’est peut-être pas superflu de rappeler en quoi consiste la linéarité (ou la nonlinéarité)dans les systèmes différentiels que nous avons à manipuler.Soient X et Y deux fonctions de x, y, z, t. Considérons l’équation fonctionnelleF ( X , Y ) = G(x,y,z,t)(1)Cette équation sera linéaire en X et Y si, en posant : X = α X 1 + β X 2 (où α et β sontdes constantes arbitraires) le premier membre devient :F α X + β X , Y)= α F(X , Y ) + β F(X , )(2)( 1 212 Yet de même avec Y.Dans le cas où G = 0, on dit que l’équation est linéaire homogène en X et Y.Enfin, si la propriété (2) n’est pas vérifiée, l’équation est non-linéaire.3.A.1.3 – LES ÉQUATIONS DE BILANS SONT-ELLES LINÉAIRES ?Examinons maintenant les trois principales équations de bilan local, en regardant sielles satisfont où non à la propriété de linéarité. Pour alléger le raisonnement, nous nouslimiterons au cas d’un écoulement de fluide isochore et sans forces extérieures.