FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

= 2 Dc= 2 Dc∂c∂xVet au bout du compte:kj∂∂x∂c∂xjj⎛⎜ V⎝jk2∂ c∂x∂x∂c⎞x⎟∂ k ⎠k+ 2 Dc∂c∂xj∂c∂xk∂V∂xkj( c )=DcVk∂∂xk⎛⎜∂c⎝∂xj⎞⎟⎠2+2 Dc∂c∂xj∂c∂xk∂V∂xkj(5a)L’opération de moyenne∂ ⎛ c c ⎞( c ) DcV ⎜∂ ∂=⎟k+ 2 D∂xk x j x⎝∂ ∂ j ⎠va introduire ici une nouvelle grandeur :c∂c∂xj∂c∂xk∂V∂xkj∂c∂cε c = Dcgrad c .grad c = Dc(5b)∂x∂xjjAlors :( c ) = Vk∂εc∂xk+ 2 Dc∂c∂xj∂c∂xk∂V∂xexpression dans laquelle on reconnaît le gradient de ε c :kj( c )∂c∂c∂Vk= V .grad ε c + 2 D(5c)c∂xj ∂xk∂xj(c 1 ) (c 2 )!!( d ) = 2 D grad c .grad(6)c q ' I!! f ) = 2 D grad c .grad ( div cv )( c( f ) = 2 Dc grad c .grad ( div cv ) = 0(7)car le second gradient est déjà une moyenne, tandis que, c étant une fluctuation, grad c = 0(cf. 3.A.2.3).!! g ) 2 D grad c .grad ( div D grad c )( cc= (8a)∂c∂ ⎪⎧∂ ⎛ ∂c⎞⎪⎫= 2 Dc⎨⎜ Dc⎟⎬∂xj ∂xj ⎪⎩ ∂xk⎝ ∂xk⎠⎪⎭(la notation vectorielle n’est pas bien adaptée ici).