FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

1.2.5. - Application : calcul de la contrainte locale T dans un cas simplePour illustrer ce qui précède, considérons un écoulement bidimensionnel de fluide surune surface plane imperméable, parallèle à la direction x (fig. 1.6), avec une direction yperpendiculaire à la paroi.FIG. 1.6. – Ecoulement bidimensionnel sur une plaque plane♣ D’après (1.16b) nous avons en géométrie bidimensionnelle :T⎛σ= ⎜⎝σxxyxσσxyyy⎞ ⎛−⎟ = ⎜⎠ ⎝p + ττyxxx−τxyp + τyy⎞⎟⎠(1.19a)où les τ ij sont donnés par (1.18).♦Déterminons le vecteur contrainte à la paroiTpvers l’extérieur du fluide selon la convention usuelle, soit :, en adoptant une normale n dirigée⎛ 0 ⎞n = ⎜ ⎟ dans le repère x, y.⎝−1⎠Alors, la force T p (ou T y ) exercée par la paroi sur le fluide a pour composantes :Tp⎛−p + τ= T .n = ⎜⎝ τ yxxxτxy− p + τyy⎞ ⎛ 0 ⎞⎟⎜ ⎟⎠ ⎝−1⎠Tp⎛ −τxy= ⎜⎝p − τyy⎛ ⎛ ∂U∂V⎞⎜−µ ⎜ + ⎟⎞ ⎜ ⎝ ∂y∂x⎠⎟= ⎜⎠ ⎜ ⎛ ∂V⎞p − 2µ⎜ ⎟⎜⎝ ⎝ ∂y⎠ yy = 0= 0⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠(1.19b)