FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

En permutant les dérivations par rapport aux coordonnées j et k et en admettant queD c = cte :⎪⎧2∂c∂ ∂ c ⎪⎫( g ) = 2 Dc⎨Dc⎬∂xj ∂xk⎪⎩∂xj ∂xk⎪⎭ce qui peut s’écrire aussi :22 2∂ ⎛ c c ⎞2 c c( g ) D ⎜∂ ∂∂ ∂= c 2 D⎟c− 2 Dc∂xk x j x j x⎝∂ ∂ ∂ k ⎠∂xj ∂xk∂xj ∂xket enfin :2 2∂ ⎛ c c ⎞2 c c( g ) D ⎜ ∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ ∂= c ⎢Dc⎥⎟− 2 Dc∂x⎜k xkx j x ⎟⎝∂ ⎢⎣∂ ∂ j ⎥⎦⎠∂xj ∂xk∂xj ∂xk(8b)Par passage à la moyenne, cette manipulation fait apparaître la grandeur ε c définie par(5b) ci-dessus :( g ) = Dc∂ ⎛ ∂εcx⎜∂ k ⎝ ∂xk( g )1⎞⎟ − 2 D⎠2c∂ c∂x∂xj2k( g∂ c∂x∂x2)j2k(8c)!! h ) − 2 D grad c .grad div cv( c= (9a)Puisque div v = 0 (§ 3.3.3.1) :( h ) = − 2 Dc= − 2 D= − 2 Dccgrad c .grad ( v .grad c )∂c∂x⎪⎧⎨v⎪⎩jk∂∂x∂c∂xjj⎛⎜v⎝k∂c∂x∂ c∂x∂xj2kk⎞⎟⎠∂c+∂xj∂c∂x∂ ⎛ c c ⎞ c c vkDcv ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂= −⎟k− 2 Dc∂xk x j x⎝∂ ∂ j ⎠∂xj ∂xk∂xjLe premier terme se transforme un peu :∂ ⎛ c c ⎞ ⎛ c c ⎞ ⎛ c c ⎞ vkv ⎜∂ ∂⎟∂⎜∂ ∂kv⎜∂ ∂ ∂=⎟⎟k −∂xk x j xj ∂xk x j xj x j x⎝∂ ∂⎠ ⎝∂ ∂⎠ ⎝∂ ∂ j ⎠∂xk∂vkoù = div v = 0 . Finalement, en passant directement à la moyenne :∂xk( h )= − Dc∂ ⎛⎜∂cvk∂xk ⎝∂xj( h )1∂c∂xj⎞⎟ − 2 D⎠ck∂c∂x∂v∂xj( hkj⎪⎫⎬⎪⎭∂c∂x2k)∂v∂xkj(9b)