FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

En fait, il faudrait écrire :C ( t)= C(t0,τ )(2)car cette moyenne dépend évidemment de l’intervalle de temps choisi : c’est une moyennemobile, mal définie au sens mathématique.Un prolongement assez naturel de cette notion consiste à considérer que la fonctionC(t) est la somme de sa moyenne et d’une fluctuation c(t) autour de la moyenne :C ( t)= C(t0,τ ) + c(t)(3)où t [ t 0 , t +τ ]∈ 0Rien n’interdit de réitérer l’opération de moyenne (1) sur l’égalité (3). Sachant queC( t 0 , τ ) est indépendant de t, il vient :C ( t)= C(t0,τ ) + c(t)et compte tenu de (2), la conséquence est :c ( t)= 0(4)t 0 , t 0 +τ est nulle.La moyenne de la fluctuation sur l’intervalle [ ]Malgré tout, il y a une difficulté, car d’après sa définition (3), c(t) est une fonctionimplicite des bornes de l’intervalle de calcul, c’est-à-dire de t 0 et de τ . La moyenne et safluctuation sont donc toutes les deux dépendantes de l’intervalle de temps utilisé.Cependant, le problème se simplifie si l’on considère une classe particulièred’écoulements pour lesquels C (t)est un opérateur stationnaire, c’est-à-dire indépendant de ladurée d’intégration τ (pratiquement, ceci implique en particulier que l’on puisse choisir τassez grand par rapport à la durée moyenne des fluctuations). Alors :C ( t 0 , τ ) = C = cte(5)et la fluctuation c(t) devient indépendante de l’intervalle τ (la propriété (4) restantévidemment vérifiée) .De tels écoulements sont dits permanents (ou stationnaires) en moyenne. Pour lesréaliser, il est nécessaire (mais non suffisant) d’imposer des conditions aux limitesindépendantes du temps.En ce qui concerne les écoulements qui ne répondent pas à la définition (5), leproblème reste entier. Tout ce qui suit concerne donc exclusivement les écoulementspermanents en moyenne.REMARQUE – Sachant que l’on a toujours : C (t) = ρ γ (γ densité massique de la grandeurconsidérée), en écoulement isochore où ρ = ρ = cte , il vient :C = ρ γ ; c = ρ γ ' (γ ’ = fluctuation de γ )γ ' =03.A.2.2. – ÉQUATION À TRAITERRappelons que l’équation sur laquelle vont principalement avoir lieu les calculs demoyenne est l’équation (3.6) :