FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

Alors :div T= −gradp+divt( µ grad V ) + µ grad divV + grad V . grad µ1.A.3. – CALCULS RELATIFS AU BILAN D’ÉNERGIE CINÉTIQUEOn veut expliciter les termes de l’équation (1.39a) :( ρV)+ V .div P = F .V V .divT∂V .ρ +∂tLe premier terme s’écrit :( ρV)∂V .∂t⎛ VV . ⎜∂= ρ⎝∂t∂ρ⎞+ V ⎟ =∂t⎠∂⎛Vρ⎜∂t⎜ 2⎝2⎞⎟⎟+ V⎠2∂ρ∂tρ = ρ :et en appliquant l’équation de continuité : div ( V ) − ∂ / ∂t2 22∂ ( ρV) ∂⎛V⎞V ∂ρVV . = ρ⎜ ⎟+ − div ( ρV)soit :∂t∂t⎜⎝2⎟⎠2∂t2 2∂♣( ρV) ∂⎛V⎞VV . =⎜ρ⎟− div ( ρV)∂t∂t⎜⎝2⎟⎠22Connaissant l’expression de div P , donnée par (1.33a), le second terme devient, enutilisant la convention de sommation sur les indices répétés :V .div P = Vi2V 2{ ρ V . grad V + V div ( ρV)} = ρV .grad + V div ( ρV)⎛ 2V⎞1 2♦ V .div P = div⎜ρ V⎟+ V div ( ρV)⎜⎝2⎟⎠Enfin, le dernier terme s’écrit :∂σijV .divT = Vi∂xou encore :∂( Viσ ij )♥ V .divT = − σ ij∂xjji2∂V∂xEn reportant ♣, ♦, ♥ dans (1.39a), on obtient (1.39b) :∂⎛⎜ Vt ⎜ρ∂ 2⎝2⎞ ⎛⎟ Vdiv⎜⎟+⎜ρ2⎠ ⎝2iji⎞V⎟ ∂⎟= ρ F .V +⎠( V σ )i∂xjij− σij2∂V∂xij