FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

1.3.6.4. – ÉCOULEMENTS EN MILIEUX POREUX♣Écoulements de liquidesUn milieu poreux n’est pas le siège d’un écoulement au sens classique du terme, car iln’y a pas à proprement parler de mouvement d’ensemble du fluide : les particules fluidessuivent dans les nombreux pores des trajets aléatoires qui rendent le mécanisme de transportde la matière analogue à un mécanisme de diffusion. Lorsque le milieu est saturé, c’est-à-direlorsque les pores sont entièrement remplis d’une phase liquide de masse volumique ρ, le fluxde masse moyen local est donné par la loi de Darcy :Kq S = − ρ grad p*(1.67)µoù p* désigne la pression motrice dans l’écoulement (§ 1.3.3.2), le paramètre K étant laperméabilité du milieu.Faisons ici une parenthèse. Par analogie avec un écoulement stricto sensu, on écritsouvent cette loi sous la forme :q S= ρV, en définissant V comme une vitesse apparente defiltration. Ce terme V ne doit pas être confondu avec une vitesse locale du fluide, qui n’estpas définie dans un tel écoulement.Appliquons maintenant l’équation de bilan intégral (1.22) à la masse totale du fluide ;le terme de transport par mouvement d’ensemble du fluide est remplacé ici par un terme desource qui a pour expression :∫qdS= −S S ∫ SKρgradµp* .n dSBien entendu, il n’y a pas de sources volumiques q I puisque le bilan porte sur la massetotale du fluide (§ 1.3.2.1).Quant à la densité volumique locale de matière, dans le cas d’un milieu saturé elle apour valeur : C = ρε, où ε est la « porosité » du milieu (volume des pores / volume total),d’où le bilan intégral de masse :∂(ρε ) Kρdτ= grad p* .n dS(1.68)∫ D ∂t∫ S µainsi que le bilan local :∂(ρε ) ⎛ Kρ⎞= div ⎜ grad p* ⎟(1.69)∂t⎝ µ ⎠♦Ecoulements de gazSi le milieu poreux est traversé par un gaz, la loi de Darcy s’applique encore, à ceciprès qu’il faudra souvent tenir compte de la variation de la masse volumique avec la pression.