FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

V.grad θ vj= − vjv.grad T − θ v.grad V1 ∂p'− θρ ∂x+ a div vjj− ( a + ν ) grad θ . grad vgrad θ + ν div θ grad vjjj(3.48)− div θ vjvT désignant la valeur moyenne de la température et θ sa fluctuation.3.4.1.2. – ÉQUATION DE BILAN POUR L’ÉNERGIE CINÉTIQUE DE TURBULENCE kLa définition de l’énergie cinétique de turbulence a déjà été introduite au paragraphe3.3.4.4 (relations 3.35), à savoir :1 1k = v j v j = v.v2 2Il s’agit en fait d’une énergie massique (en m 2 /s 2 ), la véritable énergie cinétique(volumique) étant bien entendu ρk 1= ρ v j v j . Les deux termes sont néanmoins2proportionnels si ρ = cte, et nous conserverons dans la suite la terminologie habituelle.Par contre, la signification physique de k est parfaitement claire : ρk est bien l’énergiecinétique moyenne de la turbulence. Soit, en effet, E c l’énergie cinétique totale :1 1 2E ( V v)2 ( V 2V.v2)22vc = ρ + = ρ + +(3.49a)En passant aux valeurs moyennes, et sachant que v = 0 , on obtient :1 2 1 2 1 2E c = ρ V + ρ v = ρV+ ρk(3.49b)2 2 2où le premier terme représente l’énergie cinétique du mouvement d’ensemble et le secondl’énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent.Cependant, on ne peut pas utiliser directement l’équation aux fluctuations (3.11) pourétablir le bilan de k, car on ne dispose d’aucun critère pour en identifier a priori les sources(nous avons rencontré exactement le même problème au chapitre 1 (§ 1.3.4) pour exprimer lebilan d’énergie mécanique).Il faut donc partir des trois équations de covariancev (3.47) (où i, j = 1, 2, 3),faire i = j dans chacune d’elles et additionner ensuite membre à membre (Annexe 3.A.5). Onobtient alors une relation sur k qui s’interprète comme un bilan local (n’oublions pas que larépétition d’un indice dans un terme signifie « sommation sur cet indice ») :i v j