FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

DK D- la variation de K : = C dτ ;Dt Dt ∫∆- les sources de surface Q Σ ;- les sources volumiques Q I ,d’où l’équation :DKDt= Q(2)I − Q ΣLa dérivée particulaire est donc égale à la puissance des sources dans ∆ et sur Σ.Soit alors le domaine fixe qui coïncide avec ∆ à l’instant t. Le bilan instantané sur est conforme à la relation (1). Mais d’autre part, en comparant (1) et (2), on voit que DK / Dts’écrit également :DKDt=∂K∂t+ ΦSDK ∂Csoit : = dτ + CV . n dS(3)Dt ∫ D ∂t∫Sd’où l’on déduit l’expression de la dérivée particulaire locale :DCDt∂C= + div CV(4)∂tSi DC / Dt = 0, cela signifie que C est constante sur une trajectoire. En particulier,dans un écoulement permanent, les conditions ¥C = cte sur une trajectoire¥ et ¥ div CV = 0 ¥sont équivalentes.On appelle écoulement isochore un écoulement tel que ρ = cte sur une trajectoire.Dans ce cas, on a en tout point : V ⊥div ρV= 0 = ρ divV + V . grad ρgrad ρ . D’autre part, d’après (4),Par conséquent : div V = 0 . Il n’est donc pas nécessaire que le fluide soit isochore pour quecette propriété soit vérifiée.♦Domaine animé d’un mouvement propreReplaçons-nous maintenant dans le cas général, où il peut y avoir diffusion massique,et supposons que l’on veuille écrire un bilan pour un domaine ∆ animé d’un mouvementdonné. Chaque point de la surface Σ a une vitesse W = W ( x, y,z,t ) . Au même point, àl’instant t, la vitesse de l’écoulement est V .Soit Vrla vitesse relative : V r = V − W .La puissance instantanée des sources sur Σ et dans ∆ est toujours : Q I - Q Σ . Quant auflux Φ Σ à travers Σ, il a pour valeur :