FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

m 2 .s -2 , ν t en m 2 .s -1 et ε en m 2 .s - 3 , la forme de ε la plus simple qui soit compatible avec lacondition dimensionnelle est :2k= C(3.57b)νε µtoù C µ est un coefficient sans dimension qui doit être évalué expérimentalement.L’expérience montre que cette relation est bien vérifiée pour les écoulements à grandnombre de Reynolds, à condition d’avoir une turbulence assez homogène ( v sensiblementuniforme dans l’écoulement).Compte tenu de l’hypothèse (3.57a), ε est donc de la forme :3 / 2kε = Cµ(3.57c)l♠Enfin, l’expérience suggère aussi que la diffusivité D kt est proportionnelle à ν t . On adonc, dans le terme (d) de (3.55) :ν tD kt = (3.58)σkla constante de proportionnalité σ k devant faire l’objet d’un calage expérimental.L’équation en k se présente donc finalement ainsi :2jV∂k∂x⎛⎜∂V⎝∂x∂V⎞ ∂V1/ 2 i j iti = l k + ⎟ + ⎨ νµij xix⎜ +∂∂ j i σ k⎠∂∂x⎪⎧⎛⎪⎩ ⎝ν ⎞ ∂k⎪⎫⎟ ⎬ − C⎠ ∂xi⎪⎭k3 / 2l(3.59)Bien évidemment, tout ce travail ne dispense pas de faire des hypothèses adéquates surl et l θ pour fermer le système.En définitive, le système d’équations à résoudre est celui du paragraphe 3.3.6(équations 18, 27, 45) auquel vient s’ajouter l’équation en k (3.59) pour la détermination de ν t .3.4.2. – Modèle « k – epsilon » (k - ε ) standard3.4.2.1 - PRINCIPE♣Les insuffisances du modèle k-l ont conduit à une sorte de fuite en avant qui s’estessentiellement focalisée sur l’élaboration d’une nouvelle équation de bilan couplée avecl’équation en k, et supposée apporter des éléments plus solides que les hypothèses sur leparamètre « l », ce qui a donné naissance à des modèles dits « à deux équations ». Le plusconnu d’entre eux est appelé modèle k-ε.Dans le modèle k-ε , le point de départ est le même que dans le modèle k-l : pourrésoudre le problème dynamique, on admet l’existence d’une viscosité turbulente ν t , et l’onreprend l’hypothèse (3.57) :