FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

⎛ ⎞⎜ 0 ⎟ ⎛ 0 ⎞⎜ ⎟2 Ω = rotV =⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟∂V 0 (1.86)∂U⎜ − ⎟ ⎜ ⎟⎝Ω⎠⎝ ∂x∂r⎠∂V∂Uoù Ω = − est encore la vorticité de l’écoulement.∂x∂rLa dérivation de (1.85a) par rapport à r, puis de (1.85b) par rapport à x, suivie d’unesoustraction, donne cette fois :⎛ 2 2∂Ω∂(ΩU ) ∂(ΩV)⎞⎜∂ Ω ∂ Ω 1 ∂ΩΩ+ + = ν + + − ⎟∂t∂x∂r2 2⎝ ∂ ∂ r ∂r2x rr ⎠ce qui s’écrit aussi, pour faire mieux apparaître l’aspect « bilan de vorticité » :(1.87a)∂Ω+∂tdiv( ΩV) = ν ∆Ω(1.87b)Cette équation est l’équivalent de (1.81), obtenue pour un écoulement plan.D’autre part, la fonction de courant Ψ, solution de l’équation de continuité, est définieici par :U=1 ∂Ψr ∂r;V= −1 ∂Ψr ∂x(1.88)En remplaçant dans l’expression de Ω, il vient :21 ∂ Ψ ∂ ⎛ 1 ∂Ψ⎞Ω = − − ⎜ ⎟(1.89)r2∂x∂r⎝ r ∂r⎠qui est l’équivalent de (1.83). La résolution s’effectue d’une façon analogue.1.5. - FORMULATION GÉNÉRALE D’UN PROBLÈME D’ÉCOULEMENTANISOTHERMEAvec un fluide monophasique de composition uniforme et constante, résoudrecomplètement un problème de thermoconvection consiste à déterminer en fonction descoordonnées d’espace et du temps :- la vitesse V (c’est-à-dire U, V, W) ;- la masse volumique ρ ;- la pression p ;- la température T.