FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

ΦΣ=∫CVrΣ.n dΣSoit δK la variation de K pendant un petit intervalle de temps ∆t. Le bilan s’écrit :δK= QI− QΣ− Φ Σ = QI− QΣ− CV .n dΣδt∫rΣAppelons le domaine fixe qui coïncide avec ∆ à l’instant t. On peut encoreconserver la définition précédente de la dérivée particulaire en posant : DK / Dt = Q I – Q S ,soit d’après (3) :DK ∂C= dτ+ CV .n dSDt ∫ D ∂t∫ SOn a dans ce cas :δKDK= − CVr.n dSδtDt ∫SLa notion de dérivation particulaire présente un grand intérêt historique et heuristiqueen mécanique des fluides car elle a permis la formulation des équations de bilan local. Eneffet, pour établir directement ces relations, qui ont chronologiquement précédé les équationsde bilan intégral, le recours à la dérivation particulaire ne peut être évité. Mais dans lapratique, elle n’est vraiment indispensable que dans des cas particuliers.1.A.2. – CALCULS RELATIFS AU BILAN DE QUANTITÉ DE MOUVEMENTtermesPour écrire le bilan de quantité de mouvement (§ 1.3.3), il a fallu faire intervenir lesdiv P et div T , que nous calculons ici.♣ Le tenseur des quantités de mouvement P a pour composantes : P ij = ρ V i V j .La divergence d’un tenseur d’ordre 2 est un vecteur. Sa composante suivant lacoordonnée i est par définition (on utilise la convention de sommation sur les indicesrépétés) :∂Pij∂ ( ρ ViVj )( div P ) i = == div(Vi. ρ V )∂x∂xd’où :( div P ) i = grad Vi. ρ V + Viet enfin, conformément à (1.33a) :jjdiv ρVdiv P=grad V . ρ V + Vdiv ρV♦ D’après (1.17), on a d’autre part :div T = − div pI + 2 div µ D .Le premier terme se décompose en deux :div pI = p div I + I .grad p