FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

♣En ce qui concerne l’équation de continuité,div V = 0il est clair qu’elle répond à la condition de linéarité. Il n’y a donc pas de problème de ce côté.♦Avec les hypothèses adoptées, et en la présentant sous la forme (1), l’équation dequantité de mouvement (1.37b) s’écrit :∂VF( V ) = ρ + ρ V.grad V − µ ∆V= − grad p *(3)∂tPosons : V = α V 1 + β V2(α , β constantes). On voit immédiatement que l’on a :F( V ) ≠ α F(V1 ) + β F(V2)et que la propriété (2) n’est pas vérifiée. L’équation de quantité de mouvement est donc nonlinéaire.Ceci est dû à l’expression ρ V. grad V qui est un produit de termes contenant V . Ondit alors que la non-linéarité est quadratique.♥Le problème est un peu plus compliqué avec l’équation d’énergie. Sous sa forme(1.56), elle devient ici :∂Tρ C p + ρ C p V. grad T = Φ + div ( λ grad T )(4)∂tTout d’abord, si la fonction de dissipation Φ peut être négligée devant les autrestermes, et si les paramètres λ, C p et µ sont indépendants de la température, on voit que (4) estlinéaire en T. En effet, la vitesse est indépendante du champ de température quand µ estconstant, et elle est déterminée par l’équation de quantité de mouvement, de telle sorte que (4)est de la forme :∂TF( T ) = ρ C p + ρ C p V.grad T − div ( λ grad T)= 0∂tet satisfait visiblement à la condition (2).Mais si V est fonction de T (ce qui arrive lorsque µ dépend fortement de latempérature, mais également en convection naturelle ou mixte), alors la linéarité de l’équationd’énergie est détruite.Enfin, la prise en compte de la fonction de dissipation Φ dans (4) entraîneautomatiquement la non-linéarité de cette équation puisque Φ, qui a pour expression :⎛ V V j ⎞⎜∂ ∂i ∂ViΦ = µ + ⎟x j x⎝∂ ∂ i ⎠∂xjcontient des termes quadratiques.♠En conclusion, même dans la situation la plus simple où nous nous sommes placés,l’une des équations (quantité de mouvement) est d’une structure fondamentalement nonlinéaire.De plus, la non-linéarité s’étend souvent à l’équation d’énergie, et de toute façon lestrois équations se trouvent non-linéaires si le fluide n’est pas isochore.