FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

Dans un écoulement bidimensionnel turbulent, on peut considérer la vorticitéinstantanée comme la somme d’une moyenne Ω et d’une fluctuation de vorticité ω (omégaminuscule), ou vorticité turbulente. L’équation de bilan (3.11) pour une fluctuation c etl’équation de bilan de2c (Annexe 3.A.6) s’appliquent donc à ω.Plus généralement, si l’écoulement est tridimensionnel, le vecteur tourbillon possèdetrois composantes non nulles : 2 Ω = ( Ω , Ω Ω )1 2 ,3, chacune d’elles subissant unefluctuation instantanée ω i (i = 1, 2, 3).Introduisons alors une fluctuation quadratique moyenne de vorticité :2ω = ω ω (s - 2 )iiEn remplaçant c par ω dans le bilan deV .grad ω2= − 2 ω v . grad Ω − 2 D+ Dωidiv grad ω(il n’y a pas de source volumique2i− div ω ω v2c (équation (5), annexe 3.A.6), il vient :Ω'q I pour la vorticité).igrad ω .grad ωLes différents termes subissent un traitement analogue à ceux de l’équation en ε.iii(3.80a)Mais il faut en outre postuler une relation entre ε, k et ω , directement ou sous laforme d’une hypothèse sur la longueur de mélange l (dans 3.57a). La forme retenue (Wilcox1992) est :l =k(3.80b)2ωd’où, avec (3.57a) :t k /2ν = ω(3.80c)et, en conservant (3.60) :V .grad ωε µ2= C k ω(3.80d)Dans sa forme la plus simple, l’équation en ω s’écrit :2⎛22 V V j ⎞i Vi⎪⎧t ( ) ⎪⎫2C ⎜∂ ∂⎟∂ ∂ ⎛ ν ⎞ ∂ ω= 1− C 2 ⎜⎛⎟⎞ω ω + + ⎨⎬x j xix j x⎜ν+⎟ω ω⎝∂ ∂⎠∂ ∂ i∂xi⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎝ σ ω ⎠ ⎪⎭avec Cω 1 = 1, 11 ; Cω 2 = 0, 15 et σ ω = 2 .23 / 2(3.81a)L’équation en k est la même que dans le modèle k - ε, mais on fait apparaître ω dansle dernier terme, ce qui donne :Vi∂k∂xi=⎛ ∂V∂V⎞ ∂V⎪⎧⎛⎪⎩ ⎝ν ⎞ ∂k⎪⎫⎠ ⎪⎭i j itν ⎜t + ⎟ + ⎨ ν ⎬ − Cµx j xix j x⎜ +i σ⎟∂ ∂∂ ∂k ∂xi⎝⎠∂kω2(3.81b)