FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

3.3. – UNE APPLICATION DE LA THÉORIE STATISTIQUE LOCALE : LEMODÈLE PSEUDO-LAMINAIRE3.3.1. – Caractérisation d’un transfert laminaire ; transition vers la turbulence♣Avant d’examiner quelques-unes des fermetures en un point, il paraît utile de préciser,dans le cadre du modèle statistique de la turbulence, ce que l’on entendra par régime detransfert laminaire. Celui-ci se caractérise en effet plus aisément par rapport au régime detransfert turbulent.Physiquement, il est clair qu’un écoulement laminaire est un écoulement où lesfluctuations de vitesse sont statistiquement « négligeables ».D’une manière plus précise et plus générale à la fois, nous dirons que dans un transfertlaminaire, les termes de covariance sont nuls, c’est-à-dire que d’éventuelles fluctuations c etv ne sont pas corrélées :laminaire ⇔ c v = 0(3.12)Cela signifie qu’une fluctuation isolée, qui peut toujours survenir, ne sera pas àl’origine d’autres fluctuations, et ne sera donc pas susceptible de déclencher un mécanismeturbulent.Alors, l’équation aux valeurs moyennes (3.9) s’identifie à l’équation générale de bilanen régime permanent (3.8b) :div CV = qI +div ( D grad C )cEn particulier, si l’on considère les équations de quantité de mouvement, oùon aura en régime laminaire :cvc = ρ v j ,= ρ v v = 0(3.13)jsoit encore, pour un fluide isochore :v v = 0 ∀ j,k 1 à 3(3.14)j k=Donc, en particulier, les moyennes quadratiques v2 j sont nulles. En conséquence, dansun fluide isochore en écoulement laminaire, les fluctuations de vitesse s’identifient à desv 2 j =fonctions de Dirac. Mais si le fluide n’est pas isochore, la condition ρ 0 n’implique pasque v2 jsoit nulle.♦A côté de la vision purement statistique des choses, on peut aussi considérer lecomportement non-linéaire engendré par le bilan de quantité de mouvement (Annexe 3.A.1).Dans cette approche, les fluctuations sont plutôt appelées « perturbations ». Maisquelle que soit la terminologie, lorsque ces événements surviennent, c’est uniquement laviscosité moléculaire qui est en mesure de les résorber, les forces de viscosité jouant le rôled’un frein. Cela se traduit par un pic de la dissipation Φ dans l’équation d’énergie.Plus précisément, si l’équation (3.11) est appliquée aux composantes de la quantité demouvement, elle possède des solutions enpartie imaginaire est négative,e− iωte− iωt, où ω est généralement complexe. Si sadiminue au cours du temps : il y a amortissement. Mais