FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

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2.4.6. – Le critère de similitude relatif à l’équation d’état du fluideL’équation d’état du fluide n’est évidemment pas une relation de bilan ; il s’agit d’uneloi phénoménologique de comportement. Mais comme elle est appelée dans certains cas àintervenir en complément aux bilans, il n’est pas inutile de la mettre également sous formeréduite, de manière à voir comment elle s’adapte aux exigences de la similitude.Nous ne considérons que le cas où l’équation d’état est celle du gaz parfait :p/ρ = rT(2.68a)En variables réduites, cela donne :0 +p p 0 += rT T0 +ρ ρoù la grandeur :+0(2.68b)T = T / T(2.68c)est ici un rapport de deux températures absolues, à ne pas confondre avec un écart relatif ∆T +comme dans (2.34a) (voir aussi § 2.4.5.1).Pour que la variable p + soit la même que dans les équations de bilans, il faut prendre lamême pression de référence (2.13a), c’est-à-dire :0p = ρ (V )d’où l’on tire de (2.68b):0+0022p (V )T+ = (2.68c)ρ+ 0rTOn voit donc apparaître un nouveau nombre sans dimension que nous noterons Γ et :0 2(V )Γ et =(2.69)0rTet l’équation d’état s’écrit sous forme adimensionnelle :++ pT = Γet (2.70)+ρVisiblement, on est en droit de considérer Γ et comme un critère de similitude relatif aucomportement thermodynamique du fluide en écoulement : dans deux expériencescaractérisées par une même valeur de ce paramètre Γ et , les solutions de l’équation d’étatadimensionnée seront les mêmes.Cependant, le critère de similitude Γ et (2.69) n’est pas utilisé sous cette forme. Onécrit en effet :o( V )2γΓ et =oγ rToù γ est le coefficient de la loi isentropique pour le gaz considéré : γ = C p / C v . Sachant que lacélérité du son dans un fluide à température T° a pour valeur :coo= γ rT(2.71)
on peut donc exprimer Γ et sous la forme :2⎛ oV ⎞Γ ⎟et = γ ⎜oc⎝ ⎠Le rapport V°/c° est appelé nombre de Mach M, et l’on a :d’où :VM =cetoo⎛ Γet⎞= ⎜ ⎟⎝ γ ⎠21/ 2(2.72a)Γ = γ M(2.72b)Enfin, il va de soi – mais cela va encore mieux en le disant – que l’usage de l’équationd’état est incompatible avec l’hypothèse d’écoulement ou de fluide isochore.2.4.7. – Bilans d’entropie et d’exergieEn ce qui concerne la question – moins classique – des critères de similitude relatifsaux sources d’entropie et d’exergie, elle fait l’objet d’un paragraphe en annexe 2.A.3.2.5. – PARAMÈTRES DE COUPLAGE ET AUTRES NOMBRES SANS DIMENSION2.5.1. – Couplage entre des sources ne relevant pas des mêmes bilansLes sources de masse, de quantité de mouvement et d’énergie qui interviennent dansles relations de bilans ne sont pas forcément indépendantes les unes des autres, car chacun desfluides dont nous disposons, qu’il soit naturel ou artificiel, possède des propriétés mécaniqueset thermiques bien spécifiques. Il se trouve que la similitude est un outil extrêmementintéressant pour mettre leurs couplages en évidence, puisqu’ils se traduisent alors par desrelations de dépendance entre certains coefficients Γ, d’où va émerger une nouvelle famille denombres sans dimension, les paramètres de couplage.L’examen des critères de similitude relatifs aux différentes sources recensées et à la loid’état (cf. tableau 4 en annexe) fait apparaître les paramètres de couplage les plus importants.2.5.1.1. – COUPLAGE ENTRE TENSION VISQUEUSE ET DIFFUSION DE MATIÈRECes deux sources jouent le même rôle dans les équations (2.46a) et (2.31). Les critèresde similitude Γ concernés sont :oAo ooDνΓ AD = (2.42) et Γ ν = (2.26)o oV LV LOn observe que le rapport Γ ν /Γ AD ne dépend que des propriétés du fluide dans lesconditions de référence considérées. C’est le nombre de Schmidt Sc, déjà introduit dans lesformules (2.43) et (2.44) :
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