FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

Nous ne considérons dans la suite que des écoulements permanents en moyenne, c’està-direpour lesquels les conditions aux limites sont stationnaires (si elles sont variables dans letemps, la définition de la moyenne C pose quelques problèmes épineux que nousn’aborderons pas ici, cf. Annexe 3.A.2). Dans ce cas, C ne dépend ni de l’instant considéré, nide la durée τ sur laquelle la moyenne est calculée, de telle sorte que :∂ C= 0 ; c = 0(3.7)∂tl’opération de moyenne étant symbolisée par la barre qui surmonte les différents termes.Les moyennes des termes de l’équation (3.6) sont calculées en Annexe 3.A.2. Onobtient ainsi l’équation de bilan aux valeurs moyennes pour la grandeur C :div( CV+ cv ) = q div( D grad C )(3.8a)I+c♠Comparons cette relation avec l’équation générale de bilan en régime stationnaire, quis’écrit compte tenu de (3.5) :div CV = qI + div( Dcgrad C )(3.8b)A l’évidence, (3.8a) ressemble de très près à (3.8b) pourvu que l’on transfère à droitele terme en c v :div CV{ Dcgrad C − cv}= q + div(3.9)ILe bilan local pour les valeurs moyennes C s’écrit donc de la même façon que pour lesvaleurs instantanées, à ceci près qu’il apparaît un nouveau terme exclusivement lié auxfluctuations, à savoir div cv. Dans l’écriture (3.9), celui-ci est interprété comme une source desurface, qui se superpose à la diffusion classique. Il manifeste donc l’existence d’un nouveaumécanisme de transfert de la grandeur C, provoqué par les fluctuations de vitesse v . Cemécanisme ainsi mis en parallèle avec la diffusion moléculaire (terme ende diffusion turbulente de la grandeur C.grad C) est qualifiéLe terme c v , qui est donc le produit des fluctuations c et v pris en valeur moyenne,est appelé covariance de c et v , ou encore corrélation. C’est un moment du second ordre quicaractérise le degré de dépendance (ou si l’on préfère le degré de couplage) de c par rapportà v . En particulier, si2c v = c 2 v , les grandeurs fluctuantes c et v sont totalementcorrélées, alors qu’elles sont indépendantes si c v = 0 . Lorsque la corrélation est négligeable,le mouvement est solution de l’équation sans perturbation (3.8b).♫♪ Il pourrait aussi arriver que dans un écoulement turbulent, on ait :div cv