FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

tourbillonOn reconnaît dans la grandeur entre parenthèses la composante selon z du vecteur2 Ω (§ 1.2.1.♦). En effet, dans un écoulement bidimensionnel :⎛ ⎞⎜ 0 ⎟⎜ ⎟2 Ω = rotV = ⎜ ⎟⎜ ∂V 0 ∂U⎟−⎝ ∂x∂y⎠Cette composante est appelée vorticité de l’écoulement, et désignée par Ω (sansindice) :∂V∂UΩ = − (s -1 ) (1.80)∂x∂yL’équation (1.79b) se présente donc comme un bilan local de vorticité (dérivé du bilande quantité de mouvement) avec un terme source qui s’identifie à un mécanisme de diffusionvisqueuse, et elle porte le nom d’équation de vorticité :∂Ω+∂tdiv( ΩV) = ν ∆Ω(1.81)Bien entendu, la pression n’a pas été évacuée du problème par un tour de passe – passe.Grâce à la petite manipulation précédente, les forces de pression n’apparaissent plusdirectement en tant que telles, mais elles ont été intégrées dans les autres paramètres dumouvement.♫♪Par contre, cette astuce ne marche pas avec les écoulements tridimensionnels : on peuttoujours éliminer la pression dans les équations (1.37c) prises deux par deux, mais on seretrouve avec des termes qui contiennent les trois composantes de la vitesse et qui n’apportentguère de simplification.!!! Un autre point mérite d’être souligné : avoir écarté le vecteur Ω à partir duparagraphe 1.2.1.♠ (en considérant des écoulements irrotationnels) pour le voir resurgirmaintenant n’est pas le signe d’une contradiction. C’est seulement dans l’évaluation descontraintes que l’influence de la composante rotationnelle du mouvement a été négligée (§1.2.4.♣). Mais dans les équations de bilans, tous les aspects du mouvement sont bienprésents et entièrement décrits.1.4.2. – Fonction de courantL’opération effectuée au paragraphe précédent a permis de s’affranchir de la pression,et simultanément de réduire de deux à une les équations dynamiques. Le système à résoudreest donc maintenant composé de l’équation (1.81) et de l’équation de continuité.Pour des raisons pratiques que nous ne détaillerons pas ici, il peut être avantageuxd’introduire, en plus de Ω , une seconde fonction de U et V, la fonction de courant Ψ, définiepar les relations :