FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

Le tenseur symétrique D (où ε ij = ε ji ) est appelé tenseur des taux de déformation, lesε ij étant les taux de déformation, exprimés en s - 1 . On appelle souvent les gradients de vitesses∂ V / ∂ « vitesses de déformation », mais ce terme est un peu impropre pour désigner desi x jgrandeurs homogènes à l’inverse d’un temps.Quant au tenseur antisymétrique ω , c’est le tenseur des taux de rotation. Sescomposantes ω ij sont les taux de rotation ( ω = − ω ω 0 ). On vérifie aisément à partirji ij , ii =de (1.9) que les composantes du vecteur ω .dOMsont aussi celles du vecteur1rotV ∧ dOM , qui représente bien un mouvement de rotation.21Le vecteur Ω = rot V est généralement appelé vecteur tourbillon (ou encore2vecteur taux de rotation). C’est le vecteur dual du tenseur ω . Un mouvement irrotationnel defluide est caractérisé par Ω = 0 (c’était sans doute l’objectif poursuivi par Alphonse ALLAISlorsqu’il avait préconisé l’utilisation de casseroles carrées pour empêcher le lait de tourner).♠Revenons au tenseur D pour interpréter plus précisément ses composantes. Sil’écoulement est irrotationnel, la vitesse relative du point M’ par rapport au point M est, selon(1.10) :d V = V( M' , t ) − V( M , t ) = D .dOM(1.11a)Plaçons-nous dans le cas particulier où M et M’ sont tous les deux sur l’axe x. Lescomposantes ded OM sont alors respectivement : dx, 0, 0. D’où :dV⎛ε⎜= ⎜ε⎜⎝εxxyxzxεεεxyyyzyεεεxzyzzz⎞⎛dx⎞⎛ε⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜0 ⎟ = ⎜ε⎟⎜0 ⎟ ⎜⎠⎝⎠ ⎝εxxyxzx⎞⎟⎟ dx⎟⎠(1.11b)Le déplacementMM ' ) s’écrit d’après (1.11a) :d MM'de M’ par rapport à M (c'est-à-dire la déformation M ' M' ' deM ' M'' = d MM' = dV dt = D .dOM dt(1.11c)Il est naturellement proportionnel à d V , et on voit que le déplacement selon x est représentépar ε xx, tandis que les déplacements selon y et z sont représentés par ε yx et ε zx.Imaginons enfin, au sein du milieu matériel considéré, deux surfaces élémentaires dSet dS’ centrées en M et M’, et perpendiculaires à l’axe x. Alors la déformation selon x(déplacement de dS’ par rapport à dS) correspond à une variation de l’écartement des deuxsurfaces, tandis que les déformations selon y et z correspondent à un glissement de dS’ parrapport à dS.Le même raisonnement peut être suivi en plaçant M et M’ sur l’axe y ou sur l’axe z,avec des surfaces dS et dS’ orthogonales à ces mêmes axes. Dans les trois cas, les termes