FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

Il faut donc, pour disposer d’outils réellement utilisables, s’engager dans la secondevoie qui s’appuie sur une description statistique ou probabiliste. La théorie qui fut la premièredans l’ordre chronologique, et qui reste la plus utilisée est la théorie statistique locale. Ellepermet de construire des modèles efficaces, même s’ils sont loin d’être parfaits, en particulierau voisinage des parois.3.2.1. – Équations de bilans aux valeurs moyennes♣En physique comme dans bien d’autres disciplines, lorsqu’on se trouve confronté à desphénomènes complexes, fluctuants, en apparence insaisissables, on a généralement recours àun traitement statistique qui permet au moins de dégager quelques lois simples ou à défautquelques tendances. Il paraît donc légitime de procéder ainsi avec la turbulence. De surcroît,c’est un fait d’expérience que les écoulements turbulents manifestent quelques propriétésstatistiques simples (ainsi l’existence de grandeurs locales moyennes comme il a été dit en3.1), et que des écoulements turbulents réalisés dans des conditions macroscopiquesidentiques présentent des caractères statistiques identiques.On postule donc que toute grandeur physique de l’écoulement peut être considéréecomme une variable aléatoire, dont la valeur instantanée est la somme d’une valeur moyenneC et d’une valeur fluctuante c. Dans les équations, on sera donc amené à remplacer C parC + c :C a C + c(3.2)♦Ce sera le cas en particulier de la vitesse, V étant remplacée parV + v :V a V + v(3.3)Voyons alors les implications de cette hypothèse dans l’équation générale (1.24) debilan local, qui s’écrit maintenant :∂( C + c )∂t+div{( C + c )(V + v )} = qI− div qS(3.4)Rappelons-nous tout d’abord (ch. 1) que fréquemment le terme source de surfacediv q Sdécrit le transfert par diffusion de la grandeur C et peut se mettre sous la forme :q= − D grad ( C c )(3.5)S c +où D c est la diffusivité (ou coefficient de diffusion) de C dans le milieu. Restreinte à cettecatégorie de situations, (3.4) s’écrit :♥∂( C + c )+ div∂t{( C + c )(V + v )} = q + div{ D grad ( C c )}I c +(3.6)Dans un premier temps, on cherche à tirer de (3.6) une relation entre les valeursmoyennes, en se débarrassant autant que possible de ces termes indésirables que sont c et v .Pour ce faire, le plus simple consiste à prendre la moyenne des deux membres de (3.6).