FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET

3.4.1.3. – RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION DE BILAN POUR kL’équation de bilan (3.50) n’est pas utilisable en l’état, mais elle peut être résolue auprix de quelques approximations et hypothèses.♣Tout d’abord, la confrontation avec l’expérience montre qu’on peut souvent négliger1le terme de pression v.grad p'.ρDe plus, chez les sources surfaciques, on aura recours une fois encore au modèle dediffusion (3.15) en introduisant une diffusivité cinétique turbulente D k t dans le terme (d 2 ), soitcompte tenu de (3.51), et puisque k représente l’énergie cinétique moyenne du mouvementturbulent :12div vjvjv1= div k' v = − div( Dktgrad k )(3.53)2♦Ensuite, comme le modèle k – l est de type pseudo-laminaire, il exige l’interventiond’une viscosité cinématique turbulente ν t . Celle-ci est définie conformément à l’hypothèse(3.29), c’est-à-dire que l’on écrit dans le terme (a) :⎛ ⎞⎜∂V∂Vi j− v = + ⎟i v j ν t(3.54)⎝∂xj ∂xi⎠d’où la nouvelle forme du bilan (3.50) de k, exprimé en coordonnées cartésiennes :Vi∂k∂xi⎛ Vν ⎜∂= t⎝∂xij∂Vj ⎞ ∂Vi∂ ⎧ ∂k⎫+ ⎟ + ⎨( ν + Dkt) ⎬ − ε∂xi ⎠∂xj ∂xi⎩ ∂xi⎭( a)( d)( b)(3.55)On reconnaît en (a) un terme proportionnel à la fonction de dissipation Φ pourl’écoulement moyen (ch. 1, § 1.3.4.2). En effet :⎛ V V j ⎞⎜∂ ∂i ∂ViΦ = µ + ⎟x j x⎝∂ ∂ i ⎠∂xjd’où :⎛ ⎞⎜∂V∂Vi j⎟∂Viν tν t + = Φ(3.56)⎝∂xj ∂xi⎠∂xj µDans ce contexte, on retiendra comme hypothèse sur ν t une relation du type Prandtl-Kolmogorov (3.36) reliant la viscosité turbulente et l’énergie cinétique turbulente :ν l k 1/ 2(3.57a)t =où l est homogène à une longueur (certains auteurs écrivent ν C l k 1/ 2t = ν en ajoutant uneconstante sans dimension). En fait, cette relation est suggérée par des considérationsdimensionnelles sur les échelles de turbulence, qui seront développées plus loin (§ 3.6.2).♥D’autre part, il semble naturel d’admettre que la dissipation ε ne dépend explicitementque de k (la source d’énergie) et de ν t (sa capacité de diffusion). Sachant que k s’exprime en